1、第6节曲线与方程【选题明细表】知识点、方法题号曲线与方程、直接法求轨迹方程1,10定义法、待定系数法求轨迹方程4,6,8,11,13,15相关点法(代入法)求轨迹方程3,7,9,12,14向量法、参数法求轨迹方程2,5基础巩固(时间:30分钟)1.方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的曲线是(C)(A)一条直线和一条双曲线(B)两条双曲线(C)两个点(D)以上答案都不对解析:由(x-y)2+(xy-1)2=0解得或故选C.2.已知点O(0,0),A(1,2),动点P满足|+|=2,则P点的轨迹方程是(A)(A)4x2+4y2-4x-8y+1=0(B)4x2+4y2-4x-8y-1=0(C)
2、8x2+8y2+2x+4y-5=0(D)8x2+8y2-2x+4y-5=0解析:设P点的坐标为(x,y),则=(x,y),=(x-1,y-2),+=(2x-1,2y-2).所以(2x-1)2+(2y-2)2=4,整理得4x2+4y2-4x-8y+1=0.故选A.3.(2017普陀区二模)动点P在抛物线y=2x2+1上移动,若P与点Q(0,-1)连线的中点为M,则动点M的轨迹方程为(B)(A)y=2x2(B)y=4x2(C)y=6x2(D)y=8x2解析:设PQ中点M为(x,y),则P(2x,2y+1)在抛物线y=2x2+1上,即(2y+1)=2(2x)2+1,所以y=4x2.故选B.4. 设圆
3、(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为(D)(A)-=1(B)+=1(C)-=1(D)+=1解析:因为M为AQ垂直平分线上一点,则|AM|=|MQ|,所以|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,故M的轨迹是以定点C,A为焦点的椭圆.所以a=,c=1,则b2=a2-c2=,所以椭圆的方程为+=1.故选D.5.设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称, O为坐标原点.若=2,且=1,则点P的轨迹方程是(A)(A)x2+3y2=1(x
4、0,y0)(B)x2-3y2=1(x0,y0)(C)3x2-y2=1(x0,y0)(D)3x2+y2=1(x0,y0)解析:设A(a,0),B(0,b),a0,b0.由=2,得(x,y-b)=2(a-x,-y),所以即a=x0,b=3y0.点Q(-x,y),故由=1,得(-x,y)(-a,b)=1,即ax+by=1.将a,b代入ax+by=1得所求的轨迹方程为x2+3y2=1(x0,y0).故选A.6.(2017安徽黄山市二模)在ABC中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出ABC满足的条件,就能得到动点A的轨迹方程.下表给出了一些条件及方程:条件方程ABC周长为10C1:y2=2
5、5ABC面积为10C2:x2+y2=4(y0)ABC中,A=90C3:+=1(y0)则满足条件,的轨迹方程依次为(A)(A)C3,C1,C2(B)C1,C2,C3(C)C3,C2,C1(D)C1,C3,C2解析:ABC的周长为10,即AB+AC+BC=10,又BC=4,所以AB+AC=6BC,此时动点A的轨迹为椭圆,与C3对应;ABC的面积为10,所以BC|y|=10,即|y|=5,与C1对应;因为A=90,所以=(-2-x,-y)(2-x,-y)=x2+y2-4=0,与C2对应.故选A.7.直线+=1与x,y轴交点的中点的轨迹方程是.解析:直线+=1与x,y轴的交点为A(a,0),B(0,2
6、-a),设AB的中点为M(x,y),则x=,y=1-,消去a,得x+y=1.因为a0且a2,所以x0且x1.答案:x+y=1(x0且x1)8.已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是.解析:设抛物线焦点为F,过A,B,O作准线的垂线AA1,BB1,OO1,则|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4,由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,所以|FA|+|FB|=4,故F点的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).答案:+=1(y0)能力提升(时间:15分钟)9.如图所示,在平面直角坐标
7、系xOy中,A(1,0),B(1,1),C(0,1),映射f将xOy平面上的点P(x,y)对应到另一个平面直角坐标系uOv上的点P(2xy,x2-y2),则当点P沿着折线ABC运动时,在映射f的作用下,动点P的轨迹是(D)解析:当P沿AB运动时,x=1.设P(x,y),则(0y1),所以y=1-(0x2,0y1).当P沿BC运动时,y=1,则(0x1),所以y=-1(0x2,-1y0),由此可知P的轨迹如D所示.故选D.10.(2017湖南衡阳市联考)设点P(x,y)是曲线a|x|+b|y|=1(a0,b0)上的动点,且满足+2,则a+b的取值范围为(A)(A)2,+)(B)1,2(C)1,+
