1、第4节指数与指数函数1根式(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数(2)性质：()na(a使有意义)；当n为奇数时，a，当n为偶数时，|a|2分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a(a0，m，nN*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是a(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：arasars；(ar)sars；(ab)rarbr，其中a0，b0，r，sQ.3指数函数及其性质(1)概念：函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数(2)指数函数的图象与性质a1
2、0a0时，y1；当x0时，0y1当x1；当x0时，0y1)的值域是(0，)()(5)函数y2x在R上为单调减函数()答案：(1)(2)(3)(4)(5)小题查验1化简(2)6(1)0的结果为( )A9B7C10 D9解析：B原式(26)1817.2在同一坐标系中，函数y2x与yx的图象之间的关系是( )A关于y轴对称 B关于x轴对称C关于原点对称 D关于直线yx对称解析：Ayx2x，它与函数y2x的图象关于y轴对称3已知函数f(x)4ax1的图象恒过定点P，则点P的坐标是()A(1,5)B(1,4)C(0,4) D(4,0)解析：A由a01知，当x10，即x1时，f(1)5，即图象必过定点(1
3、,5). 故选A.4(教材改编)已知0.2m”或“5若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_.解析：由题意知0a211，即1a22，得a1或1a.答案：(，1)考点一根式与有理数指数幂的运算(自主练透)数学运算巧算指数式指数的运算除了熟练运用定义和法则外，根据不同的题目结构，会有不同的方法技巧， 可以化为同指数，也可以化为同底数，展现出其运算之“芬芳”题组集训1下列等式能够成立的是()A.5mn5B.C.(xy) D.解析：D5n5m5， (x3y3)(xy)，.故选D.2求值与化简(1)(0.027)2(1)0；(2).解：(1)原式(1)22149145.(2)原式a
4、abba0b0.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答易错警示：运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数考点二指数函数的图象及应用(师生共研)典例(1)函数f(x)1e|x|的图象大致是()(2)函数f(x)axb的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b1，b0C0a0 D0a1，b0(3)(2019衡水模拟)若曲
5、线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_.解析(1)将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)1e|x|是偶函数，且值域是(，0，只有A满足上述两个性质，故选A.(2)由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1，函数f(x)axb的图象是在yax的基础上向左平移得到的，所以b0，且a1)的图象可能是( )解析：D法一：当0a0，且a1)的图象必过点(1,0)，所以选D.2方程2x2x的解的个数是_.解析：方程的解可看作函数y2x和y2x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图所示)由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解答案：1
6、考点三指数函数的性质及应用(多维探究)命题角度1比较指数式的大小1设a，b，c，则a，b，c的大小关系是_.解析：yx(x0)为增函数，ac.yx(xR)为减函数，cb，acb.答案：acb命题角度2简单的指数方程或不等式的应用2设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是( )A(，3)B(1，)C(3,1) D(，3)(1，)解析：C当a0时，不等式f(a)1可化为a71，即a8，即a3，因为01，所以a3，此时3a0；当a0时，不等式f(a)1可化为1，所以0a1.故a的取值范围是(3,1)，故选C.命题角度3探究指数型函数的性质3已知函数f(x)ax24x3.(1)若a1，求f(x
7、)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，)，求a的值思路导引(1)遵循“同增异减”法则求f(x)的单调区间；(2)由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值1，由此可求出a的值；(3)要使f(x)的值域为(0，)，应使g(x)ax24x3的值域为R，由此可求出a的值解：(1)当a1时，f(x)x24x3，令g(x)x24x3，由于g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而yt在R上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2)(2)令g(x)ax24x3，
8、f(x)g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使yg(x)的值域为(0，)，应使g(x)ax24x3的值域为R，因此只能a0.(因为若a0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)故a的值为0.指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法(2)简单的指数方程或不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性
9、、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论1已知f(x)2x2x，若f(a)3，则f(2a)等于()A5B7C9 D11解析：B由f(a)3得2a2a3，两边平方得22a22a29，即22a22a7，故f(2a)7.2(2020蚌埠市模拟)已知a21.2，b0.8，cln 2，则a，b，c的大小关系为( )Acab BcbaCbac Dbca解析：Ba21.2b0.820.81cln 2，故abc故选B.3函数y(0a0时，函数是一个指数函数，因为0a1，所以函数在(0，)上是减函数；故排除A、C；当x0时，函数图象与指数函数yax(x0,0a0，a1)，满足f(1)，则f
10、(x)的单调递减区间是()A(，2 B2，)C2，) D(，2解析：B由f(1)，得a2，a ，即f(x)|2x4|.由于y|2x4|在(，2上递减，在2，)上递增，所以f(x)在(，2上递增，在2，)上递减故选B.5已知函数f(x)ex(e为自然对数的底数)，对任意实数x、y都有()Af(xy)f(x)f(y) Bf(xy)f(x)f(y)Cf(xy)f(x)f(y) Df(xy)f(x)f(y)解析：C由指数幂的运算法则可得f(xy)exy，f(xy)exy；f(x)f(y)exey, f(xy)exyexeyf(x)f(y)；选项C正确，故选C.6(2020烟台市模拟)化简：6_.解析：
11、原式66x3y2.答案：x3y27设偶函数f(x)满足f(x)2x4(x0)，则x|f(x2)0_.解析：f(x)为偶函数，当x0时，解得x4或x0x|x4答案： x|x48函数yxx1在x3,2上的值域是_.解析：yxx12x12，因为x3,2，所以x8.当x，即x1时ymin；当x8，即x3时，ymax57.所以函数y的值域为.答案：9化简下列各式：(1)0.50.1230；(2) .解：(1)原式31003100.(2)原式abaa.10已知函数f(x)是奇函数(1)求m的值；(2)设g(x)2x1a，若函数f(x)与g(x)的图象至少有一个公共点，求实数a的取值范围解析：(1)由函数f(x)是奇函数可知f(0)1m0，解得m1.(2)函数f(x)与g(x)的图象至少有一个公共点，即方程2x1a至少有一个实根，即方程4xa2x10至少有一个实根令t2x0，则方程t2at10至少有一个正根方法一：由于at2，a的取值范围为2，)方法二：令h(t)t2at1，由于h(0)10，只须解得a2.a的取值范围为2，)