1、章末优化训练(算法初步统计、统计案例计数原理、概率、随机变量及其分布)(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在一个盒子里有10个大小一样的球，其中5个红球，5个白球，则第1个人摸出一个红球，紧接着第2个人摸出一个白球的概率为()A.B.C. D.解析：记“第1个人摸出红球”为事件A，“第2个人摸出白球”为事件B，则P(AB)P(B|A)P(A).答案：C2如图表示甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是()A56分 B57分C58分 D59分解析：由
2、图可知甲的中位数为32，乙的中位数为25，故和为57.故选B.答案：B3将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为()A18 B24C30 D36解析：将4个学生分成3份，再分到3个班，即CA种方法，甲、乙两人分到同一个班的情况为A种方法，故所求的不同方法有：CAA30(种)故选C.答案：C4投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是()A. B.C. D.解析：P(A)，P(B)，P()，P().又A、B为相互独立的事件，P(
3、)P()P().A，B中至少有一件发生的概率为1P()1.答案：C5在正态分布N中，数值落在(，1)(1，)内的概率为()A0.097 B0.046C0.03 D0.002 6解析：0，.P(X1或X1)1P(1X1)1P(3X3)10.997 40.002 6.答案：D6如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则()A.AB，sAsB B.AsBC.AB，sAsB D.AB，sAsB解析：A中的数据都不大于B中的数据，所以AsB.答案：B7一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是()Ai5? Bi6?
4、Ci5? Di6?解析：由框图知S01()()1.i5，应填入i6？.答案：D8在n展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A180 B90C45 D360解析：因只有第六项的二项式系数最大，故n10.Tr1C()10rr2rCx5r，令5r0，r2，T322C180.故应选A.答案：A9某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者，则选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手的概率为()A. B.C. D.解析：选出4名优胜者共有C种不同的方法对其中恰有且只有两人是同一省份的歌手，首先从六个省份中选出一个省的一对歌手有C种不同的方法，再从
5、剩下的五个省中选出两个省有C种方法，再从选中的两个省中每个省选出1个歌手有CC4(种)，共有CCCC240(种)，所以所求概率为P.故选A.答案：A10.如图，若依次输入的x分别为、，相应输出的y分别为y1、y2，则y1、y2的大小关系是()Ay1y2By1y2Cy1y2D无法确定解析：由程序框图可知，当输入的x为时，sincos成立，所以输出的y1sin；当输入的x为时，sincos不成立，所以输出的y2cos，所以y1y2，故选C.答案：C11已知平面区域，M，向区域内随机投一点P，点P落在区域M内的概率为()A. B.C. D.解析：如图，平面区域表示ABC及其内部区域，区域M表示ABD
6、及其内部区域，设A表示“P落在区域M内”，则由几何概型知识得：P(A)，故选C.答案：C12假设有两个分类变量X与Y的22列联表如下表： XYy1y2x1abx2cd对于以下数据，对同一样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为()Aa5，b4，c3，d2 Ba5，b3，c4，d2Ca2，b3，c4，d5 Da2，b3，c5，d4解析：运用独立性检验，分别计算K2的观测值，K2的值越大，说明X与Y有关系的可能性越大，因为D项的K2值最大，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分请把正确答案填在题中横线上)13已知x，y的取值如下表所示：x0134y2.24.34.86.