8、)(D)(0,2解析:设F1(0,-1),F2(0,1),则满足+=2的点P的轨迹是以F1(0,-1),F2(0,1)为焦点的椭圆,其方程为+=1.曲线a|x|+b|y|=1(a0,b0)为如图所示的菱形ABCD,C(,0),D(0,).由于+2,所以菱形ABCD在椭圆上或其内部,所以1,即a1,b.所以a+b1+=2.故选A.11.(2017江苏盐城模拟)ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是.解析:如图,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6.根据双曲线定义,所求轨迹是
9、以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,故方程为-=1(x3).答案:-= 1(x3)12.已知点A,B分别是射线l1:y=x(x0),l2:y=-x(x0)上的动点,O为坐标原点,且OAB的面积为定值2,则线段AB中点M的轨迹方程为.解析:由题意可设A(x1,x1),B(x2,-x2),M(x,y),其中x10,x20,则因为OAB的面积为定值2,所以SOAB=OAOB=(x1)(x2)=x1x2=2.2-2得x2-y2=x1x2,而x1x2=2,所以x2-y2=2.由于x10,x20,所以x0,即所求点M的轨迹方程为x2-y2=2(x0).答案:x2-y2=2(x0)13.(2017广元
10、市一模)已知定圆M:(x-3)2+y2=16和圆M所在平面内一定点A,点P是圆M上一动点,线段PA的垂直平分线l交直线PM于点Q.(1)讨论Q点的轨迹可能是下面的情形中的哪几种:椭圆;双曲线;抛物线;圆;直线;一个点.(2)若定点A(5,0),试求QMA的面积的最大值.解:(1)由题意知|QP|=|QA|,当A在圆M外时,|MA|4,且|QA|-|QM|=|PM|=4|MA|,所以Q点的轨迹是以M,A为焦点的双曲线,见图(1).当A在圆M内,且与M不重合时,|MA|MA|,所以Q点的轨迹是以M,A为焦点的椭圆,见图(2).当A在圆M上时,l过定点M,l与PM的交点Q就是点M,所以点Q的轨迹就是
11、一个点,见图(3).当A与M重合时,l与PM的交点Q就是PM的中点,所以点Q的轨迹就是圆,见图(4).综上所述,Q点的轨迹可能是四种.(2)因为A(5,0)在圆M内,由(1)知,点Q的轨迹是以M,A为焦点的椭圆,且|MA|=2=2c,|MP|=4=2a,所以b=,由椭圆的几何性质可知,Q为短轴端点时,最大,所以SMQA的最大值为2cb=.14.(2017合肥市二模)如图,抛物线E:y2=2px(p0)与圆O:x2+y2=8相交于A,B两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上的动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M
12、.(1)求p的值;(2)求动点M的轨迹方程.解:(1)由点A的横坐标为2,可得点A的坐标为(2,2),代入y2=2px,解得p=1.(2)设C(,y1),D(,y2),y10,y20.切线l1:y-y1=k(x-),代入y2=2x得ky2-2y+2y1-k=0,由=0解得k=,所以l1方程为y=x+,同理l2方程为y=x+.联立解得因为CD方程为x0x+y0y=8,其中x0,y0满足+=8,x02,2,联立方程得x0y2+2y0y-16=0,则代入可知M(x,y)满足所以代入+=8得-y2=1,考虑到x02,2,知x-4,-2.所以动点M的轨迹方程为-y2=1,x-4,-2.15.(2018泉
13、州市一模)ABC中,O是BC的中点,|BC|=3,其周长为6+3,若点T在线段AO上,且|AT|=2|TO|.(1)建立合适的平面直角坐标系,求点T的轨迹E的方程;(2)若M,N是射线OC上不同的两点,|OM|ON|=1,过点M的直线与E交于P,Q两点,直线QN与E交于另一点R,证明:MPR是等腰三角形.(1)解:以BC所在直线为x轴,O为坐标原点,建立平面直角坐标系,则|AB|+|AC|=6|BC|,所以点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,所以2a=6,2c=3,所以a=3,c=,所以b2=a2-c2=,所以点A的轨迹方程为+ =1(y0).设T(x,y),点T在线段AO上,且|AT|=2|TO|,所以A(3x,3y),代入轨迹方程,整理可得点T的轨迹E的方程是x2+2y2 =1(y0).(2)证明:根据题意,设M(m,0),(m0),由|OM|ON|=1,得N(,0),Q(x1,y1),P(x2,y2),R(x3,y3).由题意,直线QM不与坐标轴平行,kQM=,直线QM的方程为y=(x-m),与椭圆方程联立,消去y,得(m2+1-2mx1)x2-2m(1-)x+(2mx1-m2)=0,所以x1x2=,同理x1x3=x1x2,所以x2=x3,或x1=0.x2=x3,PRx轴;x1=0,x2=,x3=x2.PRx轴,所以|MP|=|MR|,所以MPR是等腰三角形.
