1、第2讲数形结合思想思想方法解读数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法数形结合思想体现了数与形之间的沟通与转化，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面数形结合的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，即将代数问题几何化、几何问题代数化数形结合思想常用来解决函数零点问题、方程根与不等式问题、参数范围问题、立体几何模型研究代数问题，以及解析几何中的斜率、截距、距离等模型问题热点题型探究热点1 数形结合化解方程问例1(1)(2019聊城市高三一模)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)xa无实根，则实数a的取值范围为()A(，0) B(1
2、,0)C. D(0,1)答案B解析因为函数f(x)所以关于x的方程f(x)xa无实根等价于函数yf(x)的图象与直线yxa无交点，设直线yxa与f(x)(x0)切于点P(x0，y0)，由f(x)，由已知得1，解得x01，则P(1,0)，则切线方程为yx1，作出函数f(x)与直线yxa的图象如图所示由图知函数yf(x)的图象与直线yxa无交点时实数a的取值范围为1a0，故选B.(2)已知函数f(x)若方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为()A(，0 B0,1)C(，1) D0，)答案C解析函数f(x)的图象如图所示，当a1时，函数yf(x)的图象与函数yxa的图象有两
3、个交点，即方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数1(2019天津市重点中学毕业班联考(一)已知函数f(x)若方程f(x)|x2|kx0有且只有三个不相等的实数解，则实数k的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析f(x)|x2|kx0有且只有三个不相等的实数根，等价于yf(x)|x2|与y
4、kx的图象有三个交点，画出yf(x)|x2|与ykx的图象如图，ykx与yx23x2相切时，k32，ykx过(3,2)时，k，根据图象可知，k0，且x1，x2R(x1x2)，f(x1)f(x2)2f，则下列选项中不一定正确的一项是()Af(2)f(e)f()Bf()f(e)f(2)Cf(2)f(2)f(3)f(3)Df(3)f(3)f(2)0，所以f(x)在R上单调递增x1，x2R(x1x2)，恒有f(x1)f(x2)2f，即f，所以yf(x)的图象是向上凸起的，如图所示所以f(2)f(e)f()，故A正确；因为f(x)反映了函数f(x)图象上各点处的切线的斜率，由图象可知，随着x的增大，f(
5、x)的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以f()f(e)f(2)，故B正确；因为f(3)f(2)，表示点A(2，f(2)与B(3，f(3)连线的斜率，由图可知f(3)kAB0，b0)，若双曲线的渐近线被圆M：x2y210x0所截得的两条弦长之和为12，已知ABP的顶点A，B分别为双曲线的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于()A. B. C. D.答案C解析双曲线的一条渐近线方程为yx，双曲线的渐近线被圆M：x2y210x0即(x5)2y225所截得的两条弦长之和为12，设圆心到渐近线的距离为d，则d4.4，即5b4c，bc.a2c2b2c2，ac，A，B分别为双曲线的左、右焦点，点
6、P在双曲线上，|APBP|2a，根据正弦定理可得2R，sinB，sinA，sinP，故选C.(2)已知A(1,1)为椭圆1内一点，F1为椭圆的左焦点，P为椭圆上一动点，求|PF1|PA|的最大值和最小值解由1可知a3，b，c2，左焦点F1(2，0)，右焦点F2(2,0)由椭圆定义，知|PF1|2a|PF2|6|PF2|，|PF1|PA|6|PF2|PA|6|PA|PF2|.如图，由|PA|PF2|AF2|，知|PA|PF2| .当点P在AF2的延长线上的点P2处时，取右“”，当点P在AF2的反向延长线上的点P1处时，取左“”，即|PA|PF2|的最大、最小值分别为，.于是|PF1|PA|的最大
7、值是6，最小值是6.与圆锥曲线有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数表达式求解但一味的强调函数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单1椭圆1的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点M，N，当FMN的周长最大时，FMN的面积是()A. B. C. D.答案C解析如图，设椭圆的右焦点为F，连接MF，NF.因为|MF|NF|MF|NF|MF|NF|MN|，所以当直线xm过椭圆的右焦点时，FMN的周长最大此时|MN|，又c1，所以此时FMN的面积S2.故选C.2(2019四川省成都市第七中学高三下学期三诊)已知双曲线C：4y21(a0)的右顶点到其
8、一条渐近线的距离等于，抛物线E：y22px的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l1：4x3y60和l2：x1的距离之和的最小值为()A1 B2 C3 D4答案B解析由双曲线方程4y21(a0)可得，双曲线的右顶点为(a,0)，渐近线方程为yx，即x2ay0.双曲线的右顶点到渐近线的距离等于，解得a2，双曲线的方程为4y21，双曲线的焦点为(1,0)又抛物线E：y22px的焦点与双曲线C的右焦点重合，p2，抛物线的方程为y24x，焦点坐标为F(1,0)如图，设点M到直线l1的距离为|MA|，到直线l2的距离为|MB|，则|MB|MF|，|MA|MB|MA|MF|.结合图形可得当A，M，F三点共线时，|MA|MB|MA|MF|最小，且最小值为点F到直线l1的距离d2.故选B.