7、7从散点图分析，y与x线性相关，且0.95xa，则a_.解析：由0.95xa过点(，)，可求a的值答案：2.614已知6展开式中常数项为240，其中a是小于零的常数，则展开式中各项的系数之和是_解析：Tr1C(x2)6rrarCx123r，令123r0，即r4，常数项a4C240，又a0，a2.令x1，即得展开式中的各项系数之和为1.答案：115在100,101,102，999这些数中，各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是_个把符合条件的所有数按从小到大的顺序排列，则321是第_个数(用数字作答)解析：不含0的此类三位数有2C个，含0的此类三位数有C
8、个，故此类三位数共有2CC204(个)；百位为1的此类数共有C28(个)，百位为2的此类数共有C122(个)，百位为3的数从小到大排列为310,320,321，故321是第53个数答案：2045316如图，正方形OABC的边长为2.(1)在其四边或内部取点P(x，y)，且x，yZ，则事件“|OP|1”的概率是_(2)在其内部取点P(x，y)，且x，yR，则事件“POA，PAB，PBC，PCO的面积均大于”的概率是_解析：(1)在正方形的四边和内部取点P(x，y)且x，yZ，所有可能的事件是(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1，2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)
9、，其中满足|OP|1的事件是(0,2)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，2,2)，所以满足|OP|1的概率为.(2)在正方形内部取点，其总的事件的包含的区域面积为4，由于各边长为2，所以要使OPA，PAB，PBC，PCO的面积均大于，应该三角形的高大于，所以这个区域为每个边长从两端各去掉后剩余的正方形，其面积为，所以满足条件的概率为.答案：(1)(2)三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段90,100)，100,110)，140,150)
10、后得到如下部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：(1)求分数在120,130)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分解析：(1)分数在120,130)内的频率为1(0.10.150.150.250.05)10.70.3，0.03，补全后的直方图如下(2)平均分为950.11050.151150.151250.31350.251450.05121.18(12分)如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或B或C.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入
11、的小球落到A，B，C，则分别设为1,2,3等奖(1)已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随机变量为获得k(k1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望E；(2)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动，记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次，求P(2).【解析方法代码108001156】解析：(1)由题意得的分布列为50%70%90%P则E50%70%90%.(2)由(1)可知，获得1等奖或2等奖的概率为.由题意得B，则P(2)C2.19(12分)已知复数zxyi(x，yR)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P4，3，2,0，Q0,1,2，从集合P中随机取一
12、个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x0,3，y0,4，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率解析：(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.组成复数z的所有情况共有12个：4，4i，42i，3，3i，32i，2，2i，22i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，所求事件的概率为P(A).(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域内，属于几何概型该平面区域的图形为右图中矩形OABC围成的区域，面积为S3412.而所求事件构成的平面区域为(x，y)|，其图形如图中的OAD(阴影部分)又直线x2y3
13、0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、D，OAD的面积为S13.所求事件的概率为P.20(12分)射击运动员在双项飞碟比赛中，每轮比赛连续发射两枪，击中两个飞靶得2分，击中一个飞靶得1分，不击中飞靶得0分，某射击运动员在每轮比赛连续发射两枪时，第一枪命中率为，第二枪命中率为，该运动员进行2轮比赛(1)求该运动员得4分的概率为多少？(2)若该运动员所得分数为，求的分布列及数学期望【解析方法代码108001157】解析：(1)记“运动员得4分”为事件A，则P(A).(2)设“运动员得i分”为事件Ai，的可能取值为0,1,2,3,4.P(0)P(4)P(A0)P(A4)，P(1)P(3)P(A1)
14、P(A3)C3C3，P(2)P(A2)44422.的分布列为01234P数学期望E012342.21(12分)高三年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有6位同学每位同学都只选了一个科目，第一小组选近世代数的有1人，选矩阵代数的有5人，第二小组选近世代数 的有2人，选矩阵代数的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况(1)求选出的4人均选矩阵代数的概率；(2)设为选出的4个人中选近世代数的人数，求的分布列和数学期望.【解析方法代码108001158】解析：(1)设“从第一小组选出的2人选矩阵代数”为事件A，“从第二小组选出的2人选矩阵代数”为事件B.由于事件A
15、、B相互独立，且P(A)，P(B).所以选出的4人均选矩阵代数的概率为P(AB)P(A)P(B).(2)由题知可能的取值为0,1,2,3，得P(0)，P(1)，P(3)，P(2)1P(0)P(1)P(3).的分布列为0123P的数学期望E01231.22(14分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训现分别从他们在培训期间的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：8281797895889384乙：9295807583809085(1)用茎叶图表示这两组数据；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由；(3)若将频率视为概率，对甲同学在今后的3次
16、数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为，求的分布列及数学期望E.解析：(1)作出茎叶图如下：(2)派甲参赛比较合适理由如下：甲(70280490289124835)85.乙(70180490350035025)85，s(7885)2(7985)2(8185)2(8285)2(8485)2(8885)2(9385)2(9585)235.5，s(7585)2(8085)2(8085)2(8385)2(8585)2(9085)2(9285)2(9585)241.甲乙，ss，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适注：本小题的结论及理由均不唯一，如果能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分如派乙参赛比较合适理由如下：从统计的角度看，甲获得85分以上(含85分)的概率P1，乙获得85分以上(含85分)的概率P2.P2P1，派乙参赛比较合适(3)记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，则P(A).随机变量的可能取值为0,1,2,3，且服从BP(k)Ck3k，k0,1,2,3.所以变量的分布列为0123PE0123.