1、福建省宁德市普通高中毕业班2021届高三数学第三次质量检查试题（含解析）1. 复平面内复数，对应的点关于实轴对称，若，则A. B. C. D. 252. 已知集合，则A. B. C. D. 3. 不等式成立的一个充分不必要条件是A. B. C. D. 4. 如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量进行炊事烹饪食物的一种装置.由于太阳光基本上属于平行光线，所以当太阳灶旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光轴上.现有一抛物线型太阳灶，灶口直径AB为
2、，灶深CD为，则焦点到灶底抛物线的顶点的距离为A. 3mB. C. 1mD. 5. 根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为，刮四级以上大风的概率为，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为A. B. C. D. 6. 如图，在直四棱柱中，点P，Q，R分别在棱，上，若A，P，Q，R四点共面，则下列结论错误的是A. 任意点P，都有B. 任意点P，四边形APQR不可能为平行四边形C. 存在点P，使得为等腰直角三角形D. 存在点P，使得平面APQR7. 周髀算经是中国最古老的天文学、数学著作，公元3世纪初中国数学家赵爽创制了“勾股圆方图”如图，
3、用以证明其中记载的勾股定理.现提供4种不同颜色给右图中5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同涂色的方法种数为A. 36B. 48C. 72D. 968. 已知函数，实数a，b满足不等式，则下列不等式成立的是A. B. C. D. 9. 已知向量，满足，设的夹角为，则A. B. C. D. 10. 某校研究性学习小组根据某市居民人均消费支出的统计数据，制作2018年人均消费支出条形图单位：元和2019年人均消费支出饼图如图已知2019年居民人均消费总支出比2018年居民人均消费总支出提高，则下列结论正确的是A. 2019年的人均衣食支出金额比2018年的人均衣食支出金额
4、高B. 2019年除医疗以外的人均消费支出金额等于2018年的人均消费总支出金额C. 2019年的人均文教支出比例比2018年的人均文教支出比例有提高D. 2019年人均各项消费支出中，“其他”消费支出的年增长率最低11. 已知函数的最小正周期为，则下列结论中正确的是A. 对一切恒成立B. 在区间上不单调C. 在区间上恰有1个零点D. 将函数的图像向左平移个单位长度，所得图像关于原点对称12. 已知正四棱锥的侧面积为，当该棱锥的体积最大时，以下结论正确的是A. 棱锥的高与底面边长的比为B. 侧棱与底面所成的角为C. 棱锥的每一个侧面都是等边三角形D. 棱锥的内切球的表面积为13. 已知函数，若
5、，则_ .14. 已知展开式中的所有项的系数和为64，则实数_ ；展开式中常数项为_ .15. 能够说明“若，则”是假命题的一组整数x，y的值依次为_ .16. 已知动点P在圆上，双曲线的右焦点为，若C的渐近线上存在点Q满足，则C的离心率的取值范围是_ .17. 在，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.已知数列的前n项和为，_，数列满足，求数列的前n项和18. 在中，求的面积；在边BC上取一点D，使得，求19. 如图，在平面四边形ABCD中，且，分别将、沿直线BD翻转为、不重合，连结AE，EF，求证：；若，点E在平面ABCD内的正投影G为的重心，求二面角的余弦值.20. 某同
6、学利用假期到一超市参加社会实践活动，发现该超市出售种水果礼盒，每天进货一次，每销售1个水果盒可获利50元，卖不完的水果礼盒则需当天降价处理，每盒亏损10元.若每天该礼盒的需求量在，单位：个范围内等可能取值.求该礼盒的日需求量不低于15盒的概率；若某日超市进货13 个水果礼盒，请写出该水果礼盒日销售利润元的分布列，并求出的数学期望；这位同学想让水果礼盒的日销售利润最大，他应该建议超市日进货多少个水果礼盒？请说明理由.21. 已知，为椭圆C：的左、右顶点，点在C上，且直线，的斜率之积为求C的方程；直线l：交C于A，B两点，直线MA，MB与直线分别交于P，Q，线段PQ的中点为N，求证：直线MN的斜率
