1、第六章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.将一颗质地均匀的骰子掷两次,不能作为随机变量的是()A.第一次出现的点数B.第二次出现的点数C.两次出现点数之和D.两次出现相同点的种数答案D解析由于两次出现相同点的种数是定值6,故不是随机变量.2.已知离散型随机变量的概率分布列如下:135P0.5m0.2则数学期望E等于()A.1B.0.6C.2+3mD.2.4答案D解析由题意得m=1-0.5-0.2=0.3,所以E=10.5+30.3+50.2=2.4,故选D.3.某同学通过计算机测试的概率为
2、13,他连续测试3次,其中恰有1次通过的概率为()A.49B.29C.427D.227答案A解析连续测试3次,其中恰有1次通过的概率为P=C31131-132=49.4.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=13,k=1,2,3,则D(3X+5)等于()A.6B.9C.3D.4答案A解析EX=113+213+313=2,所以DX=13(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2=23,所以D(3X+5)=9DX=923=6.5.已知随机变量服从正态分布N(2,2),P(4)=0.84,则P(0)=()A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84答案A解析因为P(4)=0.84,=2,所以P(4
3、)=1-0.84=0.16.故选A.6.若随机变量的分布列如下表所示,则p1=()-124P1523p1A.0B.215C.115D.1答案B解析因为所有随机变量对应概率的和为1,所以,15+23+p1=1,解得p1=215,故选B.7.一批型号相同的产品,有2件次品,5件正品,每次抽一件测试,将2件次品全部区分出后停止,假定抽后不放回,则第5次测试后停止的概率是()A.121B.521C.1021D.2021答案B解析P=2756453413+5726453413+5746253413+5746352413+5746352413=521.8.设0a1.随机变量X的分布列是X0a1P13131
4、3则当a在(0,1)内增大时,()A.DX增大B.DX减小C.DX先增大后减小D.DX先减小后增大答案D解析由分布列得EX=1+a3,则DX=1+a3-0213+1+a3-a213+1+a3-1213=29a-122+16,所以当a在(0,1)内增大时,DX先减小后增大.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.下列说法正确的是()A.若XN(0,9),则其正态曲线的对称轴是y轴B.正态分布N(,2)的图象位于x轴上方C.所有的随机现象都服从或近似服从正态分布D.函数f(x)=12e-x22
5、(xR)的图象是一条两头低、中间高,关于y轴对称的曲线答案ABD解析并不是所有的随机现象都服从或近似服从正态分布,还有其他分布.10.口袋中有n个白球,3个红球,依次从口袋中任取一球,若取到红球,则继续取球,且取出的红球不放回;若取到白球,则停止取球.记取球的次数为X,若P(X=2)=730,则下列结论正确的是()A.n=7B.P(X=3)=7120C.EX=118D.DX=12答案ABC解析由P(X=2)=730,得C31Cn1Cn+31Cn+21=730,即3n(n+3)(n+2)=730,整理得90n=7(n+2)(n+3),解得n=7n=67舍去.所以X的所有可能取值为1,2,3,4,
6、P(X=1)=C71C101=710,P(X=3)=C31C21C71C101C91C81=7120,P(X=4)=C31C21C11C71C101C91C81C71=1120,所以EX=1710+2730+37120+41120=118,DX=1-1182710+2-1182730+3-11827120+4-11821120=77192.11.设随机变量服从正态分布N(0,1),则下列结论正确的是()A.P(|a)=P(-a)(a0)B.P(|a)=2P(0)C.P(|a)=1-2P(0)D.P(|a)(a0)答案BD解析因为P(|a)=P(-aa),所以A不正确;因为P(|a)=P(-aa
7、)=P(a)-P(-a)=P(a)=P(a)-(1-P(a)=2P(a)-1,所以B正确,C不正确;因为P(|a)=1,所以P(|a)(a0),所以D正确.12.甲、乙两人练习射击,命中目标的概率分别为12和13,甲、乙两人各射击一次,下列说法正确的是()A.目标恰好被命中一次的概率为12+13B.目标恰好被命中两次的概率为1213C.目标被命中的概率为1223+1213D.目标被命中的概率为1-1223答案BD解析设“甲射击一次命中目标”为事件A,“乙射击一次命中目标”为事件B,显然,A,B相互独立,则目标恰好被命中一次的概率为P(ABAB)=P(AB)+P(AB)=1223+1213=12
8、,故A不正确;目标恰好被命中两次的概率为P(AB)=P(A)P(B)=1213,故B正确;目标被命中的概率为P(ABABAB)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=1223+1213+1213或1-P(AB)=1-P(A)P(B)=1-1223,故C不正确,D正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.将两枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件A表示“两个点数互不相同”,B表示“出现一个5点”,则P(B|A)=.答案13解析出现点数互不相同的共有n(A)=65=30种,出现一个5点共有n(AB)=52=10种,所以P(B|A)=n(AB)n(A)=13.14.已知有一匀速转动的圆盘,
9、其中心有一个固定的小目标M,甲、乙两人站在距离圆盘边缘2 m处的地方向圆盘中心抛掷小圆环,他们抛掷的小圆环能套上小目标M的概率分别为14与15,现甲、乙两人分别用小圆环向圆盘中心各抛掷一次,则小目标M被套上的概率为.答案25解析小目标M被套上包括甲抛掷的小圆环套上、乙抛掷的小圆环没有套上;乙抛掷的小圆环套上、甲抛掷的小圆环没有套上;甲、乙抛掷的小圆环都套上,所以小目标M被套上的概率为141-15+1-1415+1415=25.15.(2019课标全国,理15)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主
10、客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以41获胜的概率是.答案0.18解析前五场中有一场客场输时,甲队以41获胜的概率是0.630.50.52=0.108;前五场中有一场主场输时,甲队以41获胜的概率是0.40.620.520.6=0.072.综上所述,甲队以41获胜的概率是0.108+0.072=0.18.16.5张彩票中仅有1张中奖彩票,5个人依次摸奖,则第二个人摸到中奖彩票的概率为,第三个人摸到中奖彩票的概率为.答案1515解析记“第i个人抽中中奖彩票”为事件Ai,显然P(A1)=15,而P(A2)=PA2(A1A1)=P(A2A1)
