1、第一章预备知识1集合1.2集合的基本关系课时2集合的相等及其子集的性质知识点1集合的相等1.%2￥#*481#%(2020寿县一中单元测试)给出以下6组集合:(1)M=(-5,3),N=-5,3;(2)M=1,-3,N=3,-1;(3)M=,N=0;(4)M=,N=3.1415;(5)M=x|x是小数,N=x|x是实数;(6)M=x|x2-3x+2=0,N=y|y2-3y+2=0。其中是相等集合的有()。A.2组B.3组C.4组D.5组答案：A解析：对于(1),M=(-5,3)中只有一个元素(-5,3),N=-5,3中有两个元素-5,3,故M,N不是相等的集合;对于(2),M=1,-3,N=3
2、,-1,集合M和集合N中的元素不同,故M,N不是相等的集合;对于(3),M=,N=0,M是空集,N中有一个元素0,故M,N不是相等的集合;对于(4),M=,N=3.1415,M和N中各有一个元素,但元素不相同,故M,N不是相等的集合;对于(5),M=x|x是小数,N=x|x是实数,因为实数集就是小数集,所以M和N是相等的集合;对于(6),M和N都只有两个元素1,2,所以M和N是相等的集合。故选A。2.%*9#59￥3%(2020无为中学月考)集合P=x|y=x+1,集合Q=y|y=x-1,则P与Q的关系是()。A.P=QB.PQC.PQD.PQ答案：B解析：P=x|x-1,Q=y|y0,所以Q
3、P。3.%￥3#00#2%(2020六安一中周练)集合A=1,x,y,B=1,x2,2y,若A=B,则实数x的取值集合为()。A.12B.12,-12C.0,12D.0,12,-12答案：A解析：因为A=B,所以x=x2,y=2y或x=2y,y=x2,所以x=0,y=0或x=1,y=0或x=12,y=14,由集合中元素的互异性得仅有x=12,y=14符合A=B,故选A。4.%*4￥1*19%(2020芜湖一中单元测试)集合A=2n+1|nZ,集合B=4k1|kZ,则A与B之间的关系是()。A.ABB.ABC.ABD.A=B答案：D解析：因为整数包括奇数与偶数,所以n=2k或2k-1(kZ),当
4、n=2k时,2n+1=4k+1,当n=2k-1时,2n+1=4k-1,故A=B。5.%#5￥650%(2020宿城一中周练)已知集合A=x|x=3n-2,nZ,B=y|y=3k+1,kZ,则A与B的关系是。答案：A=B解析：设任意x0A,则x0=3n0-2,n0Z。又3n0-2=3(n0-1)+1,n0Z,所以n0-1Z,x0B,所以AB。设任意y0B,则y0=3k0+1,k0Z。又3k0+1=3(k0+1)-2,k0Z,所以k0+1Z,y0A,所以BA。综上可得A=B。6.%#3#06*6%(2020柳州中学调考)已知集合M=x|x=1+a2,aN*,P=x|x=a2-4a+5,aN*,试判
5、断M与P的关系。答案：解:对于任意的xM,有x=1+a2=(a+2)2-4(a+2)+5。因为aN*,所以a+2N*且a+23,所以MP。知识点2子集的性质7.%#4482￥%(多选)(2020周庄中学周练)下列命题中,正确的有()。A.空集是任何集合的真子集B.若AB,BC,则ACC.任何一个集合必有两个或两个以上的真子集D.如果不属于B的元素一定不属于A,则AB答案：BD解析：A.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,故A错;B.真子集具有传递性,故B正确;C.若一个集合是空集,则没有真子集,故C错;D.由Venn图易知D正确。故选BD。8.%#0#00#0%(2020兴平西郊中学
6、月考)已知集合A=x|x2-3x+2=0,xR,B=x|0x4,B=x|x|6,求A-(A-B)及B-(B-A),由此你可以得到什么更一般的结论?(不必证明)答案：A-B=x|x6,B-A=x|-6x4,A-(A-B)=x|4x6,B-(B-A)=x|4x6。由此猜测:一般地,对于两个集合A,B,有A-(A-B)=B-(B-A)成立。题型2子集及其性质的应用16.%941*9%(2020西安第八十五中学周练)在一次羽毛球比赛中,若集合A=参加羽毛球比赛的运动员,集合B=参加羽毛球比赛的男运动员,集合C=参加羽毛球比赛的女运动员,则下列关系正确的是()。A.ABB.BCC.CAD.BA答案：D解
7、析：参加比赛的运动员包括男运动员和女运动员。17.%#￥*1095%(2020浙江十二校新高考研究联盟高一联考)集合M=1,2,a,a2-3a-1,N=-1,3,若3M且NM,则a的取值为()。A.-1B.4C.-1或-4D.-4或1答案：B解析：若a=3,则a2-3a-1=-1,即M=1,2,3,-1,显然NM,不合题意。若a2-3a-1=3,即a=4或a=-1。当a=-1时,NM,舍去。当a=4时,M=1,2,4,3,满足要求。18.%169￥5*#%(2020扶风高中月考)若集合A=x|mx2+2x+10,则实数m的取值范围是()。A.0m1B.0m1C.m1D.m0或0m1答案：C解析
