1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业 五十七曲线与方程(含轨迹问题)(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.|y|-1=表示的曲线是()A.抛物线B.一个圆C.两个圆D.两个半圆【解题指南】化简曲线方程时要注意等价性,每一步都需等价转化,对含有绝对值的式子须进行分类讨论,且分类要彻底,最后再综合起来分析.【解析】选D.原方程|y|-1=等价于得或所以原方程表示(x-1)2+(y-1)2=1(y1)和(x-1)2+(y+1)2=1(y-1)两个半圆.【加固训练】方程(x2-y2-1
2、)=0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分)()【解析】选B.原方程等价于或x-y-1=0,前者表示等轴双曲线x2-y2=1位于直线x-y-1=0下方的部分,后者为直线x-y-1=0,这两部分合起来即为所求.2.(2017杭州模拟)已知点F,直线l:x=-,点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是()A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线【解析】选D.由已知得|MF|=|MB|.由抛物线定义知,点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线.3.(2017张家口模拟)设线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,且|AB|=5,=+,则点M的轨迹方程为(
3、)A. +=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选A.设M(x,y),A(x0,0),B(0,y0),由=+,得(x,y)=(x0,0)+(0,y0),则解得由|AB|=5,得+=25,化简得+=1.4.(2017宝鸡模拟)若点P(x,y)到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则点P(x,y)的轨迹方程为()A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y【解析】选C.点P(x,y)到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,说明点P(x,y)到点F(0,2)和到直线y+2=0的距离相等,所以P点的轨迹为抛物线,设抛物线方程为x2=2py(p0),其中
4、p=4,故所求的轨迹方程为x2=8y.5.(2017兰州模拟)设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为()A.-=1B.+=1C.-=1D.+=1【解析】选D.因为M为AQ垂直平分线上一点,所以|AM|=|MQ|,所以|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,所以M的轨迹为椭圆.所以a=,c=1,b2=a2-c2=,所以椭圆的方程为+=1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2017秦皇岛模拟)在ABC中,A为动点,B,C为定点,B,C(a0),且满足条件sinC-sinB=s
5、inA,则动点A的轨迹方程是_.【解析】由正弦定理得-=,即|AB|-|AC|=|BC|,故动点A是以B,C为焦点,为实轴长的双曲线右支.即动点A的轨迹方程为-=1(x0且y0).答案:-=1(x0且y0)7.平面上有三个点A(-2,y),B,C(x,y),若,则动点C的轨迹方程是_.【解析】=-(-2,y)=,=(x,y)-=,因为,所以=0,所以=0,即y2=8x.所以动点C的轨迹方程为y2=8x.答案:y2=8x8.如图,过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴非负半轴于A点,l2交y轴非负半轴于B点,则线段AB的中点M的轨迹方程为_.世纪金榜导学号99972790【
6、解析】设点M坐标为(x,y).因为M (x,y)为线段AB中点,所以点A,B的坐标分别为A(2x,0),B(0,2y).当x1时,因为l1l2,且l1,l2过点P(2,4),所以kPAkPB=-1,即=-1(x1),化简得x+2y-5=0(x1).当x=1时,A,B分别为(2,0),(0,4),所以线段AB的中点为(1,2),满足方程x+2y-5=0(x0,y0).综上得M的轨迹方程为x+2y-5=0(x0,y0).答案:x+2y-5=0(x0,y0)【一题多解】本题还可以采用以下方法:方法一:设M(x,y),则A(2x,0),B(0,2y).因为PAPB,M为AB中点,所以|PM|=|AB|
7、,即=,化简得x+2y-5=0(x0,y0),即为所求.答案:x+2y-5=0(x0,y0)方法二:设M(x,y).因为M(x,y)为线段AB中点,所以A(2x,0),B(0,2y).因为PAPB,所以=0.而=(2x-2,-4),=(-2,2y-4),所以-2(2x-2)-4(2y-4)=0,即x+2y-5=0(x0,y0).答案:x+2y-5=0(x0,y0)方法三:设M(x,y),由PAPB,OAOB,M为线段AB中点,可得|OM|=|PM|,所以=,即x+2y-5=0(x0,y0).答案:x+2y-5=0(x0,y0)三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,已知圆A:(x+2
8、)2+y2=1与点B(2,0),分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.世纪金榜导学号99972791(1)PAB的周长为10.(2)圆P与圆A外切,且过B点(P为动圆圆心).(3)圆P与圆A外切,且与直线x=1相切(P为动圆圆心).【解析】(1)根据题意,知|PA|+|PB|+|AB|=10,即|PA|+|PB|=64=|AB|,故P点轨迹是椭圆,且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,b=.因此其轨迹方程为+=1(y0).(2)设圆P的半径为r,则|PA|=r+1,|PB|=r,因此|PA|-|PB|=1.由双曲线的定义知,P点的轨迹为双曲线的右支,且2a=1,2c=4,即a=,c=2,b
