1、2014届高三第九次模拟考试理科数学试卷命题人：杨超群 审题人：樊智能总分150分 时量：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1设非空集合P、Q满足，则（ ）A B，有C，使得D，使得2已知，其中是实数，是虚数单位，则的共轭复数为（ ）A B C D3设随机变量服从正态分布N (3，7)，若，则a =（ ）A1B2C3D44已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为（ ） A4+ B4+ C4+ D4+5如右上图，已知为如图所示的程序框图输出的结果，二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为 ( )A B C D
2、6先后掷骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件为“x +y为偶数”， 事件为“x ，y中有偶数且“”，则概率（ ）A B C D7正项等比数列中，存在两项使得，且，则的最小值是( ) A B2 C D8设满足约束条件，若 恒成立，则实数的最大值为( )A B C D 9已知函数是偶函数，且，当时，则方程在区间上的解的个数是（ ） A8 B9 C10 D11 10.在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”。在这个定义下，给出下列命题：到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；到原点的“折线距离”等于1的点
3、的集合是一个圆；到点两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是；到点两点的“折线距离”的差的绝对值为1的点的集合是两条平行线。其中真命题有 （ ）A1个 B。2个 C。3个 D。4个二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题分，共分请将答案填在答题卡对应题号的位置上（一）选做题（请考生在11，12，13三题中任选两题作答，并将所选题对应的方框涂黑，如果全选，则按前两题记分）11（选修4-1：几何证明选讲）已知圆0的半径为3，从圆0外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB3，则切线AD的长为12（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线的极坐标方程分别为，则曲线与交点的
4、极坐标为 13（选修4-5：不等式选讲）若的最大值是 。（二）必做题（1416题）14已知函数 ()的图象如下图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为 15设是椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，当 取最大值时的余弦值为 则椭圆的离心率为 16已知，对于U，V，表示U，V中相对应的元素不同的个数。（1）令U=（2013，2013，2013，2013，2013），存在，使得=2。则m= ；（2）令，若之和为 三、解答题：本大题共6小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)已知向量记 (I)求的周期；()在ABC中，角
5、A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2ac)B=b， 若，试判断ABC的形状 18（本题满分12分）某校要用三辆校车从新校区把教师接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，校车走公路堵车的概率为，不堵车的概率为；校车走公路堵车的概率为，不堵车的概率为若甲、乙两辆校车走公路，丙校车由于其他原因走公路，且三辆车是否堵车相互之间没有影响（）若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为，求走公路堵车的概率；（）在（）的条件下，求三辆校车中被堵车辆的个数的分布列和数学期望学19（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点。（I）点在线段上，试确定的值，使平面；（II）在（I）的条件下，若平
6、面平面ABCD，求二面角的大小。20（本题满分13分）两县城A和B相距20 km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和。记C点到城A的距离x km，建在C处的垃圾处理厂对城A、B的总影响度为y，统计调查表明；垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065（）将y表示成x的函数；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A B
7、C x （）讨论（）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由。21（本题满分13分）已知平面内一动点到点F（1，0）的距离与点到轴的距离的差等于1（I）求动点的轨迹的方程；（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值22（本题满分13分）已知函数在处的切线的斜率为1（为无理数，）（）求的值及的最小值；（）当时，求的取值范围；（）求证：（参考数据：）益阳市箴言中学2014年第九次模拟考试理科数学答案及解析选择：BDCAB BACBC填空：11 12 13.
8、 2 14 15 16。10， 1【解析】故选B2【解析】故选D3【解析】由题意知对称轴为，故选C4【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分，所以该几何体的体积为故选A8【解析】作出可行域，由恒成立知令，由图可知，当直线与椭圆相切时，最小，消 得：得故选C9【解析】由题意可得，函数的周期是4， 可将问题转化为与在区间有几个交点 如图：由图知，有9个交点选B11【解析】由已知得，解得12【解析】由解得，即两曲线的交点为14【解析】， ，f(x)x3ax2，令f(x)0，得x0或xa(a0)S阴影 0(x3ax2)dx(x4ax3)|a4，a15【解析】设分别为椭圆的长轴长，
9、短轴长，当点位于短轴端点时， 最大，得 ；1717.解： （I） （ 根据正弦定理知： 或或 而，所以，因此ABC为等边三角形.12分18【解答】（）由已知条件得 ， 即，则 （）解：可能的取值为0，1，2，3 ； ； ； 的分布列为：0123 所以 9解： （1）当时，平面下面证明：若平面，连交于由可得，分平面，平面，平面平面，分 即： 分（2）由PA=PD=AD=2， Q为AD的中点，则PQAD。分又平面PAD平面ABCD，所以PQ平面ABCD，连BD，四边形ABCD为菱形， AD=AB， BAD=60ABD为正三角形，Q为AD中点， ADBQ分以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的
10、直线为轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A（1，0，0），B（），Q（0，0，0），P（0，0，）设平面MQB的法向量为，可得，取z=1，解得 10分取平面ABCD的法向量设所求二面角为，A B C x 则 故二面角的大小为60分20. （1）如图,由题意知ACBC,其中当时，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函数为（2）,令得,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值.21解析：（I）设动点的坐标为，由题意为化简得当、所以动点P的轨迹C的方程为（II）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为由，得设则是上述方程的两个实根，于是 因为，所以的斜率为设则同理可得故当且仅当即时，取最小值1622【解答】（） ，由已知，得a1此时，当x0时，当x0时，f(x)取得极小值，该极小值即为最小值，f(x)minf(0)0（）记，,设当时，时满足题意；当时，得,当，在此区间上是减函数，,在此区间上递减， 不合题意.综合得的取值范围为.