7、为定值.22. 已知函数当时，讨论函数的单调性：若函数恰有两个极值点，且，求的最大值.答案和解析1.【答案】D【解析】解：复平面内复数，对应的点关于实轴对称，故选：根据复数在复平面内的几何意义求出复数，再利用复数的四则运算求解本题主要考查了复数在复平面内的几何意义，考查了复数的四则运算，是基础题2.【答案】B【解析】解：因为集合，集合，所以，则故选：先利用函数的定义域和值域求出集合M，N，然后利用集合的补集以及交集的定义求解即可本题考查了集合的运算，主要考查了集合补集和交集的求解，解题的关键是掌握交集以及补集的定义，属于基础题3.【答案】D【解析】解：，不等式成立的一个充分不必要条件是故选：先
8、解不等式的解集，利用子集的包含关系，借助充分必要条件的定义即可本题考查了充分必要条件的判定，一元二次不等式的解法，属于基础题4.【答案】B【解析】解：由题意建立如图所示的平面直角坐标系：O与C重合，设抛物线的方程为，由题意可得，将A点坐标代入抛物线的方程可得：，解得，所以抛物线的方程为：，焦点的坐标为，即，所以焦点到灶底抛物线的顶点的距离为故选：建立适当的平面直角坐标系，设抛物线的方程，由题意可得A的坐标，将A点的坐标代入求出参数的值，进而求出所求的结果本题考查抛物线的性质及建立适当的坐标系的应用，属于基础题5.【答案】A【解析】解：设发生中度雾霾为事件A，刮四级以上大风为事件B，所以，则在发
9、生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为故选：利用条件概率的概率公式求解即可本题考查了条件概率的理解与应用，解题的关键是掌握条件概率的概率公式，属于基础题6.【答案】C【解析】解：对于A：由直四棱柱，所以平面平面，又因为平面平面，平面平面，所以对于B：若四边形APQR为平行四边形，则，而AD与BC不平行，即平面与平面不平行，所以平面平面，平面平面，直线PQ与直线AR不平行，与矛盾，所以四边形APQR不可能是平行四边形对于C：假设存在点P，使得为等腰直角三角形，令，由，所以且四边形BPDR为平行四边BPDR，所以，过点D作，则，所以，即，所以，无解，故C错误；对于D：当时，R为D时，满足平面A
10、PQR，故D正确故选：根据线线，面面的性质判断A，B是否正确；使用假设法判断C，D是否正确本题考查立体几何中线线，线面的位置关系，属于中档题7.【答案】C【解析】解：根据题意，分2步进行分析：对于区域ABE，三个区域两两相邻，有种涂色的方法，对于区域CD，若C区域与A颜色相同，D区域有2种选法，若C区域与A颜色不同，则C区域有1种选法，D区域也只有1种选法，则区域CD有种涂色的方法，则有种涂色的方法，故选：根据题意，分2步依次分析区域ABE和区域CD的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案。本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题。8.【答案】A【解析】解：，即函数关于对称
11、，恒成立，则是增函数，则，得，故选：根据条件判断函数关于对称，求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数的对称性和单调性将不等式进行转化求解即可本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据条件判断函数的对称性和单调性是解决本题的关键，是中档题9.【答案】BC【解析】解：，得，故A错误；又，则，则，故B正确；，又，故C正确；，与不垂直，故D错误故选：由已知求解方程组可得与，求模判断A；由判断B；由数量积求夹角判断C；由数量积不为0判断本题考查向量垂直与数量积的关系，训练了利用数量积求夹角，考查运算求解能力，是基础题10.【答案】ACD【解析】解：年居民人均消费总支出比2018年居民人均消费总支出提高
12、，年居民人均消费总支出为：，对于A，2019年的人均衣食支出金额为：元，年的人均衣食支出金额比2018年的人均衣食支出金额高，故A正确；对于B，2019年除医疗以外的人均消费支出金额为：，2018年的人均消费总支出金额为元，2019年除医疗以外的人均消费支出金额不等于2018年的人均消费总支出金额，故B错误；对于C，2019年的人均文教支出比例为，2018年的人均文教支出比例为，年的人均文教支出比例比2018年的人均文教支出比例有提高，故C正确；对于D，2018其他支出4400元，2019年其他支出元，“其他”消费支出的年增长率为，衣食支出的年增长率为：，住支出的年增长率为：，文教支出的年增长
