1、二次函数的图像 二次函数的性质基础过关练题组一二次函数及其图像1.函数y=12x2-5x+1图像的对称轴方程和顶点坐标分别是()A.x=5,5,-232B.x=-5,-5,232C.x=5,-5,232D.x=-5,5,-2322.已知关于x的函数y=ax2+bx+c(a,b,cR且a0),如果abc,且a+b+c=0,那么它的图像是()3.(2021广东珠海二中高一上期中)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a0)图像的一部分,图像过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,给出下面四个结论:b24ac;2a-b=1;a-b+c=0;若y0,则x(-3,1).其中正确的是()A.B.C.D.4
2、.函数y=3x2-x+2的图像向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得图像对应的函数解析式是.5.已知二次函数y=2x2-4x-6.(1)确定此函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标,并画出图像;(2)x为何值时,分别有y0,y=0,y0?题组二二次函数的性质及其应用6.若函数f(x)=x2+bx+c的图像的对称轴为直线x=2,则()A.f(4)f(1)f(2)B.f(2)f(1)f(4)C.f(2)f(4)f(1)D.f(4)f(2)f(1)7.(2021四川省实验外国语学校高一上期中)已知函数f(x)=x2+ax+a2图像的对称轴为直线x=1,则函数f(x)的单调递减区间为()A.
3、-,12B.(-,1)C.(-,2)D.(-,4)8.已知函数f(x)(xR)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),(xm,ym),则x1+x2+xm=()A.0B.mC.2mD.4m9.当0x2时,a-x2+2x恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-,1B.(-,0C.(-,0)D.(0,+)10.已知函数f(x)=x2-2ax+5在区间1,+)上为增函数,则f(-1)的取值范围是.11.若函数f(x)=1x2+2x-a的定义域为R,则实数a的取值范围为.12.(2021河南新乡高一上期中联考)某商场就一新款儿童玩
4、具进行促销活动,活动时长是30天,这30天内第x(1x30,xN+)天的销售单价(单位:元)为p(x)=50+2x(1x10,xN+),80-x(10x30,xN+),销售量(单位:件)为q(x)=n-x(1x30,xN+),且第20天的销售额为1800元(销售额=销售单价销售量).(1)求n的值,并求出第5天的销售额;(2)求这30天内单日销售额的最大值.13.已知函数f(x)=x2-2x+2.(1)求f(x)在区间12,3上的最大值和最小值;(2)若g(x)=f(x)-mx在2,4上是单调函数,求实数m的取值范围.能力提升练一、选择题1.(2020广东深圳罗湖高一上期末,)函数y=x(8-
5、x)的最大值是()A.4B.22C.42D.162.(2021安徽名校高一上期中联考,)若二次函数f(x)=ax2+2ax+1在区间-2,3上的最大值为6,则a=()A.13B.-13或5C.13或-5D.-133.(2019四川成都石室中学高一上第一次月考,)若函数f(x)=x2-3x+4的定义域为0,m,值域为74,4,则m的取值范围是()A.32,3B.32,4C.(0,4D.32,+4.()已知函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值,则实数k的取值范围是()A.160,+)B.(-,40C.(-,40160,+)D.(-,2080,+)5.(2021
6、福建南安侨光中学高一上第二次段测,)函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2,对x1,x2(-,4),且x1x2恒有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,则a的取值范围为()A.0a15B.0a15C.0a156.()若函数f(x)=1mx2+2(m-2)x+1的值域为(0,+),则实数m的取值范围是()A.(1,4)B.(-,1)(4,+)C.(0,14,+)D.0,14,+)二、填空题7.()把二次函数y=x2+bx+c的图像向上平移2个单位长度,再向左平移4个单位长度,得到函数y=x2的图像,则b=,c=.8.()已知f(x)=34x2-3x+4,若f(x)的定义域和值域都是a,b,则
