1、第2节 等比数列性质【基础知识】1.等比数列的性质：（1）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；（2）在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：，；，；（3）在等比数列中，对任意，；（4）在等比数列中，若，且，则,特殊地，时，则，是的等比中项. 也就是：，如图所示：.（5）若数列是等比数列，且公比不为1，是其前项的和，那么，成等比数列.如下图所示：.（6）两个等比数列与的积、商、倒数的数列、仍为等比数列（7）若数列是等比数列,则，仍为等比数列2. 公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，成等比数列，且公比为.3.等比数列的单调性当或
2、时，为递增数列，当或时，为递减数列 【规律技巧】1. 等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式以及前项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题2.等比数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用, 故应用等比数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系3.应用等比数列的性质要注意结合其通项公式、前项和公式4. 在运用函数判断数列的单调性时，要注意函数的自变量为连续的，数列的自变量为不连续的，所以函数性质不能够完全等同于数列的性质有些数列会出现前后几项的大小不一，从某一项开始才符合递增或递减的特征，这时前几项中每一
3、项都必须研究【典例讲解】【例1】 (1)公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a1116，则log2a10()A4 B5 C6 D7(2)等比数列an的首项a11，前n项和为Sn，若，则公比q_【解析】(1)法一由等比中项的性质得a3a11a16，又数列an各项为正，所以a74.所以a10a7q332.所以log2a105.规律方法(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用【变式探究】
4、(1)已知x，y，zR，若1，x，y，z，3成等比数列，则xyz的值为()A3 B3 C3 D3(2)已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6等于()A5 B7 C6 D4【针对训练】1、设数列是等比数列，满足，且，则（ ）ABCD【答案】B【解析】由已知得，又，则，故，所以.2、设等比数列的前n项和为，若，则为（）AB C D 【答案】D3、已知公比为的等比数列的前项和为，则下列结论中：（1）成等比数列；（2）；（3）正确的结论为 （ ）（）（1）（2） （）（1）（3） （）（2）（3） （）（1）（2）（3）【答案】C4、等比数列的各项均为正数，
5、且，则（ ）A12 B10 C8 D2【答案】B5、等比数列的前项和为，已知，且，则实数的值为（ ）A B C D【答案】B【练习巩固】1已知数列an满足log3an1log3an1(nN*)，且a2a4a69，则log(a5a7a9)的值是 ()A B5 C5 D.【解析】由log3an1log3an1(nN*)，得log3an1log3an1且an0，即log31，解得3，所以数列an是公比为3的等比数列因为a5a7a9(a2a4a6)q3，所以a5a7a993335.所以log(a5a7a9)log35log3355.【答案】B2数列an中，已知对任意nN*，a1a2a3an3n1，则a
6、aaa等于 ()A(3n1)2 B.(9n1)C9n1 D.(3n1)【答案】B3已知等比数列an的公比为q，记bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m，cnam(n1)1am(n1)2am(n1)m(m，nN*)，则以下结论一定正确的是()A数列bn为等差数列，公差为qmB数列bn为等比数列，公比为q2mC数列cn为等比数列，公比为qm2D数列cn为等比数列，公比为qmm【答案】C4已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是_【解析】1，a1，a2，4成等差数列，设公差为d，则a2a1d(4)(1)1，1，b1，b2，b3，4成等比数列，b(1)(4)4，b22，若设公比为q，则b2(1)q2，b20.b22，.【答案】5设数列an是各项均为正数的等比数列，若a1a2n14n，则数列an的通项公式是_6已知各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若S43S2，a32，则a7_7已知an是等差数列，满足a13，a412，数列bn满足b14，b420，且bnan为等比数列(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和