1、广东省惠州2023-2024高三上学期第二次调研考试数学试题全卷满分150分，时间120分钟2023.10注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。1.已知集合A=xll
2、x至3,B=xly=ln(2-x)，则AnB=()A.1,2)B.(1,2)C.(1,3)D.(1,32.复数 z满足iz=2+i,其中i为虚数单位，则目（）A.1B.C.2D.3.已知 向量;=(-3,I),b=(m,2)若如压，则m=()A.6B.-63-2 c 2-3 D l l 一34.已知 a=ln，气），c1二靡。，则实数a,b,c 的大小关系是（）A.a b cC.cbaB.b c aD.a c b5在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为：2 9,30,38,25,3 7,40,42,32,那么这组数据的第75百分位数为(A.37.5 B.38 C.39D.406
3、.金针菇采摘后会很快 失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存已知金针菇失去的新鲜度h与其 采摘后时间 t（天）满足的函数解析式为h=m In(t+a)(a 0)若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%，采摘后3天，金针数学试题第1页，共6页菇失去的新鲜度为80%那么若不及时处理，采摘下来的金针菇在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知2 1.414,结果保留 一位小数）（）A.4.0天B.4.3天C.4.7天D.5.1天X 7.已知片 E 分别是椭圆 C:+义-=I(aO,bO)的左、右焦点，点P在椭圆上，且在矿b2第 一象限，过E 作LF;PF2 的外角平分线的垂线，垂
4、足为A.0为坐标原点，若I OAl=3b,则该椭圆的离心率为（）A.2迈B.3 3$3 c 豆3 D8.已知函数f(x)e|x|；，g(x)；x+1,x 0四个不同的解，则实数m的取值集合为（）A.(o，早）B.（早，1)C.气D.(0,1)二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部 选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。9.已知数列an 的前n项和为Sn=l ln-n2,则下列说法正确的是（）A.忆是递增数列C.数列 凡的最大项为和s6B.a2=8D.满足Sn 0的最大的正整数n为1010.某班级到 一工厂参加社会实践劳动
5、，加工出如图所示的圆台0102,在轴截面ABCD中，AB=AD=BC=2cm,且CD=2AB,则（）A.该圆台的高为1cmB.该圆台轴截面面积为33cm2-一：一一-C.该圆台的侧面积为6邓旷D.该圆台的体积为7$兀 cm33 数学试题/、C(-;.-ol)D 第2页，共6页11.某校高二年级在 一次研学活动中，从甲地的3处景点、乙地的4处景点中随机选择一处开始参观，要求所有景点全部参观且不重复记“第K站参观甲地的景点”为事件A扣k=l,2,，7，则（）A.P(A6)3B.P(A扛）1 7 3 C.p仇A2)2 D.p亿工）12 7 49 12已知函数 f(x)=sin(=+q,)(m 0)在
6、二，巴上单调，f（乌f(生）寸（乌，3 6 6 3 3 则 0 的可能取值为（）A.12 7 B.9 C.6 D.3 5 75 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。2 13.在（x)5 的展开式中，x3 的系数是 14.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l与X 轴平行的直线与l和C分别交千A,B两点，若IAFl=IBFI，则 IABI=.15.已知点 A(2,-1,3)，若 B(l,0,0),C(l,2,2)两点在直线l上，则点 A到直线 l的距离为16.已知正四面体ABCD的棱长为2,p为AC的中点，E为AB中点，M是线段DP上的动点，N是平面ECD内的动点，则IAMl+
7、IMN1的最小值是D C女二：I-t-BA 数学试题第3页，共6页四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）已知忆为等差数列，仇是公比为正数的等比数列，a 1=b1=2,a 2=2b1-1,b3=2a 2+2.(1)求数列忆和九的通项公式；1(2)设数列en 满足en=an log2 bn，记忆的前n项和为 Sn,求s2023.18.（本小题满分12分）如图，已知平行六面体ABCD-A1B1Ci凸中，所有棱长均为2底面ABCD是正方形，侧面ADDIA!是矩形，点P为D IC!的中点，且PD=PC.(1)求证：DD 1.l平面ABCD:
