1、第六节数列的综合问题在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.知识梳理一、等差、等比数列的一些重要结论1等差数列an中，若mnpq，则amanapaq.2等比数列an中，若mnpq，则amanapaq.3等差数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm，S2mSm，S3mS2m，S4m S3m，仍为等差数列4等比数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm，S2mSm，S3mS2m，S4m S3m，仍为等比数列(m为偶数且公比为1的情况除外)5两个等差数列an与bn的和、差构成的数列anbn，anbn仍为等差数列6两个等比数列an与bn的积、商、倒数构成的数列an
2、bn，仍为等比数列7等差数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列8等比数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列9若an为等差数列，则(c0)是等比数列10若bn(bn0)是等比数列，则logcbn(c0且c1)是等差数列二、几个数成等差、等比数列的设法三个数成等差的设法：ad，a，ad；四个数成等差的设法：a3d，ad，ad，a3d.三个数成等比的设法：，a，aq；四个数成等比的设法：，aq，aq3(因为其公比为q20，对于公比为负的情况不能包括)三、用函数的观点理解等差数列、等比数列1对于等差数列ana1(n1)ddn(a1d)，当d0时，an是关于n的一次函数，对应的点(n，a
3、n)是位于直线上的若干个离散的点；当d0时，函数是单调增函数，对应的数列是单调递增数列；当d0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；当d0时，函数是减函数，对应的数列是单调递减数列若等差数列的前n项和为Sn，则Snpn2qn(p，qR)当p0时，an为常数列；当p0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题2对于等比数列ana1qn1，可用指数函数的性质来理解当a10，q1或a10,0q1时，等比数列an是单调递增数列；当a10,0q1或a10，q1时，等比数列an是单调递减数列；当q1时，是一个常数列；当q0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列四、数列应用的常见模型1等差模型：如果增加(
4、或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差2等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比3递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an1的递推关系，或前n项和Sn与Sn1之间的递推关系基础自测1设an，bn分别为等差数列与等比数列，a1b14，a4b41，则下列结论正确的是()Aa2b2Ba3b3 Ca5b5 Da6b6解析：设an的公差为d，bn的公比为q，由题可得d1，q，于是a23b22.故选A.答案：A2在等差数列an中，已知前三项和为15，最后三项和
5、为78，所有项和为155，则项数n()A8 B10C12 D15解析：由已知，a1a2a315，anan1an278，两式相加，得(a1an)(a2an1)(a3an2)93，即a1an31.由Sn155，得n10.答案：B3(2012湖南师大附中测试)在数列和中，bn是an与an1的等差中项，a12且对任意nN*都有3an1an0，则数列的通项公式为_答案：bn43n.4. 一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过_分钟，该病毒占据64MB内存(1MB210KB)解析：依题意可知：a02，a122，a223，an
6、2n1，64MB64210216KB，令2n1216，得n15.开机后45分钟该病毒占据64MB内存答案：45 1(2013辽宁卷)已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和若a1，a3是方程x25x40的两个根，则S6_.解析：因为a1，a3是方程x25x40的两根，且q1，所以a11，a34，则公比q2，因此S663.答案：632已知数列an的前n项和Snn2kn(其中kN*)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)求数列的前n项和Tn.解析：(1)当nkN*时，Snn2kn取最大值，即8k2k2k2，故k4，从而anSnSn1n(n2)又a1S1，ann.(2)设b
7、n，Tnb1b2bn1，Tn2TnTn2144.1(2013东北三校第二次联考文改编)已知数列an满足a1，an1，nN*，则|a1|a2|a100|_.解析：依题意a22，a31，a4，a52，所以数列an是周期为3的周期数列，因为|a1|a2|a3|，所以|a1|a2|a100|33|a100|a1|116.答案：1162已知数列an，bn中，对任何正整数n都有a1b1a2b2a3b3an1bn1anbn(n1)2n1.(1)若数列bn是首项为1和公比为2的等比数列，求数列an的通项公式(2)若数列an是等差数列，数列bn是否是等比数列？若是，请求出通项公式；若不是，请说明理由(3)求证：
8、.(1)解析：依题意，数列bn的通项公式为bn2n1(nN*)，由a1b1a2b2a3b3an1bn1anbn(n1)2n1，可得a1b1a2b2a3b3an1bn1(n2)2n11(n2)，两式相减，可得anbnn2n1，即ann.当n1时，a11，从而对一切nN*，都有ann.所以数列an的通项公式是ann.(2)解析：(法一)设等差数列an的首项为a1，公差为d，则ana1(n1)d.由(1)得anbnn2n1，即bn(n2)bn.要使是一个与n无关的常数，当且仅当a1d0，即当等差数列an满足a1d0时，数列bn是等比数列，其通项公式是bn.当等差数列an满足a1d时，数列bn不是等比数列(法二)设等差数列an的首项为a1，公差为d，则ana1(n1)d.由(1)得anbnn2n1，即bn(n2)若数列bn是等比数列，则，要使上述比值是一个与n无关的常数，需且只需a1d0，即当等差数列an满足a1d0时，数列bn是等比数列，其通项公式是bn；当等差数列an满足a1d时，数列bn不是等比数列(3)证明：由(1)知anbnn2n1， (n3)，当n1时，1；当n2时，1，故.