1、专题二 三角函数、解三角形与平面向量第1讲三角函数的图象与性质考情研析1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.核心知识回顾1.同角关系式与诱导公式(1)同角三角函数的基本关系：sin2cos21，tan.(2)诱导公式：在，kZ的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”2三种三角函数的性质3函数ysinx的图象经变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象的步骤热点考向探究考向1 同角三角关系式、诱导公式例1(1)(2019临川第一中学等九校高三3月联考)已知(0，)，且cos
2、，则sintan()()A B. C D.答案D解析sintan()costansin，因为(0，)，且cos，所以sin.故选D.(2)已知sincos，(0，)，则tan()A1 B C. D1答案A解析因为sincos，所以(sincos)22，所以sin21.因为(0，)，2(0,2)，所以2，即，故tan1.(3)已知为锐角，且有2tan()3cos50，tan()6sin()10，则sin()A. B. C. D答案C解析由已知可得，2tan3sin50，tan6sin10，2得tan3.为锐角，sin.故选C.(1)利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函
3、数，其步骤：去负脱周化锐，特别注意函数名称和符号的确定(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sincos，sincos，sincos这三个式子，利用(sincos)212sincos，可以知一求二(3)关于sin，cos的齐次式，往往转化为关于tan的式子求解1(2019内江市高三第三次模拟)已知，sin，则tan()A7 B. C7 D答案D解析，sin，cos，tan.tan.故选D.2已知sin2，则tan等于()A. B. C. D4答案A解析由sin22sincos，可得sincos，所以tan.故选A.3如果f(tanx)sin2x5sinxcosx，那么f(2)_.答案解析f(
4、tanx)sin2x5sinxcosx，f(x)，则f(2).考向2 三角函数的图象及应用例2(1)(2019永州市高三第三次模拟)将函数f(x)sin2xcos2x图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，所得函数的一个对称中心可以是()A. B(0,0)C. D.答案A解析f(x)sin2xcos2x2sin，将横坐标伸长到原来的2倍，所得函数为g(x)2sin，令xk(kZ)xk(kZ)，则对称中心为，kZ，令k0，则其中一个对称中心为.故选A.(2)函数f(x)Asin(x)(A，是常数，A0，0)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为_答案，kZ解析由函数的图象可得A，T，解得2.
5、再根据五点作图法可知2，所以f(x)sin.由2k2x2k(kZ)，可得kxk(kZ)1解析式yAsin(x)B的确定方法(1)A，B由最值确定，即A，B.(2)由函数周期确定，相邻两对称轴(或两对称中心)之间的距离为，对称轴与相邻对称中心之间的距离为.(3)由图象上的特殊点确定，利用五点作图的五个特殊点直接确定2三角函数图象平移问题处理策略(1)看平移要求：首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数，这是判断移动方向的关键点(2)看移动方向：移动的方向一般记为“正向左，负向右”，看yAsin(x)中的正负和它的平移要求(3)看移动单位：在函数yAsin(x)中，周期变换和相位变换都是沿x轴方
6、向的，所以和之间有一定的关系，是初相，再经过的压缩，最后移动的单位是.1(2019唐山市高三第二次模拟)已知函数f(x)sin(0)的最小正周期为，把f(x)的图象向左平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为()Ax0 Bx Cx Dx答案B解析函数f(x)sin(0)的最小正周期为，1，f(x)sin.若将函数f(x)的图象向左平移个单位，可得ysinsin的图象，令2xk，kZ，求得x，令k0，可得所得函数图象的一条对称轴为x.故选B.2(2019丹东市高三总复习质量测试(一)设函数f(x)sinx(0)，已知对于内的任意x1，总存在内的x2，使得f(x1)f(x2)0，则的()A最大值为
7、3 B最小值为3C最大值为 D最小值为答案D解析因为要满足对任意的x1，总存在x2，使得f(x1)f(x2)0，对于f(x)sinx(0)，则在上的函数值有正值，即f(x1)可以有正值，要存在x2使得f(x1)f(x2)0，则f(x2)需要有负值又f(x1)可以取到最大值1，要存在f(x2)，使得f(x1)f(x2)0，则f(x2)要可以取到最小值1，说明f(x)在x0上取得第一个最小值的点应在的左侧或者恰好落在处，所以T，即，解得.故选D.考向3 三角函数的性质例3(1)(2019天津九校高三联考)已知函数f(x)sinxcosx(0)的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数yf(x)