8、(2)求平面CPB与平面DPB夹角的余弦值c A ，、B,B,，T，、,勹、j，、/，/，j，,-,l、上,，D，D A19.（本小题满分12分）已知函数f(x)=ax3+bx2+l(a,b ER)在x=1处取得极值o.(1)求a,b;(2)若过点(1,m)存在三条直线与曲线y=f(x)相切，求实数m的取值范围数学试题第4页，共6页20.（本小题满分12分）A+C MBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin =b sin A.2(1)求B;(2)若MBC为锐角三角形，且 C=1,求MBC面积的取值范围21.（本小题满分12分）X 已知双曲线C:.:;._=1(a O,b 0)的
9、一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，矿b2且双曲线的离心率为5.Cl)求双曲线C的方程；(2)若有两个半径相同的圆Cl,C2，它们的圆心都在X轴上方且分别在双曲线C的两渐近线上，过双曲线的右焦点且斜率为 l的直线l与圆C1,c2 都相切，求两圆C1,C2 圆心连线斜率的范围数学试题第5页，共6页22.（本小题满分12分）某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由2k-l(kEN+）个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p(O p I)，各元件之间相互独立当控制系统有不少千k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行 记设备正常运行的概率为Pk（例如：P2 表示控制系统由
10、3个元件组成时设备正常运行的概率；p3 表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）(1)若p=，当k=2 时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，并3 求P2;(2)已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为4元，设备升级后，在正常运行的状态下，单位时间的产量是原来的2倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端1 产品的概率为，每件高端产品的利润是8元 记设备升级后单位时间内的利润为Y（单4 位：元）(i)请用Pk 表示E(Y);(ii)设备升级后，若将该设备的控制系统增加2个相同的元件，请分析是否能够提高E(Y).数学试题第6页，共6页高三数学试题参考答案与评分
11、细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分2 I 3 I 4D I B I B1.【解析】:B=xly=ln(2-x),:.B=xlx2，则AnB=1,2)，故选：题号答案1 A 5c 6c 78BA A.2.【解析】由题 设 iz=2+i,:.z=2+i(2+i)i-1+2ii l-l=1-2i,:.lzl扩言飞 故选D3.【解析】3x2-m=0,解得 m=-6.故选：B.1 一34.【解析】因为a=ln=-ln20,b=（勹8,c=tan 15 1 2 tan 15 1森=tan30=,2 2 l-tan2 15 2 1-tan2 15 26 所以Occa.故选：B.5.【
12、解析】首先将原始数据29,30,38,25,37,40,42,32从小到大排序为：25,29,30,32,37,38,40,42.因为8x75%=6,所以这组数据的第75百分位数为：38+40=39,故选：2 C.6.【解析】由已知mln(l+a)0.4，两式相除得ln(3+a)2，所以ln(3+a)=2 ln(l+a)，则(l+a)2=3+a,mln(3+a)0.81n(l+a)因为a O,故解得 a=l,设t天后开始失去全部新鲜度，则mln(t+1)=1,又mln(l+l)=0.4,ln(t+1)1 所以，则2ln(t+1)=51n2=ln32,所以(t+l)2=32解得t+l=./ii=
13、42=4xl.414=5.656,ln 2 0.4 所以t=4.6564.7.故选：C.7.【解析】如图所示：延长F2A,交EP的延长线千点Q,:PA是乙F;PF2的外角平分线，:.1 AQ I=IAF2I I PQ I=IP叫，又0是EE的中点，QF;II AO，且 IQ川 21 OAl=23b.又IQF;I=IPF;I+I PQ I=IPF;l+IPF2I=2a,:.2a=2./1忙高:.a2=3b2=3(a2-c2),离心率为巴 .故选：a 3 B.l 1 8.【解析】设t=f(x)，因为八x)=e1一x|一沪 一f(x)，所以t=f(x)为偶函数，且当xO时，2 2 l l l f(x