9、=,因此其轨迹方程为4x2-y2=1.(3)依题意,知动点P到定点A的距离等于到定直线x=2的距离,故其轨迹为抛物线,且开口向左,p=4.因此其轨迹方程为y2=-8x.10.如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|.世纪金榜导学号99972792(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程.(2)求过点(3,0)且斜率为的直线l被C所截线段的长度.【解题指南】(1)动点M通过点P与已知圆相联系,所以把点P的坐标用点M的坐标表示,然后代入已知圆的方程即可.(2)将直线方程与椭圆方程组成方程组,结合两点的距离公式计算.【解析】(1)设点M
10、的坐标是(x,y),点P的坐标是(xP,yP),因为点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|,所以xP=x,且yP=y.因为P在圆x2+y2=25上,所以x2+=25,整理得+=1,即C的方程是+=1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线l的方程是y=(x-3),设此直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y=(x-3)代入C的方程+=1得:+=1,化简得x2-3x-8=0,所以x1=,x2=,所以线段AB的长度是|AB|=,即所截线段的长度是.【加固训练】如图,已知ABC的两顶点坐标A(-1,0),B(1,0),圆E是ABC的内切圆,在边AC,BC,A
11、B上的切点分别为P,Q,R,|CP|=1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等),动点C的轨迹为曲线M.求曲线M的方程.【解析】由题知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4|AB|,所以曲线M是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点).设曲线M:+=1(ab0,y0),则a2=4,b2=a2-=3,所以曲线M:+=1(y0)为所求.(20分钟40分)1.(5分)如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物
12、线D.圆【解析】选A.由条件知|PM|=|PF|,所以|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=R|OF|,所以P点的轨迹是以O,F为焦点的椭圆.2.(5分)(2017洛阳模拟)设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若=2,且=1,则点P的轨迹方程是世纪金榜导学号99972793()A.x2+3y2=1(x0,y0)B.x2-3y2=1(x0,y0)C.3x2-y2=1(x0,y0)D.3x2+y2=1(x0,y0)【解析】选A.设A(a,0),B(0,b),a0,b0,由=2,得(x,y-b)=2(a-x,-y)
13、,即a=x0,b=3y0.点Q(-x,y),故由=1,得(-x,y)(-a,b)=1,即ax+by=1,将a,b代入ax+by=1得所求的轨迹方程为x2+3y2=1(x0,y0).3.(5分)(2017渭南模拟)设椭圆的方程为x2+=1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于A,B两点,O是坐标原点,点P满足=(+),当l绕点M旋转时,动点P的轨迹方程为_.世纪金榜导学号99972794【解析】直线l过点M(0,1),当斜率存在时,设其斜率为k,则直线l的方程为y=kx+1,设A(x1,y1),B(x2,y2).由题设可得点A,B的坐标是方程组的解,消去y得:(4+k2)x2+2kx-3=0,所以y
14、1+y2=k(x1+x2)+2=,于是=(+)=.设点P(x,y),则消去参数k得:4x2+y2-y=0(y0),当斜率不存在时,P为坐标原点(0,0)也满足方程.所以点P的轨迹方程为:4x2+y2-y=0.答案:4x2+y2-y=04.(12分)(2017渭南模拟)一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系,求曲线C
15、的方程.世纪金榜导学号99972795【解析】设点D(t,0)(|t|2),N(x0,y0),M(x,y),依题意,=2,且|=|=1,所以(t-x,-y)=2(x0-t,y0),且即且t(t-2x0)=0.由于当点D不动时,点N也不动,所以t不恒等于0,于是t=2x0,x0=,y0=-,代入+=1,可得+=1,即所求的曲线C的方程为+=1.5.(13分)(2017南昌模拟)设动点P(x,y)(x0)到定点F的距离比到y轴的距离大.记点P的轨迹为曲线C.世纪金榜导学号99972796(1)求点P的轨迹方程.(2)设圆M过A(1,0),且圆心M在P的轨迹上,BD是圆M在y轴上截得的弦,当M运动时
16、弦长BD是否为定值?说明理由.(3)过F作互相垂直的两直线交曲线C于G,H,R,S,求四边形GRHS的面积的最小值.【解析】(1)由题意知,P的轨迹是以F为焦点,以直线l:x=-为准线的抛物线,其方程为y2=2x.所以点P的轨迹方程为y2=2x.(2)弦长BD为定值.设圆心M,则圆的半径为r=,所以圆的方程为+(y-a)2=a2+.令x=0可得圆与y轴的两个交点为(0,1+a),(0,a-1),所以弦长|BD|=2,即弦长BD为定值.(3)由题意知两直线的斜率都存在,设过F的直线GH的方程为y=k,并设G(x1,y1),H(x2,y2).由消去y得,k2x2-(k2+2)x+=0,x1,x2是该方程的两根,所以x1+x2=1+.因为曲线C(抛物线)的准线方程为x=-,F为其焦点,根据抛物线的定义有:|GF|=x1+,|HF|=x2+.所以|GH|=|GF|+|HF|=x1+x2+1=2+.因为直线RSGH,所以直线RS的斜率为-,把上述过程中的k换为-,即得|RS|=2+2k2.所以四边形GRHS的面积T=|GH|RS|=(2+)(2+2k2)=28(当且仅当k2=1时取“=”).所以四边形GRHS的面积的最小值为8.关闭Word文档返回原板块