1、第一章集合与常用逻辑用语第一节集合及其运算1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系.(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.1.元素与集合(1)集合中元素的特性:确定性 、互异性、无序性.(2)集合与元素的关系:若a属于
2、集合A,记作aA;若b不属于集合A,记作bA.(3)集合的表示方法:列举法、描述法、图示法.(4)常见数集及其符号表示:数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N+ZQR2.集合间的基本关系文字语言符号语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素xAxBAB或BA真子集集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于AAB,且x0B,x0AAB或BA相等集合A,B的元素完全相同AB,BAA=B空集不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集,是任何非空集合B的真子集x,x,A,B(B)提醒(1)“”与“”的区别:ABA=B或AB,若AB和AB同时成立,则AB更
3、准确.(2),0和的区别,是集合,不含有任何元素,0含有一个元素0;含有一个元素,且和都正确.(3)在涉及集合之间的关系时,若未指明集合非空,则要考虑空集的可能性,如:若AB,则要考虑A=和A两种情况.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为U,则集合A的补集为UA图形表示意义x|xA或xBx|xA,且xBx|xU,且xA4.集合的运算性质(1)并集的性质:A=A;AA=A;AB=BA;AB=ABA;(2)交集的性质:A=;AA=A;AB=BA;AB=AAB;(3)补集的质:AUA=U;AUA=;U(UA)=A;U(AB)=UAUB;U(AB)=UAUB.1.非
4、常规性表示常用数集:如x|x=2(n-1),nZ为偶数集,x|x=4n1,nZ为奇数集等.2.(1)一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集;(2)任何一个集合是它本身的子集;(3)对于集合A,B,C,若AB,BC,则AC(真子集也满足).3.子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、(2n-1)个真子集、(2n-1)个非空子集、(2n-2)个非空真子集.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”). (1)x|x1=t|t1.()(2)x|y=x2+1=y|y=x2+1=(x,y)|y=x2+1.()(3)含有n个元素的集合有(2n-1)个子集.()(4)集合x|
5、x=x3用列举法表示为-1,1.()(5)若AB=A,则BA.()(6)若A=x|x=2k-1,kZ,B=x|x=2k+1,kZ,则集合A=B.()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2.(2019课标全国,1,5分)已知集合M=x|-4x2,N=x|x2-x-60,则MN=() A.x|-4x3B.x|-4x-2C.x|-2x2D.x|2x3答案C3.已知集合A=0,1,x2-5x,若-4A,则实数x的值为.答案1或44.已知集合A=x|3x7,B=x|2x10,则R(AB)=.答案x|x2或x105.已知集合P=2,3,4,5,6,Q=3,4,5,7,若M=PQ,则M的子集的个数为.答
6、案8集合的基本概念典例1(1)设a,bR,若1,a+b,a=0,ba,b,则b-a=()A.1 B.-1C.2 D.-2(2)集合A=x|x2-7x0,xN*,则B=y|6yN*,yA中元素的个数为()A.1 B.2C.3 D.4答案(1)C(2)D方法技巧与集合中的元素有关的问题的求解策略(1)确定集合中的元素是什么,即集合是数集还是点集;(2)看这些元素满足什么限制条件;(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数.易错提示要注意检验集合中元素的互异性.1-1若集合A=xR|ax2-3x+2=0中只有一个元素,则a=()A.92B.98C.0D.0或98答案D当a=0时,显然成立
7、;当a0时,=(-3)2-8a=0,即a=98.1-2已知集合A=m+2,2m2+m,若3A,则m的值为.答案-32解析因为3A,所以m+2=3或2m2+m=3.当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3,此时集合A中有重复元素3,所以m=1不符合题意,舍去;当2m2+m=3时,解得m=-32或m=1(舍去),此时m+2=123符合题意.所以m=-32.集合间的基本关系典例2(1)已知集合A=x|x2-3x+2=0,xR,B=x|0x5,xN,则()A.BAB.A=BC.ABD.BA(2)若集合A满足a,bAa,b,c,d,e,则集合A的个数是()A.6B.7C.8D.9(3)已知集合A=x|-
8、2x5,B=x|m+1x2m-1,若BA,则实数m的取值范围是.(4)集合A=x|x2+4x=0,B=x|x2+2(a+1)x+a2-1=0.(i)若B是A的子集,则实数a的取值范围是;(ii)若A是B的子集,则实数a的取值范围是.答案(1)C(2)C(3)(-,3(4)(i)a-1或a=1;(ii)a=1 解析(1)由x2-3x+2=0得x=1或x=2,A=1,2.由题意知B=1,2,3,4,比较A,B中的元素可知AB,故选C.(3)若B=,则2m-1m+1,所以m2.若B,则2m-1m+1,m+1-2,2m-15,解得2m3.综上可得,符合题意的实数m的取值范围是(-,3.(4)由题意可得
9、,A=0,-4.(i)易知BA,B=0或-4或或0,-4.当B=0或-4时,方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有两个相等的实根,即2(a+1)2-4(a2-1)=0,a=-1,此时B=0,满足题意.当B=0,-4时,即x=0,-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根,易得a=1.当B=时,即方程x2+2(a+1)x+a2-1=0无解,则0,即2(a+1)2-4(a2-1)0,解得a-1.综上可得,a-1或a=1.(ii)易知AB,A=0,-4,即0,-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根,a2-1=0,a2-8a+7=0a=1.探究(变条件)若将本例(3)中的“A=x|-