14、)矿 为增函数，所以当x:s;O时，t=f(x)为减函数，所以tmin=f(0)=e0-=，即t2-1 2 2 2 2 高三二调数学答案第1 页，共1 2页l l 当xO时，g(x)=(x-l)lnx,则g(x)=lnx+(x-1)=lnx 一 1,且g(x)在(0,oo)上单调递增X X 令g(x)=0,解得x=l,所以当XE(0,1)时，g(x)0,g(x)为增函数，又g（勹 lIn丛巴2)2-2 2作出xO时g(x)的图象，如图所示：1 所以当mE(o，气）时，y=g(t)，卢 的图象与y=m图象有2个交点，2 且设为ti,t2,作出t=f(x)图象，如下图所示：此时y=ti 与y=t2
15、分别与y=f(x)有2个交点，即g(J(x)-m=0有四个不同的解，满足题意g(x)2 L m-+-i-K-77-l-2。）穴x)-勹 一一了 I -_，飞-综上，实数m的取值范围为（0，气）故选：AI X 二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2 分，有选错的得0分题号全部正确选项910 11 12 BCD BCD AB ABD 9.【解析】因为Sn=lln-n 2=-(n-且巴，所以数列旯的 最大项为和S6,故C正确；2 J4 因为Sn=lln-n气所以a2=S尸SI=18-10=8,故B正确；当n=1时
16、，a1=10,当n2时，由Sn=lln 矿，得sn-1=1 1(n-1)-(n-1)2 两式相减得：an=-2n+12,又a1=10,适合上式，所以an=-2n+12,因为an+!-an=-2,所以伈是递减数列，故A错误；或者，由a1=10,a2=8得忆不是递增数列，故A错误；山凡lln-n2 0 解得：Onll，所以满足凡0的最大的正整数n为10，故D正确；故选：BCD.10.【解析】如图作BE.lCD交CD千E，则CE=CD-AB2=L BE言，则圆台的高为$cm,A错误；1 圆台的轴截面面积为 x(2+4)x3=33cm 2,B正确；2 圆台的侧面积为兀(1+2)x2=6邓矿，C正确；l
17、 l l l l 1-+-夕-、，-,、Ct-lD E 01 高三二调数学答案第2页，共12页1 圆台的体积为 X飞冗3cm,岛（兀4兀了石）3 11.【解析】由题意可得P(A6)硝A3=-=-A;-7,A正确；D正确；故选：BCD.CjAi 3硝A-1 1 P(Al)亏，P(A凶）=7,P(A2凶）P(A2A1)7 1 故B正确斗Aj7,_ n.2 I.l I)p(A 1)3 7 3 3 由千P(A产生）P(A1)+P（生）P(A1nA2)亏亏 一一一1 5 7=7 C错误；AB P(A丸）C员A12 2 A=7=-=-，所以D错误故选42 7 冗冗T 12.【解析】设f(x)的最小正周期为
18、T,则山函数 f(x)在了飞上单调，可得；气尸(-f)，山 f(x)在千：上单调，且f匠）f（气），即T五因为T竺江，所以OB则sinLODA=sin(LODP+30)=sin LODP cos 30+cos LODP sin 30,3恙12 故IAMl+IMNI的最小值即A到OD的距离，即ADsin4DO=2x=3恙3忘12 6 故答案为总3四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤【说明：有其他的解法，请酌情给分】17.（本小题满分10分，其中第一小问5分，第二小问5分。）【解析】（1)设等差数列忆的公差为d，等比数列九的公比为q,且qO【注：若d和q均未设，
19、扣1分】。D p A.1分由题意得：2+d=2x2-1 2矿2(2+d)+2.2分高三二调数学答案第4页，共12页解得：dlq=2.3分:.an=2+(n-l)xl=n+l,.4分九2x2 n-l=2 n;.5分1 1(2)因为en=由（l）可知Cn=.6分an log2 bn，(n+l)n 1n n+l l l l 所以 s2023=(1-)（-）+（）1 1 2 2 3 2023 2024.7分8分1=1-2024 2023.9分2024 18.（本小题满分12分，其中第一小问5分，第二小问7分。）10分【解析】（1)解法一：证明：因为四边形CDD!Cl是平行四边形，又点P为DI C)的中
