1、浙江省温州市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合P=x|y=+1，Q=y|y=x3，则PQ=( )AB0，+）C（0，+）D1，+）2设a，bR，则“lgalgb”是“”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件3已知sinx+cosx=，则cos（x）=( )ABCD4下列命题正确的是( )A垂直于同一直线的两条直线互相平行B平行四边形在一个平面上的平行投影一定是平行四边形C平面截正方体所得的截面图形可能是正六边形D锐角三角形在一个平面上的平行投影不可能是
2、钝角三角形5已知双曲线=1（a0，b0）的渐近线与圆C：（x）2+y2=1相切，则双曲线的离心率是( )A2B3CD6若函数f（x）=sinx（0）在，上是单调函数，则应满足的条件是( )A01B1C01或=3D037已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（2+x）=f（x），当0x1时，f（x）=x2，则f=( )A1B1C0D201528长方体ABCDA1B1C1D1中，已知二面角A1BDA的大小为，若空间有一条直线l与直线CC1，所成的角为，则直线l与平面A1BD所成角的取值范围是( )A，B，C，D0，二、填空题：本大题共7小题，前4题每题两空，每空3分，后3题每空4分，共36分9设函数
3、f（x）=，则f（2）=_若f（a）=1，则实数a=_10已知等比数列an的前n项和为Sn=3na，则实数a=_，公比q=_11某几何体的三视图（单位： cm）如图所示，其中俯视图中的曲线是四分之一的圆弧，则该几何体的体积等于_cm3，表面积等于_cm212已知F1，F2是椭圆C：+=1的左右焦点，过右焦点F2的直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，M是弦AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，则ABF1的周长等于_，斜率k=_13已知a，bR，若a2+b2ab=2，则ab的最小值是_14若直线l：axby=1与不等式组表示的平面区域无公共点，则3a2b的最小值与最大值的和等于_15
4、已知ABC，AB=7，AC=8，BC=9，P为平面ABC内一点，满足，则的取值范围是_三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ab=2，c=4，sinA=2sinB（1）求ABC的面积；（2）求sin（AB）17已知数列an的前n项和Sn，且满足：+=n，nN*（1）求an；（2）求证：+18如图，在四面体ABCD中，已知ABD=CBD=60，AB=BC=2，（1）求证：ACBD；（2）若平面ABD平面CBD，且BD=，求二面角CADB的余弦值19已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点P（4，0）（1
5、）设Q是抛物线C上的动点，求|PQ|的最小值；（2）过点P的直线l与抛物线C交于M、N两点，若FMN的面积为6，求直线l的方程20已知函数f（x）=+x（1）判断函数f（x）在（2，1）上的单调性并加以证明；（2）若函数g（x）=f（x）2|x|m有四个不同的零点，求实数m的取值范围浙江省温州市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合P=x|y=+1，Q=y|y=x3，则PQ=( )AB0，+）C（0，+）D1，+）考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出P中x的范围确定出P，求出Q中y的范围确
6、定出Q，找出P与Q的交集即可解答：解：由P中y=+1，得到x0，即P=0，+），由Q中y=x3，得到yR，即Q=R，则PQ=0，+），故选：B点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2设a，bR，则“lgalgb”是“”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可解答：解：由lgalgb，则ab0，则成立，即充分性成立，若a=1，b=1，则成立，但lgalgb不成立，即必要性不成立，则“lgalgb”是“”的充分不必要条件，
7、故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键3已知sinx+cosx=，则cos（x）=( )ABCD考点：两角和与差的余弦函数 专题：三角函数的求值分析：由三角函数公式可得2（sinx+cosx）=，即2cos（x）=，易得答案解答：解：sinx+cosx=，2（sinx+cosx）=，2cos（x）=cos（x）=故选：B点评：本题考查两角和与差的三角函数，属基础题4下列命题正确的是( )A垂直于同一直线的两条直线互相平行B平行四边形在一个平面上的平行投影一定是平行四边形C平面截正方体所得的截面图形可能是正六边形D锐角三角形在一个平面上的平行投影不可