10、2x5”改为“A=x|x5”,求实数m的取值范围.解析当B=时,有2m-1m+1,m5或m+12m-1,2m-14或m2,m4.综上可知,实数m的取值范围是(-,2)(4,+).方法技巧已知两个集合间的关系求参数,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观地解决这类问题.2-1已知集合P=1,3,则满足PQ=1,2,3,4的集合Q的个数是()A.1 B.2C.3 D.4答案D2-2已知集合A=x|1x5,B=x|-axa+3,若B(AB),则a的取值范围是.答案(-,-1解析因为B(AB),所以BA.当B=时,满足BA,此时-aa+3,即
11、a-32;当B时,要使BA,则-aa+3,-a1,a+35,解得-32a-1.综上可知,a的取值范围是(-,-1.2-3已知集合A=x|x2=1,B=x|ax=1,若B是A的子集,则实数a的取值集合为.答案0,1,-1集合的基本运算典例3(1)已知集合M=x|x-2x-30,N=x|2x-5x-20,则MN=()A.52,3B.2,52C.2,52D.52,3(2)设全集U=R,集合A=x|x2-2x-30,B=x|x-10,则图中阴影部分所表示的集合为()A.x|x-1或x3B.x|x1或x3C.x|x1D.x|x-1 (3)已知集合A=x|y=4-x2,B=x|axa+1,若AB=A,则实
12、数a的取值范围是()A.(-,-32,+)B.-1,2C.-2,1D.2,+)答案(1)B(2)D(3)C解析(1)解不等式可得集合M=(2,3),集合N=2,52,所以MN=2,52.(2)解不等式可得集合A=(-1,3),集合B=1,+),所以AB=(-1,+),所以U(AB)=(-,-1,所以选D.方法技巧(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借用Venn图求解.(2)集合中的元素若是连续的实数,常借助数轴求解,但要注意端点值能否取到.(3)根据集合的运算求参数,先把符号语言译成文字语言,然后适时应用数形结合求解.3-1若集合A=x|x2+2x-80,B=x|5-mx2m-1.若U=R,
13、AUB=A,则实数m的取值范围是.答案(-,3解析易知A=x|-4x2.由AUB=A,得AUB,则AB=,由数轴得5-m2m-1或2m-1-4,5-m2m-1或5-m2,5-m2m-1,解得m3.集合中的新定义问题典例4(1)定义集合的商集运算为AB=x|x=mn,mA,nB,已知集合A=2,4,6,B=x|x=k2-1,kA,则集合BAB中的元素的个数为()A.6 B.7C.8 D.9(2)设A,B是两个非空集合,定义集合A-B=x|xA,且xB.若A=xN|0x5,B=x|x2-7x+100,则A-B=()A.0,1 B.1,2C.0,1,2D.0,1,2,5答案(1)B(2)D解析(1)
14、由题意知,B=0,1,2,则BA=0,12,14,16,1,13,则BAB=0,12,14,16,1,13,2,共有7个元素.故选B.(2)A=xN|0x5=0,1,2,3,4,5,B=x|x2-7x+100=x|2x5,A-B=x|xA,且xB,A-B=0,1,2,5.故选D.方法技巧解决集合中的新定义问题的方法解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在;(2)用好集合的性质.解题时要善于从题目中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运
15、算与性质.4-1设A是整数集的一个非空子集,对于kA,如果k-1A且k+1A,那么k是A的一个“单一元”,给定S=1,2,3,4,5,6,7,8,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“单一元”的集合共有个.答案6解析符合题意的集合为1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8,共6个.1.(2019课标全国,1,5分)已知集合A=-1,0,1,2,B=x|x21,则AB=() A.-1,0,1B.0,1C.-1,1 D.0,1,2答案A2.已知集合A=x|y=1x+1,B=x|x|2,则AB=()A.(-1,2) B.(0,2)C.(-2,0) D.(-2,-1)答案
16、A3.设函数y=4-x2的定义域为A,函数y=11-x的定义域为B,则AB=()A.(1,2)B.(1,2C.(-2,1)D.-2,1)答案D4.已知集合A=1,2,3,4,B=2,4,6,8,则AB中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4答案B5.设集合A=x|-x2-x+20,则集合A与B的关系是()A.BAB.BAC.BAD.AB答案A因为A=x|-x2-x+21或x0=x|x52.在数轴上表示出集合A与集合B,如图所示,可知,BA.6.已知集合A=xN|x3,B=x|x=a-b,aA,bA,则AB=()A.1,2B.-2,-1,1,2C.1D.0,1,2答案D7.集合A=1,2,3,
17、4,B=x|(x-1)(x-a)0,若集合AB=2,3,则实数a的范围是()A.3a4B.3a4C.3a3答案B8.设集合A=1,2,4,B=x|x2-4x+m=0.若AB=1,则B=()A.1,-3B.1,0C.1,3 D.1,5答案C9.设集合M=x|-12x0时,B=1a,-1a,由题意知1a=1或1a=12,解得a=1或a=4,经检验,均符合要求.故a的取值集合为0,1,4.13.已知集合A=x|1x2,B=x|mxm+3.(1)当m=2时,求AB;(2)若AB,求实数m的取值范围.解析(1)当m=2时,B=x|2x5,AB=x|1x2x|2x5=x|1x5.(2)AB,m1,m+32,解得-1m1,实数m的取值范围是-1,1.14.已知集合A=x|x2-3x+2=0,B=x|x2-ax+a-1=0,若AB=A,求实数a的值.解析依题意得A=x|x2-3x+2=0=1,2.因为AB=A,所以BA,所以集合B可以为1,2,1,2或.当B=1时,有=a2-4(a-1)=0,1-a+a-1=0,所以a=2,与题意相符;当B=2时,有=a2-4(a-1)=0,22-2a+a-1=0,无解;当B=,即方程x2-ax+a-1=0无实数根时,=a2-4(a-1)0=(a-2)20,a-1=12,a=1+2,所以a=3,与题意相符.综上,a=2或a=3.