7、a+b=.9.()已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR且a0)有最小值,且f(1-x)=f(1)+f(x),若f(x)在区间2m,m+1上不单调,则实数m的取值范围为.三、解答题10.()已知函数f(x)=(x-2)(x+a)(aR),f(x)的图像关于直线x=1对称.(1)求a的值;(2)求f(x)在区间0,3上的最小值.11.(2019山东师大附中高一上第一次学分认定考试,)已知函数g(x)=x2-4x+2,xt,t+2.(1)当t=1时,求g(x)的值域;(2)设g(x)的最小值为h(t),请写出h(t)的表达式,并求h(t)=2的解.12.(2020浙江宁波九校联考,)
8、定义在R上的函数f(x)=ax2+x.(1)当a0时,求证:对任意的x1,x2R都有12f(x1)+f(x2)fx1+x22成立;(2)当x(0,2时,|f(x)|1恒成立,求实数a的取值范围;(3)若a=14,点P(m,n2)(mZ,nZ)是函数y=f(x)图像上的点,求m,n.答案全解全析第二章函数4二次函数性质的再研究第4.1二次函数的图像第4.2二次函数的性质基础过关练1.A2.D3.A6.B7.B8.B9.C1.Ay=12x2-5x+1=12(x-5)2-232,对称轴方程为x=5,顶点坐标为5,-232,故选A.2.D解法一:a+b+c=0且abc,a0,c0,=b2-4ac=-(
9、a+c)2-4ac=(a-c)20,图像与x轴有两个交点.故选D.3.A由题中函数y=ax2+bx+c(a0)的图像,可得函数的图像开口向下,与x轴有两个交点,所以a0,所以b24ac,故正确;由对称轴方程为x=-b2a=-1,可得2a=b,所以2a-b=0,故不正确;由f(-1)0,可得a-b+c0,故不正确;由题图可得f(-3)=0,根据函数的对称性,可得f(1)=0,若y0,则-3x0,函数的图像开口向上,对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,-8).列表如下:x-10123y0-6-8-60描点并连线,得函数y=2x2-4x-6的图像如图所示:(2)由图可得,当x3时,y0;当x=-1或
10、x=3时,y=0;当-1x3时,yf(1),所以f(2)f(1)f(4).7.B由题意得,f(x)为二次函数且其图像开口向上,对称轴为直线x=1,所以对称轴左侧为单调递减区间,故函数f(x)的单调递减区间是(-,1).故选B.8.B由f(x)=f(2-x)可知f(x)的图像关于直线x=1对称,而y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|的图像也关于直线x=1对称,故两个图像的交点也关于直线x=1对称,x1+x2+xm=m,故选B.9.C令f(x)=-x2+2x,则f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1.x0,2,f(x)min=f(0)=f(2)=0,a0在R上恒成立.解法一:由x2+2
11、x-a0在R上恒成立,得=22-41(-a)0,解得a0在R上恒成立,只需g(x)min=-1-a0,解得a0在R上恒成立,得x2+2xa恒成立,令F(x)=x2+2x,则F(x)min=F(-1)=-1a,即a-1.12.信息提取p(x)=50+2x(1x10,xN+),80-x(10x30,xN+);第20天的销售额为1800元.数学建模本题以儿童玩具促销为背景,构建二次函数模型,借助二次函数的单调性求最值,从而解决实际问题中的销售额的最大值问题.对于(1),可先求出单日销售额y与x的函数关系式,再根据第20天的销售额为1800元求出n的值,最后代入x=5,即可得出结果;对于(2),先分别