20、点，且PD=PC,所以ADDIP竺1;.CC,P,.1分:.乙DD1P=乙CC1 P,又乙DD1P+LCC1 P=I80,:乙DD,P=LCC,P=90,2分所以 DD1 上DP1，即DD1上DC.3分因为侧面ADD1A1是矩形，所以DDI 上AD,.4分又CDnAD=D,CD,ADc 平面ABCD,所以DD,上平面ABCD.5分【注：5分段若未列出条件”又CD n AD=D,CD,ADc 平面ABCD，扣1分】解法二：证明：取DC中点E,连接PE，因为PD=PC,所以PE上DC.1分因为四边形CDD1C1是平行四边形，点P为D,C,的中点，所以PE II D1D,2分所以DD上DC.3分因为
21、侧面ADD1A1是矩形，所以DD 上AD,.4分又CDn AD=D,CD,AD c 平面ABCD,所以DD,上平面ABCD.5分高三二调数学答案第5页，共12页【注：5分段若未列出条件”又CD n AD=D,CD,AD c平面ABCD,扣1分】(2)解法一：山(1)可知，DD1上平面ABCD,又CD1-AD,所以CD,AD,DDI两两垂直，以D为坐标原点，分别以 ru,1记，b五为 X 轴、Y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角 坐标系，6分B 勺俨X求得C(0,2,0),P(0,1,2),B(2,2,q)，IX_ o,o,g，所以秤（0,-1,2)，百（2,0,0)，丙江(0,1,2)五s=
22、(2,2,0).7分设平面CPB的法向量为闪（xI,yI,zl)n1 CP=O，所以 n1 CB=08分丁210=02x1=0 即，令yl=2，则z1=l,x1=0,所以平面CPB的一个法向量n1=(o,2,1);9分设平面PBD的法向量冗（X2,Y凸），所以 Y2+2z2=02x2+2y2=0 令Y2=-2，则z2=l,X2=2,所以平面DPB的一个法向晕囥（2,-2,1).10分【注：10分段列出方程组且法向量计算正确的得1分，否则10分段不得分】l 1 记平面CPB与平面DPB的夹角为0,所以cos0=leas（五，动厂勹n111n2|4+11$乒扛了4+15 ，故平面CPB与平面DPB
23、的夹角余弦值为-5.11分12分解法二：山（1)得平行六面体ABCD-A1B1C1队为正方体，过点D作DH.l_PC,交PC千H,:.BC.l_ 平面DD1C1C6分.7分又:DH C 平面DD1C1C,:.BC.lDH,且PC门BC=C,:.DH.l 平面PBC,过点 H作HO.lPB,交PB千0,连接DO,8分则乙DOH为平面CPB与平面DPB的夹角，9分:DH-PC=DC-C1C,:.DH=DCC,C 45 nTT 35 PC=5 PH=2 又:sin乙BPC=,OH=PH sin乙BPC=X=3$2 2$3 5 3 5 10分.11分高三二调数学答案第6页，共12页OH$在RtMJHO
24、中，:OD=2,:.cos乙DOH=-OD 5 故平面CPB与平面DPB的夹角余弦值为-12分19.（本小题满分 12分，其中第一小问4分，第二小问8分。）【详解】（1)由题意知J(x)=3a:x:2+2bx,.1分因为函数f(x)=ax3+bx气l(a,b ER)在x=l处取得极值0,所以f(1)=3a+2b=0,f(1)=a+b+I=0,2分解得a=2,b=-3,3分经检验，当a=2,b=-3时，函数f(x)在x=l处取得极值O,符合题意，所以a=2,b=-3.4分(2)由(1)可知，函数f(x)=2x3-3x2+1，所以f(x)=6x2-6x,5分设切点坐标为伈，2x-3点1)所以切线方
25、程为y-(2xi-3点1)=(6x;-6x。)（X-X。)，6分因为切线过点(1,m)，所以 m-(2xi-3点1)=（对 6x。)(1-x。)，解法一：即 m=-4对9x;-6x。+1.7分令 h(x)=-4x3+9x2-6x+1,则 h(x)=-12x2+18x-6=-6(2x-1)(x-l),1 令 h(x)=O，解得x=或x=l2 8分当X变化时，h(x),h(x)的变化情况如下表所示，曰）1（扣）(l,+oo)X 1 2 h(x)。h(x)单调递减1 单调递增单调递减4 10分【注：列表的第一行、第二行正确的得1分，第三行正确的得1分】1 l l 因此，当x=时，h(x)有极小值h丘
26、）i,当 x=l时，h(x)有极大值h(l)=O,高三二调数学答案第7页，共12页.11分【注：语言叙述正确，但未列表的不扣分】过点(1,m)存在 3 条直线与曲线y=f(x)相切，等价千关千 X 的方程 m=-4x3+9x2-6x+l有三个不同的l l 根，则一 m O，所以实数m 的取值范围是(-,0)44 12分解法二：即 4忒9点 6x。+l-m=0,.7分令 h(x)=-4x3+9x2-6x+I-m,则h(x)=-12x2+18x-6=-6(2x-l)(x-1),1 令h(x)=O,解得 x=，或 x=l,8分2 当 X 变化时，h(x),h(x)的变化情况如下表所示，曰1（沪(1,
