1、9.2.2 向量的数乘基础认知自主学习1向量的数乘运算文字表述一般地,我们规定实数与向量a的积是一个_,这种运算叫作向量的数乘,记作_.规定长度|a|=_方向当0时,a的方向与a的方向_;当1把向量a沿着向量a的相同方向放大01把向量a沿着向量a的相同方向缩小-10 把向量a沿着向量a的相反方向缩小-1把向量a沿着向量a的相反方向放大向量a|a|相同相反02.向量数乘的运算律设，为实数，则(1)(a)_；(2)()a_；(3)(ab)_特别地，我们有()a(a)(a)，(ab)ab.aaaab3向量的线性运算(1)定义：向量的_、_、_统称为向量的线性运算(2)运算结果：向量线性运算的结果仍是
2、_(3)运算律：对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有_加法减法数乘向量1a2b4向量共线定理(1)条件：a为非零向量；(2)如果有一个实数，使ba，那么b与a是共线向量；(3)如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数，使ba.1已知 a5e，b3e，c4e，则 2a3bc()A5e B5e C23e D23e【解析】选 C.因为 2a3bc25e3(3e)4e10e9e4e23e.2设 D 为ABC 所在平面内一点，BC 3CD，则()AAD 13 AB 43 AC BAD 13 AB 43 ACCAD 43 AB 13 AC DAD 43 AB 13 AC【解析】选 A.由题意知
3、AD AC CD AC 13 BC AC 13(AC AB)13 AB 43 AC.3已知 a2e1e2，be12e2，则 ab_，ab_，2a3b_【解析】因为 a2e1e2，be12e2，所以 ab3e1e2，abe13e2，2a3b4e12e23e16e2e18e2.答案：3e1e2 e13e2 e18e24下面向量 a，b 共线的序号是_(其中 e1，e2 不共线)a2e1，b2e2；ae1e2，b2e12e2；a6e135 e2，be1 110 e2；ae1e2，b2e12e2.【解析】对于，由于 e1，e2 不共线，所以 a，b 不共线；对于，a12 b，所以 a，b 共线；对于，
4、a6b，所以 a，b 共线答案：5已知AB 2e，AC 3e，判断 A，B，C 三点是否共线，如果共线，求出 ABAC.【解析】由AB 2e，得 e12 AB，由AC 3e，得 e13 AC，故12 AB 13 AC，所以AC 32 AB.即AB 与AC 平行，又 AB 与 AC 有公共点 A，所以 A，B，C 三点共线，又|AC|32|AB|，所以 ABAC23.学情诊断课时测评一、单选题1设 a 是非零向量，是非零实数，下列结论正确的是()Aa 与a 的方向相反 B|a|a|Ca 与 2a 的方向相同 D|a|a【解析】选 C.A 错误，因为 取负数时，a 与a 的方向是相同的；B 错误，
5、因为当|1 时，该式不成立；D 错误，等号左边的结果表示一个数，而等号右边的结果表示一个向量，不可能相等；C 正确，因为 0，所以 2 一定是正数，故 a 与 2a 的方向相同2已知向量 a，b，且AB a2b，BC 5a6b，CD 7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，D BA，B，CCB，C，D DA，C，D【解析】选 A.AB BC CD a2b(5a6b)(7a2b)3a6b3(a2b)AD 3AB，所以 A，B，D 三点共线3若 abc，化简 3(a2b)2(3bc)2(ab)()Aa BbCc D以上都不对【解析】选 A.因为 3(a2b)2(3bc)2(ab)(3a6b)(6
6、b2c)(2a2b)a2b2c，又因为 abc，所以 3(a2b)2(3bc)2(ab)a.二、填空题4已知向量 a，b 不共线，若向量 ab 与 ba 的方向相反，则 等于_【解析】因为向量 ab 与 ba 的方向相反，所以(ab)(ba)，即存在一个负实数 m，使得 abm(ba)，即(1m)a(m)b.因为 a 与 b 不共线，所以 1mm0，可得 m0，所以 120，所以 1.答案：1三、解答题5化简：(1)133a；(2)2abb12a；(3)12 ab3c13 2abc；(4)2ab35a3b，R.【解析】(1)原式133aa；(2)原式2a2bb12 a52 a3b；(3)原式1
7、2 a12 b32 c23 a13 b13 c16 a56 b116 c.(4)原式2 35a()3(35)b57a814b.一、选择题1已知 a，b 是两个不共线的向量，AB 1ab，AC a2b(1，2R)，若 A，B，C 三点共线，则()A121 B121C1210 D1210【解析】选 D.若 A，B，C 三点共线，则AB，AC 共线，所以存在实数，使得ACAB，即 a2b(1ab)，即(11)a(2)b，由于 a，b 不共线，所以 11 且 2，消去 得 121.2若AB 3e1，CD 5e1，且|AD|BC|，则四边形 ABCD 是()A平行四边形 B菱形C等腰梯形D不等腰的梯形【
8、解析】选 C.因为AB 3e1，CD 5e1，所以CD 53 AB，所以AB 与CD 平行，且|CD|53|AB|，又|AD|BC|，故四边形 ABCD 是等腰梯形3(多选)下列命题中，正确的是()A0a0B0，a0 时，a 与 a 的方向一定相反C若 ba(a0)，则ba D若|b|a|(a0)，则|b|a|【解析】选 BD.A 错误，0a0；B 正确，0 知，符号相反；根据向量数乘的概念及其几何意义可知，C 错误，D 正确二、填空题4设向量 a3i2j，b2ij，则13aba23b(2ba)_，若 ab5ij，则实数 _【解析】原式13 aba23 b2ba1311a1232b53 a53
9、 b53(3i2j)53(2ij)5103i103 53j53 i5j.ab(32)i(2)j5ij.所以 1.答案：53 i5j 15设 P 是ABC 所在平面内的一点，且CP 2PA，则PAB 与PBC 的面积之比是_【解析】画出图形如图所示因为CP 2PA，所以 P 为边 AC 上靠近 A 点的三等分点所以PAB 与PBC 的底边长之比为|PA|CP|12，且高相等，所以PAB 与PBC 的面积之比为12.答案：12三、解答题6如图，在ABC 中，D 为 BC 的四等分点，且靠近点 B，E，F 分别为 AC，AD 的三等分点，且分别靠近 A，D 两点，设AB a，AC b.(1)试用 a
10、，b 表示BC，AD，BE；(2)证明：B，E，F 三点共线【解题导引】(1)根据平面向量的三角形法则，用AB，AC 表示出向量BC，AD 和BE 即可；(2)用 a，b 表示出向量BE，BF，证明BF 与BE 共线，从而证明 B，E，F 三点共线【解析】(1)在ABC 中，AB a，AC b，所以BC AC AB ba，AD AB BD AB 14 BCa14 ba34 a14 b，BE BA AE AB 13 AC a13 b；(2)BE a13 b，BF BA AF AB 23 ADa23 34a14b12 a16 b12 a13b，所以BF 12 BE，所以BF 与BE 共线，且有公共点 B，所以 B，E，F 三点共线