12、求出1x10,10x30时的最值,通过对比即可得出结果.解析(1)设单日销售额为y元,则y=p(x)q(x)=(50+2x)(n-x),1x10,xN+,(80-x)(n-x),10x30,xN+,整理,得y=-2x2+(2n-50)x+50n,1x10,xN+,x2-(n+80)x+80n,10x30,xN+,当x=20时,y=400-20(n+80)+80n=1800,解得n=50,故y=-2x2+50x+2500,1x10,xN+,x2-130x+4000,10x30,xN+,当x=5时,y=2700,即第5天的销售额为2700元.(2)当1x10,xN+时,y=-2x2+50x+250
13、0单调递增,则单日销售额的最大值为-2102+5010+2500=2800;当100时,f(x)在区间-2,3上的最大值为f(3)=15a+1,由15a+1=6,解得a=13,符合题意;当a0时,f(x)在-2,3上的最大值为f(-1)=1-a,由1-a=6,解得a=-5,所以a的值为13或-5.故选C.3.Af(x)=x2-3x+4=x-322+74,f32=74,又f(0)=f(3)=4,f(x)的图像如图所示:由已知及二次函数图像可知,m的最小值为32,最大值为3,即m的取值范围是32,3,故选A.4.C由于二次函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值,
14、因此函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上是单调函数.二次函数f(x)=4x2-kx-8图像的对称轴为直线x=k8,因此k85或k820,所以k40或k160.5.B根据题意,对x1,x2(-,4),且x1x2恒有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,1-aa4,解得00,=2(m-2)2-4m0,解得0m1或m4.综上可得,实数m的取值范围是0,14,+),故选D.二、填空题7.答案-8;14解析将函数y=x2的图像向右平移4个单位长度,得到y=(x-4)2的图像,再向下平移2个单位长度,得到y=(x-4)2-2的图像,即y=x2-8x+14的图像,所以b=-8,c=14.8.
15、答案5解析f(x)=34x2-3x+4=34(x-2)2+1.当b2时,f(x)在a,b上递减.依题意有f(a)=b,f(b)=a,即34a2-3a+4=b,34b2-3b+4=a,解得a=b=43,与ab矛盾,故舍去.当a2b时,f(2)=1=a,而f(1)=742时,f(x)在a,b上递增,依题意有f(a)=a,f(b)=b,即a、b是方程34x2-3x+4=x的两根,且a0.f(1-x)=f(1)+f(x),即a(1-x)2+b(1-x)+c=a+b+c+ax2+bx+c,即2(a+b)x=-c对任意xR恒成立,故a+b=0且c=0,f(x)图像的对称轴为直线x=-b2a=12.f(x)
16、在2m,m+1上不单调,2m12m+1,解得-12m14,即m的取值范围为-12,14.三、解答题10.解析(1)f(x)=(x-2)(x+a)=x2-(2-a)x-2a,函数f(x)图像的对称轴为直线x=2-a2=1,故a=0.(2)由(1)得f(x)=x2-2x=(x-1)2-1.因为x0,3,所以f(x)min=f(1)=-1.11.解析(1)当t=1时,x1,3,由g(x)=x2-4x+2=(x-2)2-2得g(x)min=-2,g(x)max=g(1)=g(3)=-1,因此当t=1时,g(x)的值域为-2,-1.(2)当t2时,g(x)在t,t+2上为增函数,h(t)=g(t)=t2
17、-4t+2.当t+22,即t0时,g(x)在t,t+2上递减,h(t)=g(t+2)=t2-2.当t2t+2,即0t2时,h(t)=g(2)=-2.综上所述,h(t)=t2-2,t0,-2,0t2,t2-4t+2,t2.由h(t)=2得t0,t2-2=2或0t0,12f(x1)+f(x2)-fx1+x22=a(x1-x2)240,原不等式成立.(2)由题意得-1ax2+x1对任意x(0,2恒成立,即-1-xx2a1-xx2在(0,2上恒成立,即-1x2-1xa1x2-1x对任意x(0,2恒成立.在x(0,2上,易求得-1x2-1x的最大值为-34,1x2-1x的最小值为-14,-34a-14.(3)由题意得14m2+m=n2,即(m+2)2-4n2=4,即(m+2-2n)(m+2+2n)=4.(m+2-2n)+(m+2+2n)=2m+4为偶数,m+2-2n,m+2+2n同奇同偶,m+2-2n=2,m+2+2n=2或m+2-2n=-2,m+2+2n=-2,解得m=0,n=0或m=-4,n=0.
