1、第2讲函数的单调性1. 函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是_答案：(2，)解析：因为f(x)(x3)ex，则f(x)ex(x2)，令f(x)0，得x2，所以f(x)的单调递增区间为(2，)2. 已知函数f(x)kx33(k1)x2k21(k0)，若f(x)的单调减区间是(0，4)，则k的值是_答案：1解析：由f(x)3kx26(k1)x0的解集为(0，4)，得k1.3. (2018江阴中学)函数f(x)1xsin x在(0，2)上的单调情况是_. 答案：单调递增解析：在(0，2)上有f(x)1cos x0，所以f(x)在(0，2)上单调递增4. 若函数f(x)exax在区间(1，)上单调
2、递增，则实数a的取值范围是_答案：(，e解析：f(x)exa0在区间(1，)上恒成立，所以ae.5. (2018海安中学)函数yxln x，x(0，)的单调递减区间为_答案：(0，1)解析：y1(x0)，令y0，得0x1，故函数y的单调递减区间为(0，1)6. 已知函数f(x)x1(e1)ln x，其中e为自然对数的底数，则满足f(ex)0的x的取值范围是_答案：(0，1)解析：由f(x)10得xe1.当x(0，e1)时，f(x)0，函数f(x)单调递增又f(1)f(e)0，1e1e，所以由f(ex)0得1exe，解得0x0)，当x0时，有00且a13，解得1a2.9. 已知函数f(x)x24
3、x3ln x在区间t，t1上不单调，则实数t的取值范围是_答案：(0，1)(2，3)解析：由题意知f(x)x4，由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，由t1t1或t3t1，得0t1或2t3.10. 已知函数f(x)ln x，当a时，函数f(x)在区间1，2上的单调性为_答案：单调递增解析：f(x)，记g(x)ax22(a1)xa，4(12a)，当12a0，即a时，f(x)0，f(x)在区间1，2上单调递增11. 已知函数f(x)(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线
4、与x轴平行(1) 求k的值；(2) 求f(x)的单调区间答案：解：(1) 由题意得f(x)，又f(1)0，故k1.(2) 由(1)知，f(x).设h(x)ln x1(x0)，则h(x)0，即h(x)在(0，)上是减函数由h(1)0知，当0x1时，h(x)0，从而f(x)0；当x1时，h(x)0，从而f(x)0.综上可知，f(x)的单调增区间是(0，1)，单调减区间是(1，)12. 设函数f(x)x3x2bxc，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围答案：解：f(x)x2axb，由题意得即
5、f(x)x2ax，g(x)f(x)2x2ax2.依题意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax20成立，即x(2，1)时，a2，当且仅当x，即x时等号成立 满足要求的a的取值范围是(，2)13. 已知函数f(x)满足f(x)x3f()x2xc(其中f()为f(x)在点x处的导数，c为常数)(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 设函数g(x)f(x)x3ex，若函数g(x)在3，2上单调递增，求实数c的取值范围解：(1) f(x)3x22f()x1，令x，得f()1，所以f(x)x3x2xc，所以f(x)3x22x13(x)(x1)由f(x)0，得x或x1；由f(x)0，得x1.故f(x)的单调增区间是(，)和(1，)；单调减区间是(，1)(2) 因为g(x)(x2xc)ex，所以g(x)(2x1)ex(x2xc)ex(x23xc1)ex.函数g(x)在区间3，2上单调递增，等价于h(x)x23xc10在3，2上恒成立，只要h(2)0，解得c11.故c的取值范围是11，)