8、：当m=0时,显然A=x|2x+10=x|x-12;当m0时,由题意知二次函数的判别式=4-4m0,解得0m1。综上,实数m的取值范围为m1。19.%33￥24￥%(2020东乡第一中学月考)已知A=x|x5,B=x|ax5解析：因为A=x|x5,B=x|ax5,解得a-5或a5。20.%2#497￥#%(2020金溪第一中学周练)已知集合A=x|x4或x-5,B=x|a+1xa+3,aR,若BA,求a的取值范围。答案：解:利用数轴法表示BA,如图所示,则a+3-5或a+14,解得a-8或a3。解析：求解过程中容易忽略等号能否成立,得到a+3-5或a+14,解得a-8或a3。事实上,在求出a-
9、8或a3后也可以直接将端点值回代,看是否符合题意,进而进行适当取舍即可。当a=-8时,不符合题意,舍去;当a=3时,符合题意,故正确结果应为a-8或a3。21.%48￥50#%(2020江西信丰第二中学期中考试)已知集合A=1,3,x2,B=x+2,1,是否存在实数x,使得BA?若存在,求集合A,B;若不存在,说明理由。答案：解:假设存在实数x,使得BA,则x+2=3或x+2=x2。(1)当x+2=3时,x=1,此时A=1,3,1,不满足集合中元素的互异性,故x1;(2)当x+2=x2时,即x2-x-2=0,故x=-1或x=2,当x=-1时,A=1,3,1与集合中元素的互异性矛盾,故x-1;当
10、x=2时,A=1,3,4,B=4,1,显然有BA。综上所述,存在x=2,即A=1,3,4,B=4,1,使得BA。22.%0#9*#60%(2020江西上饶中学周练)已知集合A=x|-1mx-11,B=x|0x4。(1)当m=2时,若a,bA,试确定(a-1)(b-1)的正负;答案：解:因为m=2,所以由-12x-11,解得0x1,即A=x|0x1。因为a,bA,所以0a1,0b1,所以a-10,b-10。即(a-1)(b-1)为正。(2)当m0时,若AB,试求m的取值范围。答案：因为m0,所以由-1mx-11得0mx2,所以0x2m,又AB,所以2m4,所以m12,所以m的取值范围是mm12。
11、题型3子集的个数问题23.%￥*68*02%(2020东北育才四中月考)定义集合A*B=x|xA,且xB,若A=1,2,3,4,5,B=4,5,则A*B的非空真子集个数为。答案：6解析：A*B=1,2,3,23-2=6。24.%6￥6￥76#%已知集合A,B,C,AB,AC,若B=yN|y=-x2+6,xN,C=xN|10x-1N,则集合A中最多含有几个元素?答案：解:依题可知,B=6,5,2,C=2,3,6,11。因为AB,AC,所以A=或A=2或A=6或A=2,6,故A中最多含有2个元素。题型4新概念题25.%#14*0*9￥%(2020北京西城模拟)定义集合A,B之间的运算“*”:A*B
12、=x|x=x1+x2,x1A,x2B。若A=1,2,3,B=1,2,则集合A*B中的最大元素为,集合A*B的所有子集个数为。答案：516解析：由题意得A*B=2,3,4,5,故集合中最大元素为5,子集个数为24=16。26.%687*1%(2020江西宁都中学周练)定义:设有限集合A=x|x=ai,in,iN*,nN*,S=a1+a2+an-1+an,则S叫作集合A的模,记作|A|。若集合P=x|x=2n-1,nN*,n5,集合P含有四个元素的全体子集分别为P1,P2,Pk,求|P1|+|P2|+|Pk|的值。答案：解:因为集合P=x|x=2n-1,nN*,n5,所以集合P=1,3,5,7,9
13、,所以集合P含有四个元素的全体子集分别为3,5,7,9,1,5,7,9,1,3,5,9,1,3,5,7,1,3,7,9。按照新定义可知:|P1|+|P2|+|Pk|=(3+5+7+9)+(1+5+7+9)+(1+3+5+9)+(1+3+5+7)+(1+3+7+9)=4(1+3+5+7+9)=100。27.%0#￥65*8%(2020广丰一中期中考试)已知集合A=x|x-a|=4,B=1,2,b。(1)是否存在实数a,使得对于任意的实数b都有AB?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由。答案：解:由题意,知当且仅当集合A中的元素为1,2时,对于任意的实数b都有AB。因为A=a-4,a+4,所以a-4=1,a+4=2或a-4=2,a+4=1。方程组均无解,所以不存在实数a,使得对于任意的实数b都有AB。(2)若AB成立,求出对应的实数对(a,b)。答案：结合(1)知,若AB,则有a-4=1,a+4=b或a-4=2,a+4=b或a-4=b,a+4=1或a-4=b,a+4=2。解得a=5,b=9或a=6,b=10或a=-3,b=-7或a=-2,b=-6。所以所求实数对(a,b)为(5,9),(6,10),(-3,-7),(-2,-6)。