13、率为：，医疗支出的年增长率为：，年人均各项消费支出中，“其他”消费支出的年增长率最低，故D正确故选：利用条形图和饼状图的性质直接求解本题考查命题真假的判断，考查条形图、饼状图的性质等基础知识，考查运算求能力、数据分析能力等数学核心素养，是基础题11.【答案】AB【解析】解：函数的最小正周期为，令，求得为最大值，故有对一切恒成立，故A正确；在区间上，函数没有单调性，故B正确；在区间上，函数有2个零点，故C错误；将函数的图像向左平移个单位长度，所得的图像关于不原点对称，故D错误，故选：由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用整弦函数的图象和性质，得出结论本题主要考查三角恒等变换，整弦函数的
14、图象和性质，属于中档题12.【答案】ACD【解析】解：设底面边长为2a，侧棱长为b，则，即，而，又，故，设，则，易知函数在单调递增，在单调递减，当时，取得最大值，此时棱锥的体积最大，且，底面边长为2，侧棱长为2，棱锥的高与底面边长的比为，选项A正确；侧棱与底面所成的角为，而，则，选项B错误；由于底面边长与侧棱长均为2，故侧面为等边三角形，选项C正确；设内切球的半径为r，由于，选项D正确故选：设底面边长为2a，侧棱长为b，求出棱锥体积，通过构造函数，求导可知当，及时棱锥体积最大，然后再逐项判断即可本题考查正棱锥的性质，线面角，以及内切球表面积的求法，同时还涉及了利用导数研究函数的最值，考查函数思
15、想，考查推理能力及运算能力，属于较难题目13.【答案】4【解析】解：根据题意，函数，当时，无解；当时，解可得，符合题意，故，故答案为：根据题意，由函数的解析式分与两种情况讨论，求出的值，即可得答案本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题14.【答案】1 6【解析】解：令，可得展开式中的所有项的系数和为，则实数展开式中常数项为，故答案为：1；由题意令，可得二项式的各项系数和，求出a的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式的常数项本题主要考查二项式定理的应用，求二项式的各项系数和，二项展开式的通项公式，属于中档题15.【答案】，满足，x，均可【解析】解：当，可得，当x，y同号时，
16、可得，当x，y异号时，故取整数x，y满足即可故答案为：，当，可得，分x，y同号和异号讨论即可求得答案本题考查了命题真假判定、倒数的性质，属于中档题16.【答案】【解析】解：设，满足，所以，所以，又因为在圆上满足，所以，整理得，所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如图所示，当渐近线与圆有交点时，说明渐近线上存在点Q，使得，当两条渐近线与圆恰好相切时为临界点，则：圆心到渐近线的距离，因为，即，所以，此时，当时，渐近线与圆有交点，则，故答案为：设，代入，得P点坐标，再代入圆的方程可得点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，推出当渐近线与圆有交点时，说明渐近线上存在点Q，使得，求出当两条渐近线与圆恰好相切
17、时，即可得出答案本题考查直线与圆，双曲线的位置关系，解题中需要一定的计算能力，属于中档题17.【答案】解：选条件，由，两式相减得：，所以，又，得，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以因此，所以选条件，解法一：由，得，当时，所以，又也符合，所以因此，所以解法二：由，得，所以数列是常数列，所以，所以因此，所以选条件，时，又，显然不符合上式，所以，则，当时，又，符合，所以【解析】选，运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式和求和公式，计算可得所求和；选，解法一、运用数列恒等式和数列的裂项相消求和，计算可得所求和；解法二、由数列是常数列，可得，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和；选，由
