1、第二章DIERZHANG圆锥曲线与方程1椭圆1.2椭圆的简单性质课后篇巩固提升A组1.下面是关于曲线4x2=12-3y2对称性的一些叙述:关于x轴对称;关于y轴对称;关于原点对称;关于直线y=x对称.其中正确叙述的个数为()A.1B.2C.3D.4答案C解析曲线方程4x2=12-3y2可化为=1,故该曲线为焦点在y轴上的椭圆,由椭圆的性质,知该曲线关于x轴、y轴、原点对称,将曲线方程中的x换成y,y换成x,得=1,与原曲线方程不同,故该曲线不关于直线y=x对称.2.若点A(1,m)在椭圆C:=1的内部,则实数m的取值范围是()A.(-)B.-C.-,-,+D.-答案B解析由题意知,b0),则c
2、=1,e=,所以a=2,b=,所以椭圆C的方程是=1.4.设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为()A.B.C.2-D.-1答案D解析由已知|PF2|=2c,|PF1|=2c.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a,即2c+2c=2a,e=-1.5.17世纪法国数学家费马在平面与立体轨迹引论中证明方程a2-x2=ky2(k0,k1,a0)表示椭圆,费马所依据的是椭圆的重要性质:若从椭圆上任意一点P向长轴AB(异于A,B两点)引垂线,垂足为Q,则为常数.据此推断,此常数的值为()A.椭圆的离心率B.椭圆离心率的平方
3、C.短轴长与长轴长的比D.短轴长与长轴长比的平方答案D解析设椭圆方程为=1(ab0),取P为椭圆的上顶点,则Q为原点.PQ=b,AQ=BQ=a,则.故选D.6.设椭圆C:=1(ab0)的左、右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C交于A,B两点,F1B与y轴交于点D,若ADF1B,则椭圆C的离心率等于.答案解析因为ABx轴,所以点D为F1B的中点,且|AF2|=.又ADF1B,所以|AF1|=|AB|,所以2a-,所以,e2=1-,所以e=.7.已知椭圆的短半轴长为1,离心率0e,则长轴长的取值范围为.答案(2,4解析因为0e,所以0e2.又因为e2=1-,b=1,所以01-,所以-10,所
4、以1,所以1a24,所以1b0)的离心率是,点P(0,1)在短轴CD上,且=-1,则椭圆E的方程为.答案=1解析由已知,点C,D的坐标分别为(0,-b),(0,b).又P点的坐标为(0,1),且=-1,于是解得a=2,b=,所以椭圆E方程为=1.9.如图所示,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,M为椭圆上一点,且MF2F1F2,MF1F2=30.试求椭圆的离心率.解设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a,b,c,因为MF2F1F2,所以MF1F2为直角三角形.又MF1F2=30,所以|MF1|=2|MF2|,|F1F2|=|MF1|.而由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a,因此|MF1|=,
5、|MF2|=,所以2c=,即,即椭圆的离心率是.B组1.椭圆的焦点在x轴上,长、短半轴之和为10,焦距为4,则椭圆的标准方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1答案A解析由题意得c=2,a+b=10,b2=(10-a)2=a2-c2=a2-20,解得a2=36,b2=16,故椭圆方程为=1.2.过椭圆=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为()A.8,6B.4,3C.2,D.4,2答案B解析椭圆过焦点的弦中最长的是长轴,最短的为垂直于长轴的弦(通径)是,最长的弦为2a=4,最短的弦为=3,故选B.3.椭圆的离心率为,F为椭圆的一个焦点,若椭圆上存在一点与F关于直线y=x+4对称,则椭圆的方程为(
6、)A.=1B.=1C.=1或=1D.=1或=1答案C解析由题意知,得a2=2b2=2c2,不妨设椭圆的方程为=1(ab0),椭圆上任取一点P(x0,y0),取焦点F(-c,0),则PF中点M,根据条件可得+4,kPF=-1,联立两式解得x0=-4,y0=4-c,代入椭圆方程解得a=3,b=3,由此可得椭圆的方程为=1或=1,故选C.4.已知椭圆C:+y2=1的两焦点为F1,F2,点P(x0,y0)满足01,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.答案2,2)解析由于01,所以点P(x0,y0)在椭圆+y2=1内部,且不能与原点重合.根据椭圆的定义和几何性质知,|PF1|+|PF2|2a=2,且|
7、PF1|+|PF2|的最小值为点P落在线段F1F2上,此时|PF1|+|PF2|=2.故|PF1|+|PF2|的取值范围是2,2).5.如图所示,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵坐标等于短半轴长的,求椭圆的离心率.解设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a,b,c,则焦点为F1(-c,0),F2(c,0),M点的坐标为,则MF1F2为直角三角形.在RtMF1F2中,|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2,即4c2+b2=|MF1|2.而|MF1|+|MF2|=b=2a,整理得3c2=3a2-2ab.又因为c2=a2-b2,所以3b=2a,所以,所
8、以e2=1-,所以e=.6.在直线l:x-y+9=0上任取一点P,过点P以椭圆=1的焦点为焦点作椭圆.(1)P点在何处时,所求椭圆的长轴最短?(2)求长轴最短时的椭圆方程.解|PF1|+|PF2|=2a.要使椭圆长轴最短,就是P到F1,F2两点的距离之和最小,因而问题转化为在直线l上求一点P,使|PF1|+|PF2|为最小.(1)如图,连接PF1,PF2,F1(-3,0),F2(3,0),作点F2关于直线l:y=x+9的对称点F2,则F2(-9,12),那么F1F2与直线l的交点即为所求的点P.易知F1F2的方程为2x+y+6=0.与直线y=x+9联立,得P(-5,4).(2)由(1)知2a=6,a=3,b2=a2-c2=36,此时,椭圆的方程为=1.