1、江苏省苏州市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1. 下列不等式中成立的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】试题分析：A中当时不成立；B中若不成立；C中不成立，所以D正确考点：不等式性质2.不等式的解集为（ ）A. 或B. 或C. D. 【答案】A【解析】【分析】化成即可求解.【详解】由题：等式化简为：解得：或.故选：A【点睛】此题考查解一元二次不等式，关键在于准确求出二次函数的零点.3.双曲线离心
2、率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题：，即可求得离心率.【详解】在双曲线中，所以离心率.故选：A【点睛】此题考查根据双曲线方程求离心率，关键在于准确辨析基本量的取值.4.椭圆的两个焦点分别为、，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的方程为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由焦点坐标，可知椭圆的焦点在x轴上，且c=8，再根据椭圆的定义得到a=10，进而求得b，即可得椭圆的方程.【详解】已知两个焦点的坐标分别是F1（-8，0），F2（8，0），可知椭圆的焦点在x轴上，且c=8，由椭圆的定义可得：2a=20，即a=10，由a，b，c的关系解得b=
3、6椭圆方程是,故选B【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的定义和性质，涉及到两焦点的距离问题时，常采用定义法求椭圆的标准方程.5.等比数列的前项和为，且， ， 成等差数列，若，则（ ）A. 7B. 8C. 15D. 16【答案】C【解析】试题分析：由数列为等比数列，且成等差数列，所以，即，因为，所以，解得：，根据等比数列前n项和公式考点：1等比数列通项公式及前n项和公式；2等差中项6.已知正方体中，是的中点，直线与平面所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直线与平面所成角即直线与平面所成角，根据定义找出线面角即可.【详解】在正方体中，平面平面，所以直线
4、与平面所成角即直线与平面所成角，连接，与平面，所以就是直线与平面所成角，在中，所以.故选：B【点睛】此题考查求直线与平面所成角的大小，根据定义找出线面角即可.7.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ）A. 174斤B. 184斤C. 191斤D. 201斤【答案】B【解析】用表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，解得选B8.关于的不等式
5、恰有2个整数解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】二次不等式作差，利用平方差公式因式分解，分析解集的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一个端点的范围.【详解】由题：恰有2个整数解，所以，即或，当时，不等式解为，因为，恰有两个整数解即：，所以，解得：；当时，不等式解为，因为，恰有两个整数解即：，所以，解得：，综上所述：或.故选：B【点睛】此题考查含参数的二次不等式，根据不等式的解集特征求参数范围，关键在于准确进行分类讨论.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应
6、位置上）9.下列判断中正确的是（ ）A. 在中，“”的充要条件是“，成等差数列”B. “”是“”的充分不必要条件C. 命题：“，使得”，则的否定：“，都有”D. 若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该动点的轨迹是一条抛物线【答案】AB【解析】【分析】在中，成等差数列，即，所以A选项正确；的解为或，所以B选项正确；C选项中的否定应该是：“，都有”，所以该选项错误；D选项中，若这个定点在这条定直线上，则动点的轨迹是一条直线，所以该选项错误.【详解】A选项：在中， “，成等差数列”即，等价于“”，所以它们互为充要条件，该选项正确；B选项：“”即“或”，所以“”是“”的充分不必要条件，该
7、选项正确；C选项： 命题：“，使得”，则的否定是：“，都有”，所以该选项说法错误；D选项：若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，当这个定点在定直线上时，该动点的轨迹是一条直线，所以该选项说法错误.故选：AB【点睛】此题考查命题真假性的判断，涉及充分条件与必要条件和含有一个量词的命题的否定，关键在于准确判断其说法的正误.10.已知向量，下列等式中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】根据坐标求出，根据向量的运算法则即可判定.【详解】由题，所以不相等，所以A选项错误；，所以，所以B选项正确；，所以C选项正确；，即，所以D选项正确.故选：BCD【点睛】此题考查
