1、辽宁省辽阳市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在数列中，则（ ）A. 2B. 6C. 8D. 14【答案】C【解析】【分析】根据数列的递推公式求出，即可求得.【详解】解：因为，所以，则.故选：【点睛】本题考查利用递推公式求数列的项的问题，属于基础题.2.已知直线经过两点，则直线的倾斜角是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出直线的斜率，根据斜率得倾斜角【详解】由题意直线的斜率为，倾斜角为故选：A【点睛】本题考查直线的倾斜角，可先求出斜率根
2、据斜率是倾斜角的正切值求出倾斜角3.抛物线的准线方程是（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的定义，将抛物线化成标准式，即可求出其准线方程.【详解】解：，则该抛物线的准线方程是，即.故选：【点睛】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，属于基础题.4.若等差数列的公差，则（ ）A. B. C. 15D. 28【答案】B【解析】【分析】由题意可设，根据等差数列的定义可得的值，从而可得的值，根据即可得结果.【详解】设，则.即，故，故选：B.【点睛】本题考查等差数列首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列定义的合理运用5.已知双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，则（
3、）A. 1B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】由椭圆的方程可得焦点坐标，根据双曲线的性质即可得的值.【详解】在椭圆中，即椭圆的焦点坐标为，双曲线的焦点为，解得，故选：A.【点睛】本题主要考查椭圆的焦点坐标以及双曲线的焦点坐标，属于中档题.6.已知是等差数列的前n项和，若，则（ ）A. 99B. 33C. 198D. 66【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质可得，根据等差数列的前项和公式以及等差数列的性质可得，进而可求得结果.【详解】因为，所以，则，故选：D.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前项和公式，属于中档题.7.已知在正方体中，E是的中点，F是底面的中
4、心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为1，得出点的坐标，求出即可得结果.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为1，可得，所以，所以.故选：D.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，转化为两直线的方向向量之间的关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于中档题8.已知等比数列的前n项和为，若，则，（ ）A. 10B. 15C. 20D. 25【答案】A【解析】【分析】对已知等式左侧的式子一、五两项，二、四两项分别通分，结合等比数列的性质再和第三项通分化简可得，结合的值进而可得结
5、果.【详解】，则，故选：A.【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，利用性质化简是解题的关键，属于中档题.9.已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是该双曲线上的一点，且，则（ ）A. 2或18B. 2C. 18D. 4【答案】C【解析】【分析】首先根据可判断出点P在该双曲线左支上，再根据双曲线的定义即可得结果.【详解】在双曲线中，因为，所以点P在该双曲线左支上，则，故选：C.【点睛】本题主要考查了双曲线定义，判断出点P的位置是解题的关键，属于中档题.10.已知椭圆：的左、右焦点分别为，定点，点是椭圆上的动点，则的最大值是（ ）A. 7B. 10C. 17D. 19【答案】C【解析】【分析】计算，利
6、用得到答案.【详解】由题意可得，则.因点在椭圆上，所以所以故.当共线且在延长线上时取等号.故选： 【点睛】本题考查了椭圆线段的最值问题，利用是解题的关键，意在考查学生的转化能力和计算能力.11.若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值为（ ）A. 16B. 10C. 9D. 8【答案】C【解析】【分析】由直线截圆所得的弦长为圆的直径可得直线过圆心即，利用“乘1”法，根据基本不等式即可得结果.【详解】由题意可知直线l经过圆C的圆心，则，故（当且仅当时取等号），即的最小值为9，故选：C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，基本不等式在求最值中的应用，得到是解题的关键，属于中档题.12.双曲线的左
7、、右焦点分别为，渐近线分别为，过点且与垂直的直线交于点，交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】设：，：，联立方程得到，再计算，利用余弦定理得到，计算得到答案.【详解】记为坐标原点.由题意可得，不妨设：，：则直线：.联立，解得则故，.因为，所以所以，则.因为，所以，所以，整理得，则解得.故选：【点睛】本题考查了双曲线的离心率问题，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量，则_.【答案】【解析】【分析】直接根据空间向量坐标加法运算即可
8、直接得到结果.【详解】因为，所以，故答案为：.【点睛】本题主要考查了空间向量坐标加法运算法则，属于基础题.14.如图，在长方体中，E为的中点，则直线与平面所成角的大小是_.【答案】30（或）【解析】【分析】取的中点F，连接，然后证明取的中点F，连接，最后在中求出角的大小即可.【详解】取的中点F，连接，面,则为直线与平面所成的角.由题意可得，则，故，即直线与平面所成角的大小是30，故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中构造出线面夹角的平面角是解答本题的关键，属于中档题.15.已知直线与圆的两个交点关于直线对称，则_.【答案】【解析】【分析】由题意可得直线与直线互相垂直且直