8、的图象向左平移个单位得到函数yg(x)的图象，则yg(x)是减函数的区间为()A. B.C. D.答案D解析f(x)sinxcosx2sin，因为图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，所以T，2，所以f(x)2sin.所以g(x)2sin2sin2x.由2k2x2k(kZ)，得kxk，所以yg(x)是减函数的区间为(kZ)分析选项只有D符合故选D.(2)若将函数ysin的图象向右平移m(m0)个单位长度后所得的图象关于直线x对称，则m的最小值为()A. B. C. D.答案B解析平移后所得的函数图象对应的解析式是ysin，如果该函数的图象关于直线x对称，则2k(kZ)，所以m(kZ)，又m0，故
9、当k0时，m最小，此时m.(3)已知函数f(x)|sinx|cosx，则下列说法正确的是()Af(x)的图象关于直线x对称Bf(x)的周期为C若|f(x1)|f(x2)|，则x1x22k(kZ)Df(x)在区间上单调递减答案D解析因为f(x)|sinx|cosx，所以函数f(x)在区间0,2上的解析式为f(x)且 f(x)是偶函数，画出f(x)的大致图象(图略)可知D选项正确故选D.求解函数yAsin(x)的性质问题的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)Asin(x)的形式(2)整体意识：类比ysinx的性质，只需将yAsin(x)中的“x”看成ysinx中的“x”
10、，采用整体代入求解令xk(kZ)，可求得对称轴方程令xk(kZ)，可求得对称中心的横坐标将x看作整体，可求得yAsin(x)的单调区间，注意的符号(3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A0，A0.1已知函数f(x)sin(x)(01，|0Bf(1016)f(1017)0Cf(1016)f(1017)0Df(1016)f(1017)0答案A解析02.对任意xR，f(1)f(x)f(6)，f(1)1，f(6)1，函数f(x)在区间1,6上单调递增，615，即T10.f(1016)f(6)，f(1017)f(7)又函数f(x)的图象关于直线x6对称，f(1017)f(7)f(5)函数f(x
11、)在区间1,6上单调递增，f(5)f(1017)，f(1016)f(1017)0.故选A.2(2019宁夏银川高三下学期质检)将函数f(x)sin2xcos2x的图象向左平移个单位得到g(x)的图象，则g(x)在下列哪个区间上单调递减()A. B.C. D.答案C解析将函数f(x)sin2xcos2xsin的图象向左平移个单位得到g(x)sinsincos2x，在区间上，则2x，0，g(x)单调递增，故A不满足条件；在区间上，则2x，g(x)不单调，故B不满足条件；在区间上，则2x0，g(x)单调递减，故C满足条件；在区间上，则2x，2，g(x)单调递增，故D不满足条件故选C.3(2019新疆
12、乌鲁木齐高三第二次质量检测)若关于x的方程(sinxcosx)2cos2xm在区间0，)上有两个根x1，x2，且|x1x2|，则实数m的取值范围是()A0,2) B0,2C1，1 D1，1)答案B解析关于x的方程(sinxcosx)2cos2xm在区间0，)上有两个根x1，x2，方程即sin2xcos2xm1，即sin，sin在区间0，)上有两个根x1，x2，且|x1x2|.x0，)，2x，求得0m2.故选B.真题押题真题模拟1(2019新乡市二模)已知sin22cos2，那么cos22sin()A1 B2 C1 D2答案A解析因为sin22cos20，所以cos22cos30，解得cos1或
13、cos3(舍去)，所以sin0，所以cos22sin1.故选A.2(2019天津高考)已知函数f(x)Asin(x)(A0，0，|)是奇函数，将yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)若g(x)的最小正周期为2，且g，则f()A2 B C. D2答案C解析因为f(x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f(0)Asin0，所以sin0.又|0，2；图象过，cos0，根据题中图象可得22m(mZ)，即2m.因为|，所以，所以f(x)cos，当2k2x2k(kZ)时，函数单调递增，化简得kxk(kZ)故选D.4(2019温州质检)函数f(x)2xta
14、nx在上的图象大致为()答案C解析因为函数f(x)2xtanx为奇函数，所以函数图象关于原点对称，排除A，B，又当x时，y0)，已知f(x)在0,2有且仅有5个零点，下述四个结论：f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点；f(x)在(0,2)有且仅有2个极小值点；f(x)在单调递增； 的取值范围是.其中所有正确结论的编号是()A B C D答案D解析已知f(x)sin(0)在0,2有且仅有5个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在a，b)上，此时f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点，但f(x)在(0,2)可能有2或3个极小值点，所以正确，不正确；当x0,2时，x，由f(x)在0,2有且仅有5