8、空间向量的运算，根据运算法则进行运算化简即可.11.已知数列的前项和为，且（其中为常数），则下列说法正确的是（ ）A. 数列一定等比数列B. 数列可能是等差数列C. 数列可能是等比数列D. 数列可能是等差数列【答案】BD【解析】【分析】根据，分析出，对常数分类讨论进行辨析.【详解】，两式相减：，若，令，则，此时是等差数列，不是等比数列，若，令，则，此时不是等差数列，所以数列不一定是等比数列，可能是等差数列，所以A错B正确；又，得，要使为等比数列，必有若，已求得此时令，则，此时是一个所有项为0的常数列，所以不可能为等比数列，所以C错误D正确.故选：BD【点睛】此题考查根据数列的前项和和通项的关系
9、辨析数列特点，采用通式通法，对参数进行分类讨论.12.已知方程和（其中且，），它们所表示的曲线在同一坐标系中可能出现的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】将直线和曲线方程化简成，结合每个选项依次对参数的正负分析.【详解】由题：且，方程即，即，斜率，轴截距，A选项根据椭圆，直线斜率，轴截距，可能；B选项根据椭圆，直线斜率，但是轴截距不可能，所以B选项不可能；C选项根据双曲线，直线斜率， 轴截距，可能；D选项根据双曲线，直线斜率应该，与图中不一致，所以该选项不可能.故选：AC【点睛】此题考查直线与曲线方程以及图象关系的辨析，根据图象逐一分析.三、填空题（本大题共4小题，每小
10、题5分，共计20分其中第15题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分请把答案填写在答题卡相应位置上）13.已知向量，若，则实数的值为_【答案】-8【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示即可求出参数的值.【详解】向量， ，所以存在使，即，解得：.故答案为：【点睛】此题考查根据向量平行的坐标表示求参数的值，属于简单题目.14.已知正实数，满足，则的最小值为_【答案】9【解析】【分析】对乘以，利用基本不等式求解.【详解】由题：，则当且仅当时，取得等号，即时，取得等号，此时，即时，取得最小值9.故答案为：9【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，注意利用基本不等式解题口诀“一正二
11、定三取等”，求得最值要考虑能否取等号.15.早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同根据图上尺寸，在平面直角坐标系中，桥拱所在抛物线的方程为_，溢流孔与桥拱交点的坐标为_【答案】 (1). （或） (2). 【解析】分析】设桥拱所在抛物线的方程，经过即可求解；根据四个溢流孔轮廓线相同，从右往左设第一个抛物线，第二个抛物线，根据曲线过点，先求抛物线方程，再求点的坐标.【详解】设桥拱所抛物线方程，由图，曲线经过，代入方程，解得：，所以桥拱所在抛物线方程；四个溢流孔
12、轮廓线相同，所以从右往左看，设第一个抛物线，第二个抛物线，由图抛物线经过点，则，解得，所以，点即桥拱所在抛物线与的交点坐标，设由，解得：，所以点.故答案为：（或）；【点睛】此题考查根据实际意义求抛物线方程和交点坐标，关键在于合理建立模型正确求解.16.已知一族双曲线：（，且），设直线与在第一象限内的交点为，由向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，记的面积为，则_.【答案】【解析】【分析】设出的坐标，依次表示出的长度，求出的面积，即可求解.【详解】由题：双曲线渐近线方程为，即，两条渐近线互相垂直，设是双曲线上的点，则到两条渐近线的距离分别为：，所以的面积为，即所以故答案为：【点睛】此题考查根据双曲线
13、上点的坐标关系表示三角形面积，结合数列裂项相消求和，综合性比较强.四、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解下列不等式：（1）；（2）【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）因式分解成，即可求出解集；（2）不等式变形，整理得，等价于解.【详解】解：（1）由，可知，解得，所以不等式的解集为.（2）由可知，整理得，即，不等式等价于，解得或，所以不等式的解集为或.【点睛】此题考查解二次不等式，关键在于进行因式分解，分式不等式一定转化为与之同解的整式不等式.18.已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列（1）求数列的通项公式
14、；（2）设是首项为，公比为的等比数列，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）由，成等比数列求出等差数列的两个基本量及公差从而得数列的通项公式；（2）数列是一个等差数列与一个等比较数列之积，用错位相减法求其和解题时注意不要混淆公式试题解析：（1）依题得解得，即 （2）两式相减得： 考点：1.等差数列的通项公式；2.等比数列的通项公式；3.数列的前项和公式；4.错位相消法19.如图1，一个铝合金窗是由一个框架和部分外推窗框组成，其中框架设计如图2，其结构为上、下两栏，下栏为两个完全相同的矩形，四周框架和中间隔栏的材料为铝合金，宽均为，上栏和下栏的框内矩形高度（不含铝合