27、+oo)X 12h(x)。h(x)单调递减1 单调递增单调递减-m-m4.10分【注：列表的第一行、第二行正确的得1分；第三行正确的得1分】l l 因此，当 x=；时，h(x)有极小值 h()-m,当 x=l时，h(x)有极大值 h(l)=-m,24.11分【注：语言叙述正确，但未列表的不扣分】过点(l,m)存在 3 条直线与曲线y=f(x)相切，等价千关千 X 的方程 4x3+9x2-6x+l-m=0 有三个不同的根，则勹二。，解得 m D,所以实数 m 的取值范围(-,o)12分20.（本小题满分 12分，其中第一小问 6分，第二小问 6分。）A+C【解析】(1)根据题意asin=b si
28、n A,2 a bA+C由正弦定理 得：sinA sin sin A sinB 2=sinBsinA,A+C因为O 0，消去sinA得：sin=sin B.2.1分2分A+C冗解法一：因为0 B 冗，0,.3分高三二调数学答案2 2 第8页，共 12页A+C A+C 故B或者B冗，2 2.4分A+C 而根据题意A+B+C冗，故B冗不成立，2 A+C 所以B,2.5分冗又因为A+B+C=冗，代入得3B=冗，所以B=.6分3 A+C冗 BB 解法二：因为A+B+C=冗，所以sin =sin=cos,3分2 2 2 B B A+C B B B 又因为sinB=2sin cos，所以由sin =sin
29、 B得：COS =2sin cos 4分2 2 2 2 2 2 B兀B因为0 B冗，所以0 0,.5分2 2 2 B l B兀冗所以sin =，所以 =，即B=.6分2 2 2 6 3 冗2(2)因为人钮C是锐角三角形，由（1)知B=,A+B+C=冗得到A+C=冗，7分3 3 冗2c 兀6得解冗一2c 冗一2坛3 oo 尸Vj故8分a C 因为C=1，由正弦定理 和三角形面积公式有：sinA sinC 2兀s 1.1 2 a.I 2 sin A.Ji sin(-C)9分aABC=.:.ac-sinB=.:.c-sinB=c-.sinB=3 2 2 c 2 sin C 4 sin C 2冗3 s
30、in cos C-cos-sin C Ji五l2 兀31,.10分=(sin cos)-+4 sin C 43 tan C 3,8 tan C 8 冗冗又因为 C ，所以0 3.11分6 2-3 tanC 故豆？1+，故丈SaABCO,n O,n 0,.9分2 ll 2 求得 Ot0,t 0且s#l,t#，6分3 因为直线l与圆CIC2都相切且半径相等，所以当c1,c2在直线l的同一侧时C1C2Ill,k=-I.7分当CIC2在直线l的两侧时，则两圆心c1,c2的中点（仁,t+s)必在直线l上，2 8分即气t+s-1=0,化简得s=2-3t,.9分l l l 2 由s O,t 0且s=f:-1
31、,t *和s=2-3t,，求得tE(0,5)u(53).10分2(t-s)2(4t-2)2 l l 2 所以K=t+S=2-2t=-4言，因为t E(0，于（了叶求得k E(-2,-l)U(-1,2).11分12分综上，两圆Cl,C圆心连线斜率的范围为(-2,2)22.（本小题满分12分，其中第一小问4分，第二小问4分，第三小问4分。）2 2【解析】(1)当p=,k=2时，控制系统由3个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为,3 3 2 控制系统中正常工作的元件个数X服从二项分布，即XB(3,);1分3 2 l 所以P(X=k)=C仅)k()3-kk=0,1,2,3.3 3 随机变晕X的分
32、布列如下：I:|/1 i1:I i 1 2分2 所以随机变量X的数学期望E(X)=3x =2.3分4 8 2 0 依题意 P2=p(X=2)+p(X=3)=+-.4分9.27 27.高三二调数学答案第11页，共12页1 3(2)(i)设备正常运转时单位时间内的平均利润为：2axx8+2axx4=10a 6分4 4 所以随机变量Y 的分布列如下：Y 10a。pPK l-pk.7分所以E(Y)=10a凡.g分(i i)解法一：巾题意可知，将该设备的控制系统增加2个相同的元件，是否能够提高 E(Y)等价于比较Pk与Pk+l的大小山全概率公式，Pk+l=P2Pk+C龋pk-1(1-Pl+Cp(l-P)A+(1-p)2凸C江矿(l-pt-1矿C切(1-p)+(l-p)2如（2p-l)C忙扩(I-pl=A+(2p-l)C以矿(l-p)k10分所以，当p 时，Pk+lPk可以提高 E(Y);2 1 当p=时，Pk+l=Pk E(Y)保持不变；2 1 当Op时，A+1 时，Pk+lPk可以提高 E(Y):2 1 当p=时，Pk+l=Pk E(Y)保持不变；2 1 当Op时，A+1 pk E(Y)降低.12分2 高三二调数学答案第12页，共12页