1、微专题37与三次函数零点有关的取值范围问题1.函数f(x)1x零点的个数是_2已知函数f(x)x33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的值为_3已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则实数a的取值范围是_4若函数f(x)x32ax23x在(1，1)内有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是_5已知函数f(x)x4x3x2(aR，a0)有且仅有3个极值点，则实数a的取值范围是_6若函数f(x)x3(a1)x2x(a0)在0，2上有两个零点，则实数a的取值范围是_7设函数f(x)x3x26xa.(1)对于任意实数x，f(x)m恒成立，求实数m的最大值；(2)
2、若方程f(x)0有且仅有一个实根，求实数a的取值范围8已知函数f(x)ax3|xa|，aR.(1)若函数g(x)x4，试讨论方程f(x)g(x)的实数解的个数；(2)当a0时，若对于任意的x1a，a2，都存在x2a2，)，使得f(x1)f(x2)1 024，求满足条件的正整数a的取值集合微专题371答案：1.解析：f(x)0恒成立，函数f(x)单调递增，零点个数是1.2答案：2.解析：函数f(x)x33xc在(，1)和(1，)上递增，(1，1)上递减，由题意f(1)f(1)0，即(2c)(2c)0，解得c2.3答案：(，2)解析：当a0时，不合题意；当a0时，令f(x)3ax26x0，得x0或
3、x，当a0时，由图象及f(0)1知函数f(x)有负数零点，舍去；当a0时，由图象及f(0)1，只需满足f0，即a310，解得a2.综上：a2.4答案：.解析：f(x)2x24ax3，根据题意f(1)f(1)0，解得a或a.5答案：(，2)(2，)解析：可转化为f(x)x3ax2x有三个不同的零点，从而x2ax10有两个不等的非零实根，故a240，a(，2)(2，)6答案：.解析：f(x)a(x1)，当1，即0a1时，f(0)0，f(1)(a1)0，x(，1)1f(x)00f(x)增极大值减极小值增()当2a1，即0a时，2，f(2)(2a1)0，因为f(x)在区间0，1上为增函数，在1，2上为
4、减函数，f(x)在区间0，1和(1，2上各有一个零点，即在0，2上有两个零点；()当2a1，即a1时，12，f0，f(2)(2a1)0，x1，2，f(x)0.f(x)在0，1)上为增函数，f(x)在区间(0，1)有一个零点，即在0，2上有一个零点，不满足题设；当a1时，f(x)(x1)2，f(x)在(，)上是增函数，f(x)在0，2上不可能有两个零点；当1，即a1时，f(0)0，f(1)(a1)0，f0，f(2)(2a1)0，x1(1，)f(x)00f(x)增极大值减极小值增x0，1，f(x)0，f(x)在1，2上为增函数，f(x)在区间(1，2有一个零点，即在0，2上有一个零点，不满足题设综
5、上，a的取值范围是.7答案：(1)；(2)(，2)(，)解析：(1)f(x)3x29x63(x1)(x2)，xR，f(x)m即3x29x6m0恒成立，8112(6m)0，得m，即m的最大值为.(2)当x1或x2时，f(x)0，f(x)在(，1)和(2，)上递增；当1x2时，f(x)0，f(x)在(1，2)上递减；当x1时，f(x)取极大值f(1)a，当x2时，f(x)取极小值f(2)2a，故当f(1)0或f(2)0时，方程f(x)0仅有一个实根，解得a2或a.(或由f(1)f(2)0，亦可解得a2或a)8答案：(1)当a1时，有两个解；当1a1时，有三个解；当a1时，有两个解；(2)1解析：(
6、1)f(x)g(x)即为ax3|xa|x4，x4ax3|xa|，x3(xa)|xa|，即xa或或当a1时，方程f(x)g(x)有两个不同的解a，1；当1a1时，方程f(x)g(x)有三个不同的解a，1，1；当a1时，方程f(x)g(x)有两个不同的解a，1.(2)当a0时，x(a，)时，f(x)ax3xa，f(x)3ax210，函数f(x)在(a，)上是增函数，且f(x)f(a)a40，当xa，a2时，f(x)f(a)，f(a2)，当xa2，)时，f(x)f(a2)，)对任意的x1a，a2，都存在x2a2，)，使得f(x1)f(x2)1 024，f(a2)，)，f(a2)，f(a2)21 024，即f(a2)32，也即a(a2)3232，a0，显然a1满足，而a2时，均不满足满足条件的正整数a的取值的集合为1