8、能是钝角三角形考点：四种命题；空间中直线与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离；简易逻辑分析：A垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面直线；B平行四边形在一个平面上的平行投影可能是平行四边形或一条直线；C平面截正方体所得的截面图形可能是正六边形，正确；D锐角三角形在一个平面上的平行投影可能是钝角三角形解答：解：A垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面直线，因此不正确；B平行四边形在一个平面上的平行投影可能是平行四边形或一条直线，因此不正确；C平面截正方体所得的截面图形可能是正六边形，如图所示，取正方体棱的中点，正确；D锐角三角形在一个平面上的平行投影可能是钝角三角形，如图所示，三棱
9、锥中PABC，PCAC，PCBC，CA=AC=BC=1，ACB=120，PAB是锐角三角形，其投影ACB为钝角三角形，因此不正确故选：C点评：本题考查了空间线面位置关系、平行投影性质，考查了推理能力，属于基础题5已知双曲线=1（a0，b0）的渐近线与圆C：（x）2+y2=1相切，则双曲线的离心率是( )A2B3CD考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：双曲线=1（a0，b0）的渐近线与与圆C：（x）2+y2=1相切圆心（，0）到渐近线的距离等于半径r=1，利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出解答：解：取双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线b
10、xay=0圆E：（x5）2+y2=9的圆心（5，0），半径r=3渐近线与圆C：（x）2+y2=1相切，=1，化为a2=b2该双曲线的离心率e=故选：D点评：熟练掌握双曲线的渐近线方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、离心率的计算公式是解题的关键6若函数f（x）=sinx（0）在，上是单调函数，则应满足的条件是( )A01B1C01或=3D03考点：正弦函数的图象 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：根据函数f（x）=sinx（0）在区间，上单调，分情况讨论，建立不等式，即可求取值范围解答：解：若函数f（x）=sinx（0）在，上是单调递减令+2kx+2k（kZ），则+x+（kZ），
11、且，=3若函数f（x）=sinx（0）在，上是单调递增令+2kx+2k（kZ），则+x+且01综上可得：01，=3故选：C点评：本题考查函数的单调性，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于基础题7已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（2+x）=f（x），当0x1时，f（x）=x2，则f=( )A1B1C0D20152考点：函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：由奇函数的性质和f（2+x）=f（x），求出函数的最小正周期，利用函数的周期性和奇偶性将f转化为f（1），再代入已知的解析式求值解答：解：由题意得，f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（2+x）=f（x）=f（x），则f（x+4）
12、=f（x+2）=f（x），所以函数f（x）是以4为最小正周期的周期函数，因为当0x1时，f（x）=x2，则f=f（4503+3）=f（3）=f（1）=f（1）=1，故选：A点评：本题考查奇函数的性质，以及函数的周期性的综合应用，同时考查转化思想8长方体ABCDA1B1C1D1中，已知二面角A1BDA的大小为，若空间有一条直线l与直线CC1，所成的角为，则直线l与平面A1BD所成角的取值范围是( )A，B，C，D0，考点：直线与平面所成的角 专题：空间位置关系与距离分析：如图所示，过点A作AOBD，连接A1O，由三垂线定理可得BDA1O，则AOA1为二面角A1BDA的平面角把直线l平移到AM，则
13、A1AM=MAO=过点A作APA1O，则AP平面A1BD利用线面角的定义可得：AM（即直线l）与平面A1BD所成的最大角为AMA1假设，AN与直线OP相交于点N，则AN（即直线l）与平面A1BD所成的最小角为ANP解答：解：如图所示，过点A作AOBD，连接A1O，由三垂线定理可得BDA1O，则AOA1为二面角A1BDA的平面角，AOA1=把直线l平移到AM，则A1AM=MAO=过点A作APA1O，则AP平面A1BDAM（即直线l）与平面A1BD所成的最大角为AMA1=MAO+MOA=假设，AN与直线OP相交于点N，则AN（即直线l）与平面A1BD所成的最小角为ANP=PA1AA1AN=直线l与