15、个零点可得526，得的取值范围是，所以正确；当x时，x0)个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小值是()A. B. C. D.答案D解析f(x)sinxcosxcos2xsin2xsin2xcos2xsin，函数f(x)的图象向右平移个单位可得ysinsin，所得图象关于y轴对称，根据三角函数的对称性，可得此函数在y轴处取得函数的最值，即sin1，解得2k，kZ，所以，kZ，且0，令k1，得的最小值为.故选D.8已知函数f(x)2sin(2x)(|)，若f2，则f(x)的一个单调递减区间是()A. B.C. D.答案C解析由f2，得f2sin2sin2，所以sin1.因为|，所以.由2k2x2
16、k，kZ，解得kxk，kZ.当k0时，x.故选C.配套作业一、选择题1已知为锐角，且sin，则cos()()A B. C D.答案A解析因为为锐角，且sin，所以cos.所以cos()cos.2函数f(x)tan的单调递增区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)答案B解析当k2xk(kZ)时，函数ytan单调递增，解得x0，故，故cos，所以.4. 如果存在正整数和实数使得函数f(x)sin2(x)的图象如图所示(图象经过点(1,0)，那么的值为()A1 B2C3 D4答案B解析因为f(x)sin2(x)cos2(x)，所以函数f(x)的最小正周期T，由题图知1，即T0，故排
17、除C，故选A.6(2019毛坦厂中学高三校区联考)已知函数f(x)Asin(x)的图象与y轴交于点M，距离y轴最近的最大值点为N，若x1，x2(a，a)，且x1x2，恒有f(x1)f(x2)，则实数a的最大值为()A. B. C. D.答案C解析由题意，得A3,3sin，|，由五点作图法知，解得3，f(x)3sin，令2k3x2k，kZ.解得x，kZ.(a，a)，0a，实数a的最大值为.故选C.7如图，函数f(x)Asin(2x)的图象过点(0，)，则f(x)的函数解析式为()Af(x)2sinBf(x)2sinCf(x)2sinDf(x)2sin答案B解析由题意知，A2，函数f(x)的图象过
18、点(0，)，所以f(0)2sin，由|0)的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，若函数g(x)的图象关于直线x对称且在区间(，)内单调递增，则的值为()A. B. C. D.答案A解析由题意得g(x)sinsin，因为函数g(x)的图象关于直线x对称且在区间(，)内单调递增，所以2k(kZ)，2m2，22m(mZ)，因此k0，k2m，k2m，从而02m，02m，即0m，所以m0，k0，故选A.10(2019广元市高三第二次高考适应性统考)函数f(x)sin2x(cos2xsin2x)的图象为C，给出如下四个结论：f(x)的最小正周期为；对任意的xR，都有ff0；f(x)在上是增函数；由y
19、2sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.其中所有正确结论的编号是()A BC D答案C解析f(x)sin2x(cos2xsin2x)sin2xcos2x2sin，f(x)的最小正周期为，故正确；f2sin2sin00，即函数的图象关于点对称，即对任意的xR，都有ff0成立，故正确；若x，则2x，2x，此时函数f(x)为增函数，即f(x)在上是增函数，故正确；由y2sin2x的图象向右平移个单位长度得到y2sin2sin，故错误，故正确的是，故选C.11将函数f(x)2sin的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到g(x)的图象，若g(x1)g(x2)9，且x1，x22
20、，2，则2x1x2的最大值为()A. B. C. D.答案B解析由题意可得，g(x)2sin1，所以g(x)max3，又g(x1)g(x2)9，所以g(x1)g(x2)3，由g(x)2sin13，得2x2k(kZ)，即xk(kZ)，因为x1，x22，2，所以(2x1x2)max2，故选B.二、填空题12(2019南宁市高三模拟)已知5，则sin2sincos_.答案解析由已知可得sin3cos5(3cossin)，即sin2cos，所以tan2，从而sin2sincos.13(2019云南省高中毕业生统一检测)已知函数f(x)sinxcosx在m，m上是单调递增函数，则f(2m)的取值范围为_
21、答案1,2解析函数f(x)sinxcosx2sin，由2kx2k，kZ2kx2k，kZ，故f(x)在区间(kZ)上单调递增，当k0，f(x)在区间上是单调递增函数，则m，m，f(2m)2sin，而2m，所以sin1，所以f(2m)1,214若函数f(x)sin(x)在区间上是单调递减函数，且函数值从1减小到1，则f_.答案解析由题意可得，函数的周期为2，即，2，f(x)sin(2x)由sin1，|可得，f(x)sin，fsincos.15已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，将函数yf(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数yg(x)的图象，则g()_，函数yg(x)在区间上的最大值为_答案0解析由题图可知函数yf(x)的周期为4，.又点，在函数yf(x)的图象上，且|，A3，则f(x)3sin.g(x)3sin3cos，g()0.由x，可得，则3cos，即g(x)的最大值为.