15、金部分）比为，此铝合金窗占用的墙面面积为，设该铝合金窗的宽和高分别，铝合金的透光部分的面积为（外推窗框遮挡光线部分忽略不计）（1）试用，表示；（2）若要使最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？【答案】（1） （2）宽为，高为【解析】【分析】（1）根据题意设上栏框内高度为，下栏框内高度为，则，即可表示出透光面积；（2）根据基本不等式，等号成立的时刻即为所求.【详解】解：（1）铝合金窗的宽和高分别为，由已知，设上栏框内高度为，下栏框内高度为，则，所以透光部分的面积；（2）因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，此时，代入式得，从而，即当，时，取得最大值.答：铝合金窗的宽度为，高为时，可使透光部分的面积
16、最大.【点睛】此题考查函数模型的建立，根据函数关系利用基本不等式或勾型函数单调性求解最值.20.已知抛物线，过点作斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，（1）求的取值范围；（2）若为直角三角形，且，求的值【答案】（1）或 （2）【解析】【分析】（1）设直线的方程，联立直线和抛物线的方程得，解即可；（2）结合韦达定理，计算的坐标表示即可.【详解】解：（1）由题意，设直线方程为，联立方程组，消去得，要使直线与抛物线交于不同的两点，则，即，解得或，综上，的取值范围为或.（2）设，由（1）可知，是的两个根，则，法一：因为为直角三角形，且，所以，即，因为，所以有，解得或，当时，直线过原点，不能够构成三角形
17、，所以.法二：因为为直角三角形，且，所以，即，因为，所以，因为，所以，即，解得，此时满足（1）中的取值范围，所以.【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，根据位置关系求解参数的范围，根据其中的几何关系结合韦达定理求解参数.21.如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，是线段的中点（1）求证：平面；（2）若，求二面角的大小；（3）若线段上总存在一点，使得，求的最大值【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）设，连结，通过证明为平行四边形得，或者建立空间直角坐标系，利用向量证明平行；（2）建立空间直角坐标系，利用向量方法分别求出两个半平面的法向量的夹角即可得到二面角的大小；
18、（3）根据向量的坐标表示，得恒有解即可求出的范围.【详解】解：（1）法一：设，连结，因为矩形中是线段的中点，是线段的中点，所以，所以为平行四边形，故，又平面，平面，所以平面；法二：由题意，正方形和矩形所在的平面互相垂直，因为平面平面，所以平面，以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，因为，是线段的中点，则，从而，设平面的法向量为，则由，可知，不妨令，则，从而平面的一个法向量为，计算可知，又平面，所以，从而平面.（2）若，则，平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则由，可知，不妨令，则，从而平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，因为为锐角，所以，所以二面角的大小为.（3）因为点在线段上
19、，而，设，其中，则，从而点坐标为，于是，而，则由可知，即，所以，解得，故的最大值为.【点睛】此题考查立体几何中的证明和计算问题，利用空间向量解决二面角的大小和探索性的问题，解体更加简便.22.如图，已知椭圆，左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，为椭圆上在第一象限内一点（1）若求椭圆的离心率；求直线的斜率（2）若，成等差数列，且，求直线的斜率的取值范围【答案】（1） ； ；（2）.【解析】【分析】（1）根据得，即，可得离心率；设的直线方程，由，得即可求得斜率；（2）根据得离心率的范围，根据，成等差数列，计算化简得，平方处理成关于离心率的函数关系，利用函数单调性求范围.【详解】解：（1）因为，所以，所以，即，所以.设的直线方程为，因为，所以，所以，则，因为在第一象限，所以，所以，因，所以，所以.（2）设，则，因为在第一象限，所以，所以，因，成等差数列，所以，所以，所以，所以，所以，所以，又由已知，所以，因为，所以，因为，令，所以，因为，所以，所以，所以，因为为椭圆上在第一象限内一点，所以，所以.【点睛】此题考查根据椭圆基本量的关系求离心率和直线斜率，根据直线与椭圆形成三角形面积关系，求解斜率范围，涉及函数与方程思想，转化与化归思想.