11、+P(A2A1)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1)=150+4514=15,P(A3)=PA3(A1A2A1A2A1A2A1A2)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=0+0+0+P(A3A1A2)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)=453413=15.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)
12、设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.解(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)=C21C31C51C103=14.(2)X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0)=C83C103=715,P(X=1)=C21C82C103=715,P(X=2)=C22C81C103=115.综上,X的分布列为X012P715715115故EX=0715+1715+2115=35.18.(12分)某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为12,第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为710,若前两次均未打破,第三次落下时打破的概率为910,求透镜落下三次
13、未打破的概率.解以Ai,i=1,2,3表示事件“透镜落下第i次时打破”,以B表示事件“透镜落下三次未打破”,因为B=A1A2A3,所以P(B)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)=1-121-7101-910=3200.19.(12分)某企业准备招聘一批大学生到本单位就业,但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试.在待测试的某一个小组中有男、女生共10人(其中女生人数多于男生人数),如果从中随机选2人参加测试,其中恰为一男一女的概率为815;(1)求该小组中女生的人数;(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言,每个女生通过的概率均为34,每个男生通过的概率均
14、为23;现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试,记这3人中通过测试的人数为随机变量,求的分布列和数学期望.解(1)设该小组中有n个女生,根据题意,得Cn1C10-n1C102=815,解得n=6或n=4(舍去),该小组中有6个女生.(2)由题意,的取值为0,1,2,3,P(=0)=131314=136,P(=1)=C21231314+13234=736,P(=2)=C21231334+23214=1636=49,P(=3)=23234=13,的分布列为0123P1367364913E=0136+1736+249+313=2512.20.(12分)(2019天津,理16)设甲、乙两位同
15、学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.解(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为23,故XB3,23,从而P(X=k)=C3k23k133-k,k=0,1,2,3.所以,随机变量X的分布列为X0123P1272949827随机变量X的数学期望EX=323=2
16、.(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则YB3,23,且M=X=3,Y=1X=2,Y=0.由题意知事件X=3,Y=1与X=2,Y=0互斥,且事件X=3与Y=1,事件X=2与Y=0均相互独立,从而由(1)知P(M)=P(X=3,Y=1X=2,Y=0)=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=82729+49127=20243.21.(12分)某市对高三期末考试中的数学成绩进行统计,统计结果显示,全市10 000名学生的数学成绩X服从正态分布N(120,25).在某校随机抽取了50名学生的数学成绩进行分析,这50名学生的
17、成绩全部介于85分到145分之间,将结果按如下方式分为6组,第一组85,95),第二组95,105),第六组135,145,得到如图所示的频率分布直方图.(1)试估计此次考试该校数学的平均成绩;(2)从这50名学生中成绩在125分及以上的学生中任意抽取3人,把这3人中在全市数学成绩排名前13的人数记为Y,求Y的分布列和期望.附:若XN(,2),则P(-X+)0.682 6,P(-2X+2)0.954 4,P(-3X+3)0.997 4.解(1)由题中频率分布直方图,可知成绩在125,135)内的频率为1-(0.0110+0.02410+0.0310+0.01610+0.00810)=0.12,
18、所以a=0.012.所以估计此次考试该校数学的平均成绩为900.1+1000.24+1100.3+1200.16+1300.12+1400.08=112(分).(2)由题意,得P(120-351),每答一题需要扣掉一定分数来获取答题资格,规定回答第k(k=1,2,n)题时扣掉0.2k分;每答对一题加2分,答错既不加分也不扣分;答完n题后参赛学生最后分数即为复赛分数.已知学生甲答对每题的概率为0.75,且各题答对与否相互独立,若甲期望得到最佳复赛成绩,则他的答题数量n应为多少?参考数据:36219,若ZN(,2),则P(-Z+)0.682 6,P(-2Z+2)0.954 4,P(-3Z+3)0.
19、997 4,1+2+3+n=n(n+1)2解(1)样本中成绩不低于60分的学生有(0.0125+0.0075)20100=40(人),其中成绩不低于80分的有0.007520100=15(人),则至少有1人成绩不低于80分的概率为1-C252C402=813.(2)由题意知样本中100名学生成绩的平均分为100.1+300.2+500.3+700.25+900.15=53,所以=53,2=362,所以19,所以ZN(53,362),则P(Z91)=P(Z+2)12(1-0.9544)=0.0228,故全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数为0.0228400091(人).(3)以随机变量表示甲答对的题数,则B(n,0.75),且E=0.75n,记甲答完n题所加的分数为随机变量X,则X=2,所以EX=2E=1.5n.依题意为了获取答n题的资格,甲需要扣掉的分数为0.2(1+2+3+n)=0.1(n2+n),设甲答完n题的分数为M(n),则M(n)=100-0.1(n2+n)+1.5n=-0.1(n-7)2+104.9,由于nN+,当n=7时,M(n)取最大值104.9,即复赛成绩的最大值为104.9.所以若学生甲期望获得最佳复赛成绩,则他的答题量n应该是7.