9、线过圆心，由此可列出关于，的方程组，解出方程组即可得结果.详解】由题意可得解得，故，故答案为：.【点睛】本题主要考查了直线和圆的位置关系，考查了圆的对称性，属于中档题16.已知抛物线：，点在轴上，直线：与抛物线交于，两点，若直线与直线的斜率互为相反数，则点的坐标是_.【答案】【解析】【分析】设出，线：与抛物线交于，两点，即三点共线，根据直线与直线的斜率互为相反数，即可求出点坐标.【详解】考虑直线：，即，所以直线恒过定点，设，直线：与抛物线交于，两点，即三点共线，化简得： 所以，直线与直线的斜率互为相反数，即恒成立，则所以即点的坐标是 故答案为：【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，关键在于合
10、理使用点的坐标关系将题目所给条件转化为代数运算求解参数.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.考生根据要求作答.17.已知直线经过点.（1）若与直线平行，求的方程（结果用一般式表示）；（2）若在轴上的截距与在轴上的截距相等，求的方程（结果用一般式表示）.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据平行得到的斜率为2，得到点斜式为，化简得到答案.（2）根据直线是否过原点两种情况分别计算得到答案.【详解】（1）因为与直线平行，所以的斜率为2，由点斜式可得，的方程为，即.（2）当直线过原点时，的斜率为，所以的方程为.当直线不过原点时，设直线的方程为，
11、代入，得，所以的方程为.综上所述：的方程为或.【点睛】本题考查了直线方程，讨论直线是否过原点是解题的关键，意在考查学生的计算能力.18.已知圆C经过A（5，3），B（4，4）两点，且圆心在x轴上.（1）求圆C的标准方程；（2）若直线l过点（5，2），且被圆C所截得的弦长为6，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据题意可设圆的方程为，根据点在圆上可得关于的方程组，解出方程组即可得到圆的方程.（2）由直线截圆所得的弦长结合垂径定理可得圆心到直线的距离为4，当直线斜率不存在时显然成立，当直线斜率存在时，可设为点斜式，根据点到直线的距离公式求出斜率即可.【详解】（1）因为
12、圆心在x轴上，所以可设圆的方程为. 因为圆C经过A（5，3），B（4，4）两点，所以解得，. 故圆C的标准方程是. （2）因为直线l被圆C所截得的弦长为6，所以圆C的圆心到直线l的距离.当直线l的斜率不存在时，因为直线l过点，所以直线l的方程为，所以圆C的圆心到直线l的距离，符合题意； 当直线l的斜率存在时，可设出直线l的方程为，即，则圆C的圆心到直线l的距离，解得， 故直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或.【点睛】本题考查了用待定系数法求圆的方程，通常用一般式计算要简单；另外圆与直线相交时，半径、弦长的一半和弦心距的关系，注意用到斜率考虑是否存在问题，属于中档题19.已知抛物线的焦点为F
13、，直线l与抛物线C交于两点.（1）若直线l的方程为，求的值；（2）若直线l的斜率为2，l与y轴的交点为P，且，求.【答案】（1）18；（2）.【解析】【分析】（1）设出点的坐标联立直线与抛物线的方程，消去，由韦达定理可得，由抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等即可得结果.（2）可设直线l的方程为，联立直线与抛物线的方程，消去，结合韦达定理以及可解出，根据弦长公式即可得结果.【详解】（1）设，.联立整理得， 则. 因为均在抛物线C上，所以. （2）设，则直线l的方程为.联立整理得， 则，且，即. 因为，所以点N为线段的中点，所以. 因为，所以，此时， 故.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线
14、的位置关系，直线与抛物线相交时所得的弦长问题，注意抛物线性质的应用，属于中档题.20.已知数列的前项和为，且，数列满足，.（1）求的通项公式；（2）求的前项和.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）利用公式化简得到，再利用计算得到数列的通项公式.（2）由（1）可得，则，再利用错位相减法计算前项和.【详解】（1）因为，所以，所以，即.因为，所以，所以.故数列是以1为首项，以3为公比的等比数列，.（2）由（1）可得，则，从而，-得，故.【点睛】本题考查了求通项公式，利用错位相减法计算前项和，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.21.如图，在四棱锥中，O为的中点.（1）证明：平面；（2）若
15、，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点F，连接，易得，由线面垂直判定定理可得平面，进而，再将与线面垂直判定定理相结合即可得结果.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，可求出平面的一个法向量，取平面的一个法向量，根据图象结合即可得结果.【详解】（1）证明：取的中点F，连接.因为，F为的中点，所以. 因为O为中点，F为的中点，所以.因为，所以， 因为，平面，平面，所以平面. 又平面，所以.因为，O为的中点，所以. 因为，平面，平面，所以平面. （2）解：以O为坐标原点，所在直线为x轴，平行的直线为y轴，所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，因为
16、，所以， 故，. 设平面的法向量，则不妨取，则平面的一个法向量，记二面角的大小为，由图可知为锐角，则.【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，利用向量法求二面角的大小，求出面的法向量是解题的关键，属于中档题.22.已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上，且的最小值是（为坐标原点）.（1）求椭圆的标准方程.（2）已知动直线与圆：相切，且与椭圆交于，两点.是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在【解析】【分析】（1）根据焦距和椭圆的几何意义即可求出椭圆标准方程；（2）分别对斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，相切即圆心到直线距离等于半径，即向量的数量积为零，进行代数运算即可求解.【详解】（1）因为的最小值是，所以，因为椭圆的焦距为，所以，即，所以，故椭圆的标准方程是；（2）当直线的斜率不存在时，因为直线与圆相切，所以直线的方程为，则直线与椭圆的交点为或，因为，所以，所以，即，当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，.联立，整理得，则，因为，在直线上，所以，将，代入上式，得，因为，所以，即，因为动直线与圆相切，所以，所以，即，综上，存在，使得.【点睛】此题考查根据椭圆的几何意义求解椭圆方程，根据直线与曲线的位置关系结合韦达定理解决探索性问题.
