1、章末检测（二) 平面解析几何本试卷分第卷和第卷两部分，满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知直线l1：ax3y10，l2：2x(a1)y10互相平行，则a的值是()A3 B2C3或2 D3或2解析：选A由直线l1与l2平行，可得解得a3.2中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为()Ax2y21 Bx2y22Cx2y2 Dx2y2解析：选B设双曲线方程为1(a0)，则ca，渐近线方程为yx，a22.双曲线方程为x2
2、y22.3设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|F1F2|2，则该椭圆的方程为()A1 By21Cy21 Dy21解析：选A|BF2|F1F2|2，a2c2，a2，c1，b.椭圆的方程为1.4半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2(y3)21内切，则此圆的方程为()A(x4)2(y6)26 B(x4)2(y6)26C(x4)2(y6)236 D(x4)2(y6)236解析：选D半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则b6.再由5，可以解得a4，故所求圆的方程为(x4)2(y6)236.5设P是双曲线1(a0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0
3、，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|3，则|PF2|()A1或5 B6C7 D8解析：选C双曲线1的一条渐近线方程为3x2y0，故a2.又P是双曲线上一点，故|PF1|PF2|4，而|PF1|3，则|PF2|7.6已知抛物线y22px(p0)，过点C(4，0)作抛物线的两条切线CA，CB，A，B为切点，若直线AB经过抛物线y22px的焦点，CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是()Ay24x By24xCy28x Dy28x解析：选D由抛物线的对称性知A，B，则SCAB2p24，解得p4，直线AB的方程为x2，所以所求抛物线的标准方程为y28x.7探照灯反射镜
4、的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是()Ay2x By2xCx2y Dx2y解析：选C如果设抛物线的方程为y22px(p0)，则抛物线过点(40，30)，从而有3022p40，即2p，所以所求抛物线方程为y2x.虽然选项中没有y2x，但C中的2p符合题意8已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A54 B1C62 D解析：选A圆C1，C2的图像如图所示设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|1
5、，同理|PN|的最小值为|PC2|3，则|PM|PN|的最小值为|PC1|PC2|4.作C1关于x轴的对称点C1(2，3)，连接C1C2，与x轴交于点P，连接PC1，可知|PC1|PC2|的最小值为|C1C2|5，则|PM|PN|的最小值为54.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9是任意实数，则方程x2y2sin 4的曲线可能是()A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆解析：选ABD由于R，对sin 的值举例代入判断sin 可以等于1，这时曲线表示圆，sin 可以小于0，这时曲
6、线表示双曲线，sin 可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆10在同一平面直角坐标系中，直线l1：axyb0和直线l2：bxya0可能是()解析：选AB由题意l1：yaxb，l2：ybxa，当a0，b0时，l1与l2的斜率与截距都小于0，A正确；当a0，b0时，l1与l2的斜率与截距都大于0，C错误；当a0，b0时，则l1的斜率小于0，截距大于0，l2的斜率大于0，截距小于0，B正确；当a0，b0时，l1的斜率大于0，截距小于0，D错误11设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则()A|AB|12 BCyAyB3 DxAxB3解析：选AB抛物线C：y23x的焦
7、点为F，所以AB所在的直线方程为y.将y代入y23x，整理得x2x0.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由韦达定理得xAxB，xAxB，故D错误，yy3xA3xB9xAxB，所以yAyB，故C错误xAxByAyB.B正确由抛物线的定义可得|AB|xAxBp12，故选A、B.12已知点P在双曲线y21上，且PF1F2为直角三角形，则()AeBSPF1F21CS1DPF1F2的周长为2()解析：选ABDa2，b1，c，则e.设|PF1|m，|PF2|n，则m2n24c2，|mn|2a.解得mn2，mn2，Smn1，S.PF1F2的周长为2()，故选A、B、D.第卷(非选择题，共90分)三、填空
8、题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13直线l过点(3，0)，且与直线y2x3垂直，则直线l的方程为_解析：因为直线y2x3的斜率为2，所以直线l的斜率为.又直线l过点(3，0)，故所求直线的方程为y(x3)，即x2y30.答案：x2y3014已知圆锥曲线1，当m2，1时，该曲线的离心率的取值范围是_解析：m2，1，曲线方程化为1，曲线为双曲线，e.m2，1，e.答案：15抛物线y28x的焦点到双曲线1渐近线的距离为_，双曲线右焦点到抛物线准线的距离为_解析：抛物线y28x的焦点F(2，0)，双曲线1的一条渐近线方程为yx，即3x4y0，则点F(2，0)到渐近线3x4
