1、1定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1 则n*1()AnBn1Cn1 Dn2解析：选A.由(n1)*1n*11，得n*1(n1)*11(n2)*12n.2如图是今年元宵节花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是()解析：选A.该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.3(2011高考山东卷)设函数f(x)(x0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN
2、*且n2时，fn(x)f(fn1(x)_.解析：依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，可推知该数列的通项公式为an2n1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，故其通项公式为bn2n.所以当n2时，fn(x)f(fn1(x).答案：4古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21，叫做三角形数，它们有一定的规律性第30个三角形数与第28个三角形数的差为_解析：第n个三角形数满足的规律为anan1n，从而有a30a2930a282930a2859，所以两数差为59.答案：59一、选择题1下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是()A三
3、角形B梯形C平行四边形 D矩形解析：选C.因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.2由，若ab0且m0，则与之间大小关系为()A相等 B前者大C后者大 D不确定解析：选B.观察题设规律，由归纳推理易得.3推理“矩形是平行四边形；三角形不是平行四边形；三角形不是矩形”中的小前提是()A BC D和解析：选B.由演绎推理三段论可知，是大前提；是小前提；是结论故选B.4(2012日照质检)观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)()Af
4、(x) Bf(x)Cg(x) Dg(x)解析：选D.由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(x)g(x)5(1)由“若a，b，cR，则(ab)ca(bc)”类比“若a、b、c为三个向量，则(ab)ca(bc)”；(2)在数列an中，a10，an12an2，猜想an2n2；(3)在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；上述三个推理中，正确的个数为()A0 B1C2 D3解析：选C.(1)三个实数之积满足乘法的结合律，而三个向量之积是向量，而两个向量相等要满足方向和大小都相等，向量
5、(ab)c与向量a(bc)不一定满足，故(1)错误(2)由an12an2，可得an122(an2)，故数列an2为等比数列，易求得an2n2，故(2)正确；(3)在四面体ABCD中，设点A在底面BCD上的射影是O，则三个侧面的面积都大于其在底面上的投影的面积，三个侧面的面积之和一定大于底面的面积，故(3)正确二、填空题6在平面内有n(nN*，n3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n条直线把平面分成f(n)个平面区域，则f(5)的值是_，f(n)的表达式是_解析：由题意，n条直线将平面分成1个平面区域，故f(5)16，f(n).答案：16f(n)7在圆中有结论：如图所示，“A
6、B是圆O的直径，直线AC，BD是圆O过A，B的切线，P是圆O上任意一点，CD是过P的切线，则有PO2PCPD”类比到椭圆：“AB是椭圆的长轴，直线AC，BD是椭圆过A，B的切线，P是椭圆上任意一点，CD是过P的切线，则有_”解析：椭圆中的焦半径类比圆中的半径答案：PF1PF2PCPD8已知数列an满足a12，an1(nN*)，则a3_，a1a2a3a2011_.解析：分别求出a23，a3，a4，a52，可以发现a5a1，且a1a2a3a41.故a1a2a3a2011a1a2a33.答案：3三、解答题9在锐角三角形ABC中，ADBC，BEAC，D、E是垂足，试用演绎推理求证：AB的中点M到D，E
7、的距离相等证明：(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，(大前提)在ABD中，ADBC，即ADB90，(小前提)所以ABD是直角三角形(结论)同理，AEB也是直角三角形(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，(大前提)而M是RtABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线，(小前提)所以DMAB.(结论)同理，EMAB.所以，DMEM，即AB的中点M到D、E的距离相等10已知等式：sin25cos235sin5cos35；sin215cos245sin15cos45；sin230cos260sin30cos60；.由此可归纳出对任意角度都成立的一个等式，并予以证明解：归纳已知可得：
8、sin2cos2(30)sincos(30).证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin2(cossin)2sin(cossin)sin2cos2sin2sin2.11(探究选做)已知等差数列an的公差d2，首项a15.(1)求数列an的前n项和Sn；(2)设Tnn(2an5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并归纳出Sn与Tn的大小规律解：(1)由已知a15，d2，Sn5n2n(n4)(2)Tnn(2an5)n2(2n3)5，Tn4n2n.T15，T2422218，T3432339，T4442468，T54525105.S15，S22(24)12，S33(34)21，S44(44)32，S55(54)45.由此可知S1T1，当n2时，SnTn.归纳猜想：当n2，nN时，SnTn.