1、微专题35运用数形结合思想探究函数零点问题运用数形结合思想探究函数零点问题历来是高考的热点与难点，解决此类问题的难点是函数形式的有效选择本专题主要研究运用数形结合思想探究函数零点问题，并在解决问题的过程中感悟数学思想方法的灵活运用.例题：已知f(x)若函数g(x)|f(x)|3xn有三个零点，求实数n的取值范围变式1已知函数f(x)其中m0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_变式2已知函数f(x)(a0，且a1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|2x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是_串讲1(2018苏州三模)如果函数yf(x)在其定义域内
2、总存在三个不同实数x1，x2，x3，满足|xi2|f(xi)1(i1，2，3)，则称函数f(x)具有性质.已知函数f(x)aex具有性质，则实数a的取值范围为_串讲2已知直线ykx1与曲线f(x)恰好有四个不同的交点，则实数k的取值范围为_(2018镇江期末)已知k为常数，函数f(x)，若关于x的方程f(x)kx2有且只有四个不同的解，则实数k的取值集合为_(2018镇江期末)已知b0，且b1，函数f(x)exbx，其中e为自然对数的底数；(1)如果函数f(x)为偶函数，求实数b的值，并求此时函数的最小值；(2)对满足b0，且b1的任意实数b，证明函数yf(x)的图象经过唯一定点；(3)如果关
3、于x的方程f(x)2有且只有一个解，求实数b的取值范围答案：(1)b，f(x)的最小值为2；(2)(0，2)；(3)b1或b.解析：(1)由f(1)f(1)得eb，解得be(舍去)，或b，1分经检验f(x)ex为偶函数，所以b.2分因为f(x)ex2，当且仅当x0时取等号，3分所以f(x)的最小值为2.4分(2)假设yf(x)过定点(x0，y0)，则y0ex0bx0对任意满足b0，且b1恒成立.5分令b2得y1ex02x0；令b3得y0ex03x0，6分所以2x03x0，即1，解得唯一解x00，所以y02，7分经检验当x0时，f(0)2，所以函数yf(x)的图象经过唯一定点(0，2).8分(3
4、)令g(x)f(x)2exbx2为R上的连续函数，且g(0)0，则方程g(x)0存在一个解.9分()当b0时，g(x)为增函数，此时g(x)0只有一解.10分()当0b1时，令g(x)exbxlnbex0，解得x0log(lnb).11分因为ex0，01，lnb0，令h(x)1lnb，h(x)为单调增函数，所以当x(，xe)时，h(x)0，所以g(x)0，g(x)为单调减函数；当x(x0，)时，h(x)0，所以g(x)0，g(x)为单调增函数，所以g(x)极小g(x0)因为g(x)定义域为R，所以g(x)ming(x0).13分若x00，g(x)在(，x0)上为单调减函数，g(x0)g(0)0
5、，而g(ln2)2bln22bln20，所以当x(x0，ln2)时，g(x)至少存在另外一个零点，矛盾.14分若x00，g(x)在(x0，)上为单调增函数，g(x0)g(0)0，而g(logb2)elogb222elogb20，所以g(x)在(logb2，x0)上存在另外一个解，矛盾当x0log(lnb)0，则lnb1，解得b，此时方程为g(x)ex20，由(1)得，只有唯一解x00，满足条件综上所述，当b1或b时，方程f(x)2有且只有一个解.16分微专题35例题答案：(，6).解析：令g(x)0，即|f(x)|3xn，设函数y|f(x)|，y3xn，分别作出两个函数的图象，问题转化为所作的
6、两个函数有三个不同的交点，求n的取值范围问题当x0时，直线y3xn过原点，即n0时，两曲线恰有三个交点，当直线y3xn(n0)与y4xx2相切时，两条曲线有2个交点，即方程x2xn0的判别式14n0，即n，所以当n0时，g(x)0有三个零点当x0时，直线y3xn(n0)与y相切时，两曲线有2个交点，当直线y3xn与y相交时，两曲线有3个交点，即方程3x2nx30的判别式n2360，解得n6，当n6时，g(x)0有三个零点综上所述，当n(，6)时，g(x)0有三个零点变式联想变式1答案：(3，)解析：如图，当xm时，f(x)|x|；当xm时，f(x)x22mx4m，在(m，)为增函数，若存在实数
7、b，使方程f(x)b有三个不同的根，则m22mm4m|m|.m0，m23m0，解得m3.变式2答案：.解析：由yloga(x1)1在0，)上递减，得0a1.又由f(x)在R上单调递减，则解得a.如图所示，在同一坐标系中作出函数y|f(x)|和y2x的图象由图象可知，在0，)上，|f(x)|2x有且仅有一个解故在(，0)上，|f(x)|2x同样有且仅有一个解当3a2，即a时，由x2(4a3)x3a2x(其中x0)，得x2(4a2)x3a20(其中x0)，则(4a2)24(3a2)0，解得a或a1(舍去)；当13a2，即a时，由图象可知，符合条件综上所述，a.串讲激活串讲1答案：.解析：由题意|x
8、2|f(x)1有三个根，即a|x2|有三个根；设f(x)a|x2|，g(x)，由图象可知a0不合题意，即有a0；设yk(x2)与函数g(x)图象切于点(x0，y0)，则kex0，y0k(x02)ex0ex0(x02)，解得x01，k；因此，当x2时，f(x)a(x2)的斜率a，即a.综上可知，实数a的取值范围是.串讲2答案：.解析：从函数结构上看f(x)，f(x)是定义域上的偶函数，因此只要讨论x0时的情形当0x1时，f(x)2x；当x1时，f(x).作出函数f(x)的图象(如图所示)当k0时，直线与曲线恰有四个不同的交点；当k0时，直线ykx1与y(x1)相切时恰有四个不同交点，即kx1有且仅有一解，所以二次方程kx2x20的判别式18k0，故k；当k0时，同理求得k.综上所述，满足条件的实数k的取值集合为.新题在线答案：(e，1)解析：作出函数f(x)和函数ykx2的图象(图略)，过点A(0，2)分别作曲线C1：ylnx(x1)，C2：ylnx(0x1)，C3：y(1x0)的切线，对应的斜率分别为，1，e，由图象可知：当函数f(x)和函数ykx2的图象有4个不同的公共点时，对应的k的取值范围为k或ek1，所以当f(x)kx2有4个不同的解时，对应的k的取值范围为(e，1)