18、数列的递推式和等比数列的求和公式，可得所求和本题考查等差、等比数列的通项公式、求和等基础知识，以及数列的裂项相消求和，考查运算求解能力，逻辑推理能力，化归与转化思想等，属于中档题18.【答案】解：法一：由余弦定理得，由题设知，所以，又，所以，所以在中，由正弦定理得，所以，又，所以，所以，在中，所以，因为，所以法二：同解法一在中，由正弦定理得，所以，因为，所以，所以所以，在中，因为，所以在中，所以，因为，所以【解析】法一：由已知利用余弦定理可得，解方程可得BC的值，进而根据三角形的面积公式即可求解在中，由正弦定理得的值，利用同角三角函数基本关系式可求，进而根据两角差的正切公式即可求解的值法二：同
19、解法一在中，由正弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可求，进而利用两角和与差的正切公式即可求解本小题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和差公式等基础知识，考查运算求解能力考查化归与转化思想等，属于中档题19.【答案】证明：取BD中点O，连接AO，CO，EO，FO，因为，所以，又因为为沿BD折起的图形，所以，又，EF，平面EFO，所以平面EFO，又平面EFO，所以，又因为O为BD中点，所以；解：由得，O为BD中点，所以A，O，C三点共线，且，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为，又，所以，又点E在平面ABCD内的正投影G为的重心，所以，故，设平面ABE的一个法向量为，则，即令，则，
20、故，设平面BED的一个法向量为，则，即令，则，故，所以，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为【解析】取BD中点O，连接AO，CO，EO，FO，利用线面垂直的判定定理证明平面EFO，可得，由O为BD的中点，即可证明；建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等20.【答案】解：每天该礼盒的需求量在单位：个范围内等可能取值，则该礼盒的日需求量不低于15盒的概率；的可能取
21、值为470，530，590，650，所以，所以的分布列为：470530590650P故；设超市日进货x个水果礼盒，需求量为a盒，则日利润Y的分布列为：YP故，所以当时，的最大值为684，应该建议超市日进货18个水果礼盒【解析】利用古典概型的概率公式求解即可；先求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可；设超市日进货x个水果礼盒，需求量为a盒，计算日利润Y的分布列，求出数学期望，利用二次函数的性质求解即可本题考查了古典概型概率公式的运用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题21.【答案】
22、解：因为，为椭圆的左右顶点，所以，因为，所以，解得，所以椭圆方程为，将代入上式，可得，解得，所以椭圆方程为证明：联立，得，所以，当轴或轴时，不妨设轴，将代入，解得，即，将坐标代入，解得，所以，解得，所以，所以，所以直线AM的方程为，直线BM的方程为，分别联立，得，所以PQ中点，所以，若直线AM，BM都不与y轴垂直，则，所以直线AM的方程为，直线BM的方程为，分别联立直线AM，BM与的方程，解得，所以PQ的中点，将，代入上式，得，所以，综上所述，恒为定值【解析】写出，坐标，再计算，解得，将代入椭圆方程，解得，即可得出答案联立直线l与椭圆的方程，结合韦达定理可得，分两种情况：当轴，直线AM，BM都
23、不与y轴垂直，讨论直线MN的斜率本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题22.【答案】解：函数的定义域为，当时，恒成立，在上单调递增；当时，令，则，设，则，易知，当时，单调递减，当时，单调递增，在上单调递增；综上，当时，在上单调递增；依题意，则，两式相除得，设，则，设，则，设，则，在单调递增，则，则在单调递增，又，即，即的最大值为【解析】对函数求导，然后分及讨论即可得出单调性情况；设，由题意可知，则，设，判断函数的单调性，结合题意即可求得的最大值本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查转化与化归思想，函数与方程思想，考查逻辑推理以及运算求解能力，属于中档题