9、y0的距离为.双曲线右焦点的坐标为(5，0)，抛物线的准线方程为x2，所以双曲线右焦点到抛物线准线的距离为7.答案：716在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切，则圆C面积的最小值为_解析：因为AOB90，所以点O在圆C上设直线2xy40与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2xy40的距离，所以点C在以O为焦点，以直线2xy40为准线的抛物线上，所以当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|，所以圆C的最小半径为，所以圆C面积的最小值为.答案：四、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证
10、明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)命题p：方程1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：方程1表示双曲线(1)若命题p为真命题，求m的取值范围；(2)若命题q为假命题，求m的取值范围解：(1)根据题意，得解得0m2，故命题p为真命题时，m的取值范围为(0，2).(2)若命题q为真命题，则(m1)(m1)0，解得1m1，故命题q为假命题时，m的取值范围为(，11，).18(本小题满分12分)已知ABC的三个顶点A(1，0)，B(1，0)，C(3，2)，其外接圆为圆H.(1)求圆H的标准方程；(2)若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程解：(1)设圆H的方程为x2y2DxEyF0(
11、D2E24F0)，则由题意，可知解得所以圆H的标准方程为x2(y3)210.(2)设圆心到直线l的距离为d，则1d210，所以d3.若直线l的斜率不存在，即lx轴时，则直线方程为x3，满足题意；若直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x3)2，圆心到直线l的距离为d3，解得k，所以直线l的方程为4x3y60.综上可知，直线l的方程为x3或4x3y60.19(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程解：依题意，设抛物线的方程为y22px(p0)，点P在抛物线
12、上，62p.p2，所求抛物线的方程为y24x.双曲线的左焦点在抛物线的准线x1上，c1，即a2b21，又点P在双曲线上，1，解方程组得或(舍去).所求双曲线的方程为4x2y21.20(本小题满分12分)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F(1，0)，抛物线E：x22py的焦点为M.(1)若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点，求直线l的方程；(2)若直线MF与抛物线C交于A，B两点，求OAB的面积解：(1)因为抛物线C：y22px(p0)的焦点为F(1，0)，抛物线E：x22py的焦点为M，所以p2，M(0，1).当直线l的斜率不存在时，其方程为x0，满足题意当直线l的斜率存在时，设
13、方程为ykx1，代入y24x，得k2x2(2k4)x10.当k0时，x，满足题意，直线l的方程为y1；当k0时，令(2k4)24k20，解得k1，所以直线l的方程为yx1.综上，直线l的方程为x0或y1或yx1.(2)结合(1)知抛物线C的方程为y24x，直线MF的方程为yx1.联立得y24y40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24，y1y24，所以|y1y2|4，所以SOAB|OF|y1y2|2.21(本小题满分12分)给定椭圆C：1(ab0)，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”已知椭圆的离心率e，其“准圆”的方程为x2y24.(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆
14、C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2，交“准圆”于点M，N.当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1l2.解：(1)由准圆方程为x2y24，得a2b24，椭圆的离心率e，解得a，b1，椭圆的标准方程：y21.(2)准圆x2y24与y轴正半轴的交点为P(0，2)，设过点P(0，2)且与椭圆相切的直线为ykx2，联立，得消去y，得(13k2)x212kx90.直线ykx2与椭圆相切，144k249(13k2)0，解得k1，l1，l2的方程分别为yx2，yx2.k1，k1，kk1，则l1l2.22(本小题满分12分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且
15、以两焦点为端点的线段为直径的圆的内接正方形面积为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：ykx2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和kADkBD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由解：(1)由已知可得解得a22，b2c21，所以椭圆方程为y21.(2)由得(12k2)x28kx60，由64k224(12k2)16k2240，解得k或k.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，设存在点D(0，m)，则kAD，kBD，所以kADkBD.要使kADkBD为定值，只需6k4k(2m)6k8k4km2(2m1)k的值与参数k无关，故2m10，解得m，当m时，kADkBD0.综上所述，存在点D，使得kADkBD为定值，且定值为0.