14、平面A1BD所成角的取值范围是故选：C点评：本题考查了二面角的平面角、线面角、三垂线定理、异面直线所成的角，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、填空题：本大题共7小题，前4题每题两空，每空3分，后3题每空4分，共36分9设函数f（x）=，则f（2）=4若f（a）=1，则实数a=2或0考点：函数的值 专题：函数的性质及应用分析：先根据函数f（x）的解析式，求出f（2）的值，再讨论a的值，求出f（a）=1时，实数a的值解答：解：设函数f（x）=，f（2）=22=4；又f（a）=1，当a0时，=1，解得a=0，满足题意；当a0时，log2a=1，解得a=2，满足题意；综上，实数
15、a的值为2或0故答案为：4；2或0点评：本题考查了利用函数的解析式求函数值的应用问题，也考查了由函数值求自变量的应用问题，是基础题目10已知等比数列an的前n项和为Sn=3na，则实数a=1，公比q=3考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由已知条件利用递推公式求出数列的前3项，再由等比数列的性质能求出a和公比解答：解：等比数列an的前n项和为Sn=3na，a1=3a，a2=S2S1=9a（3a）=6，a3=S3S2=（27a）（9a）=18，62=（3a）18，解得a=1，q=故答案为：1；3点评：本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要注意公式
16、的合理运用11某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中俯视图中的曲线是四分之一的圆弧，则该几何体的体积等于3cm3，表面积等于12+6cm2考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：根据几何体的三视图，得出该几何体的特征是什么，从而求出它的体积与表面积解答：解：根据几何体的三视图，得：该几何体是底面为半径等于3的圆面，高为4的圆锥的一部分，该几何体的体积为V几何体=S底h=324=3；该几何体的表面积为S几何体=2S+S圆+S侧面扇形=243+32+23=12+6故答案为：3；12+6点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目12已知F1，F2是椭圆C：+=1
17、的左右焦点，过右焦点F2的直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，M是弦AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，则ABF1的周长等于8，斜率k=3考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由椭圆方程求出a的值，由椭圆的定义和结论求出ABF1的周长；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点M（x，y），由题意和斜率公式可得，利用点差法和中点坐标公式、斜率公式，求出直线l的斜率解答：解：（1）由椭圆C：+=1得，a=2，因为直线l：y=kx+m过右焦点F2，且与椭圆C相交于A，B两点，所以ABF1的周长为4a=8；（2）设A（x1，y1），B（x2，
18、y2），弦AB的中点M（x，y），由直线OM（O为原点）的斜率为得，由题意得，两式相减得，3（x1x2）（x1+x2）+4（y1y2）（y1+y2）=0，则k=4=3，故答案为：8；3点评：本题考查椭圆的定义和简单几何性质，斜率公式，以及点差法的应用，其中点差法是常考的方法之一13已知a，bR，若a2+b2ab=2，则ab的最小值是考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：利用a2+b22ab，及不等式的性质即可得出解答：解：a2+b2ab=2，2+ab=a2+b22ab，3ab2，当a=b=时，取等号ab，故答案为：点评：本题考查了基本不等式的性质与不等式的基本性质，属于基础题14若直
19、线l：axby=1与不等式组表示的平面区域无公共点，则3a2b的最小值与最大值的和等于2考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用直线ax+by=1与平面区域无公共点建立条件关系，即可得到结论解答：解：不等式组表示的平面区域是由A（1，1），B（1，1），C（0，2）围成的三角形区域（不包含边界）若直线l：axby=1与不等式组表示的平面区域无公共点，则A，B，C三点在直线l的同侧或在直线上，则满足或则（a，b）在如图所示的三角形区域设z=3a2b，得b=，平移直线b=，得到直线在A处的截距最大，此时z最小，则在B处的截距最小，此时z最大，由解得，即B（
