1、第一部分专题四第2课时(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)1在二面角l中，平面的法向量为n，平面的法向量为m，若n，m130，则二面角l的大小为()A50B130C50或130D可能与130毫无关系解析：因为二面角的范围是0，180，由法向量的夹角与二面角的大小相等或互补，可知二面角的大小可能是130也可能是50.答案：C2菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB2，BCD60，现将其沿对角线BD折成直二面角ABDC(如图)，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()ABCD解析：()()00011，而|2，cos，故异面直线AB与CD所成角的余弦值为.故选C.答案：C3在空间
2、直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，1,6)，C(x,4,3)为顶点的ABC是以BC为斜边的直角三角形，则实数x的值为_解析：由题意得(6，2，3)，(x4,3，6)，(6，2，3)(x4,3，6)6(x4)6180，解之得x2.答案：24在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_解析：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C (a,0,0)，P.则(2a,0,0)， ，(a，a,0)设平面PAC的一个法向量为n，可求得n(0,1,1)，则
3、cos，n，n60.直线BC与平面PAC所成的角为906030.答案：305(2013江苏卷)如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值解析：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0，2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4)因为cos，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)，因
4、为(1,1,0)，(0,2,4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以n1(2，2,1)是平面ADC1的一个法向量取平面AA1B的一个法向量为n2(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为.由|cos |，得sin .因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.6如图，在四棱锥SABCD中，ABAD，ABCD，CD3AB3，平面SAD平面ABCD，E是线段AD上一点，AEED，SEAD.(1)证明：平面SBE平面SEC；(2)若SE1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值解析：(1)证明：平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCD
5、AD，SE平面SAD，SEAD，SE平面ABCD.BE平面ABCD，SEBE.ABAD，ABCD，CD3AB3，AEED，AEB30，CED60.BEC90，即BECE.又SECEE，BE平面SEC.BE平面SBE，平面SBE平面SEC.(2)由(1)知，直线ES，EB，EC两两垂直如图，以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，ES为z轴，建立空间直角坐标系Exyz.则E(0,0,0)，C(0，2，0)，S(0,0,1)，B(2,0,0)，所以(0，2，0)，(2，2，0)，(0，2，1)设平面SBC的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，得x，z2，则平面SBC的一个法向量为n(，1,2)设直线
6、CE与平面SBC所成角的大小为，则sin ，故直线CE与平面SBC所成角的正弦值为.7一个四棱锥PABCD的正(主)视图是边长为2的正方形及其一条对角线，左视图和俯视图是全等的等腰直角三角形，直角边长为2，其三视图和直观图如图(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)求二面角CPBA大小；(3)M为棱PB上的点，当PM长为何值时，CMPA?解析：(1)由三视图可知，PD平面ABCD，四棱锥PABCD的体积VSABCDPD.(2)如图，以D为坐标原点O，分别以DP，DC，DA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，设CP中点为E，则OEPC，OEBC，所以是平面PBC的法向量，设AP中
7、点为F，同理可知是平面PAB的法向量(1,1,0)，(1,0,1)设二面角CPBA的平面角为，则|cos |，显然.所以二面角有CPBA的大小为.(3)由(2)知，P(2,0,0)，B(0,2,2)，C(0,2,0)，A(0,0,2)P，M，B三点共线可设k(2k,2k,2k)，kR.(22k，22k,2k).(2,0,2)CMPA.所以8k40，k.(1,1,1)|，PM的长为时，.即CMPA.8如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，ABEF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直已知AB2，EF1. (1)求证：平面DAF平面CBF；(2)求直线AB与平面CBF所成角的大小；(
8、3)当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60？解析：(1)证明：平面ABCD平面ABEF，CBAB，平面ABCD平面ABEFAB，CB平面ABEF.AF平面ABEF，AFCB，又AB为圆O的直径，AFBF，AF平面CBF.AF平面ADF，平面DAF平面CBF.(2)由(1)知AF平面CBF，FB为AB在平面CBF内的射影因此，ABF为直线AB与平面CBF所成的角ABEF，四边形ABEF为等腰梯形，过点F作FHAB，交AB于H.已知AB2，EF1，则AH.在RtAFB中，根据射影定理得AF2AHAB，AF1，sinABF，ABF30.直线AB与平面CBF所成角的大小为30.(3)设EF中点为G，以O为坐标原点，、方向分别为x轴、y轴、z轴方向建立空间直角坐标系Oxyz(如图)设ADt(t0)，则点D的坐标为(1,0，t)，C(1,0，t)，又A(1,0,0)，B(1，0,0)，F，(2,0,0)，设平面DCF的法向量为n1(x，y，z)，则n10，n10.即，令z，解得x0，y2t，n1(0,2t，)由(1)可知AF平面CFB，取平面CBF的一个法向量为n2，依题意，n1与n2的夹角为60.cos 60，即，解得t.因此，当AD的长为时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60.