20、，），此时z=32=，由，解得，即A（，），此时z=3（）2=，则3a2b的最小值与最大值的和等于=2，故答案为：2点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键难度较大15已知ABC，AB=7，AC=8，BC=9，P为平面ABC内一点，满足，则的取值范围是4，10考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题；解三角形；平面向量及应用分析：求得向量=33，以及|+|=14，再由条件，运用向量的三角形法则，结合向量的数量积的定义和余弦函数的值域，即可得到范围解答：解：=|cosB=（72+9282）=33，|+|=14，由，则（+）（+）=7，即+（+）+=7，|2+|+|cos+3
21、3=7，由1cos1，可得11，解得，4|10故答案为：4，10点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形中余弦定理的运用，考查余弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ab=2，c=4，sinA=2sinB（1）求ABC的面积；（2）求sin（AB）考点：两角和与差的正弦函数；正弦定理 专题：解三角形分析：（1）利用正弦定理求出a，b，然后求三角形的面积；（2）由（1）可得A，B的正弦值、余弦值，再利用两角和与差的三角函数公式求值解答：解：（1）由已
22、知ab=2，c=4，sinA=2sinB得到a=2b所以a=4，b=2，所以ABC是等腰三角形，所以AC边上的高为，所以ABC的面积为；（2）由（1）得cosA=，cosB=，所以sin（AB）=sinAcosBcosAsinB=点评：本题考查了正弦定理、三角形的面积公式以及三角函数公式的运用；关键是熟练运用正弦定理求出三角形的边长17已知数列an的前n项和Sn，且满足：+=n，nN*（1）求an；（2）求证：+考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用递推式即可得出；（2）an=n+1（nN*）可得数列an是等差数列Sn=.利用“裂项求和”即可得出解答：（1）解：
23、当n=1时，解得a1=2+=n，nN*当n2时，+=n1，nN*两式相减可得：=1，即an=n+1当n=1时也成立，an=n+1（nN*）（II）证明：an=n+1（nN*）数列an是等差数列Sn=+=+=点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18如图，在四面体ABCD中，已知ABD=CBD=60，AB=BC=2，（1）求证：ACBD；（2）若平面ABD平面CBD，且BD=，求二面角CADB的余弦值考点：二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）
24、由已知得ABDCBD，从而AD=CD，取AC的中点E，连结BE，DE，则BEAC，DEAC，从而AC平面BED，由此能证明ACBD（2）过C作CHBD于点H，由已知得CH平面ABD，过H做HKAD于点K，连接CK，则CKH为二面角CADB的平面角，由此能求出二面角CADB的余弦值解答：（1）证明：ABD=CBD，AB=BC，BD=BDABDCBD，AD=CD取AC的中点E，连结BE，DE，则BEAC，DEAC又BEDE=E，BE平面BED，BD平面BED，AC平面BED，ACBD（2）解：过C作CHBD于点H则CH平面BCD，又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，CH平面ABD
25、过H做HKAD于点K，连接CK CH平面ABD，CHAD，又HKCH=H，AD平面CHK，CKADCKH为二面角CADB的平面角 连接AHABDCBD，AHBDABD=CBD=60，AB=BC=2，AH=CH=，BH=1BD=，DH= AD=，HK=tan=，cos，二面角CADB的余弦值为点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点P（4，0）（1）设Q是抛物线C上的动点，求|PQ|的最小值；（2）过点P的直线l与抛物线C交于M、N两点，若FMN的面积为6，求直线l的方程考点：抛物线的
26、简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（I）设Q（x，y），则PQ|=，利用二次函数的单调性即可得出；（II）设直线l：x=my+4，M（x1，y1），N（x2，y2），与抛物线方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出解答：解：（I）设Q（x，y），则PQ|=，当x=2时，|PQ|min=2（II）设直线l：x=my+4，M（x1，y1），N（x2，y2），焦点F（1，0）联立，消去x得y24my16=0，y1+y2=4m，y1y2=16SFMN=6，m=1，直线l的方程为：xy4=0点评：本题考查了二次函数的单调性、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦
27、长公式、三角形面积计算公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20已知函数f（x）=+x（1）判断函数f（x）在（2，1）上的单调性并加以证明；（2）若函数g（x）=f（x）2|x|m有四个不同的零点，求实数m的取值范围考点：函数单调性的判断与证明；函数零点的判定定理 专题：数形结合；分类法；函数的性质及应用分析：（1）函数f（x）在（2，1）上是减函数，用单调性定义证明即可；（2）解法一：函数g（x）=f（x）2|x|m有四个不同的零点，即f（x）的图象与y=2|x|+m的图象有四个不同的交点，结合图象求出m的取值范围；解法二：函数g（x）=f（x）2|x|m有四个不同
28、的零点，即方程+x2|x|m=0有四个不同的实根，讨论函数h（x）=的图象与y=2|x|x+m的图象交点情况，求出m的取值范围；解法三：函数g（x）有4个不同零点，即方程+x2|x|m=0有4个不同的实根，去掉绝对值，把方程化为等价的不等式组，再讨论表达式组解的情况，从而求出m的取值范围；解法四：函数g（x）都有4个不同零点，即方程m=+x2|x|有4个不同的实根，构造函数h（x）=+x2|x|，考查h（x）的单调性与值域，从而求出m的取值范围解答：解：（1）函数f（x）=+x=，函数f（x）在（2，1）上单调递减，证明如下：设x1、x2（21），且x1x2，则f（x1）f（x2）=（）+（x
29、1x2）=（x1x2）1； 2x1x21，x1x20，0（x1+2）（x2+2）1，10，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）；函数f（x）在（2，1）上单调递减；（2）解法一：函数g（x）=f（x）2|x|m有四个不同的零点，函数f（x）=+x的图象与函数y=2|x|+m的图象有四个不同的交点； 结合图象，得当x2 时，函数f（x）=+x的图象与函数y=2|x|+m的图象恰有一个交点，当x2 时，为满足g（x）有4个不同的零点，则函数f（x）=+x（x2）的图象与函数y=2|x|+m图象恰有三个交点符合要求，而f（x）=+x（x2）过点（0，），结合图象知，m； 当直线y=2x+m
30、与y=+x（x2）相切时，在（2，+）内只有两个交点；，消去y，得+3xm=0；整理，得3x2+（6m）x+12m=0，=（6m）243（12m）=0，解得m=62（舍去），m=6+2； 当m（6+2， ）时，函数g（x）有4个零点解法二：函数g（x）=f（x）2|x|m有四个零点，方程+x2|x|m=0有四个实根，即函数h（x）=的图象与函数y=2|x|x+m的图象有四个交点，函数h（x）=的图象与函数y=得图象有四个交点；当x0 时，若函数h（x）=的图象与函数y=x+m的图象有一个交点，则m； 当x0 时，若函数h（x）=（x0）的图象与函数y=3x+m的图象恰好有3个交点符合要求，则m
31、； 当直线y=3x+m与y=（x2）相切时，在（，0）内只有两个交点，消去y，得=3x+m，整理，得3x2+（6m）x+12m=0，=（6m）243（12m）=0，解得m=62（舍去），m=6+2； 当m（6+2，）时，函数g（x）有4个零点解法三：函数g（x）有4个不同零点，即方程+x2|x|m=0有4个不同的实根；方程化为：与与；记v（x）=x2+（m+2）x+（2m1），u（x）=3x2+（6m）x（2m+1），w（x）=3x2+（6m）x（2m1），则u（x）、v（x）、w（x）开口均向上；对：由v（2）=10知v（x）在0，+）最多一个零点，当v（0）=2m10，即m时，v（x）在0
32、，+）上有一个零点，当v（0）=2m10，即m时，v（x）在0，+）没有零点； 对：由u（2）=10知u（x）在（，2）有唯一零点；对：为满足g（x）有4个零点，w（x）在（2，0）应有两个不同零点；，解得6+2m；综上所述：当m（6+2，）时，函数g（x）有4个零点解法四：函数g（x）都有4个不同零点，即方程m=+x2|x|有4个不同的实根；令h（x）=+x2|x|，则h（x）=；h（x）在（，2）上单调递增，且其值域为R，h（x）=m在（，2）有一个实根；又h（x）在0，+）单调递减，且其值域为（，当m时，h（x）=m在0，+）上有一个实根，当m时，h（x）=m在0，+）上没有实根；为满足g（x）都有4个不同零点，h（x）=m在（2，0）至少有两个实根；当2x0时，h（x）=+3（x+2）626，h（x）在（2，2+单调递减，且此时值域为26，+），h（x）在2+，0）单调递增，且此时值域均为26，）；m（6+2，）时，方程h（x）=m在（2，0）有两个实根 综上所述：当m（6+2，）时，函数g（x）有4个零点点评：本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数的单调性的判断与证明，考查了函数的零点与方程的实数根的应用问题，是综合性题目
