1、专题 15 数列构造求解析式必刷 100 题 任务一:善良模式(基础)1-30 题 一、单选题 1数列 na中，121nnaa ，11a ，则6a （）A32 B62 C63 D64【答案】C【分析】把121nnaa 化成1121nnaa ，故可得1na 为等比数列，从而得到6a 的值.【详解】数列 na中，121nnaa ，故1121nnaa ，因为11a ，故1120a ，故10na ，所以1121nnaa ，所以1na 为等比数列，公比为2，首项为2.所以12nna 即21nna ，故663a，故选 C.2在数列 na中，11a ，且121nnaa ，则 na的通项为（）A21nna B
2、2nna C21nna D12nna【答案】A【分析】依题意可得1121nnaa ，即可得到1na 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；【详解】解：121nnaa ，1121nnaa ，由11a ，得112a ，数列1na 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，112 22nnna，即21nna 故选：A 3设数列an满足 a11，a23，且 2nan(n1)an1(n1)an1，则 a20的值是（）A4 15 B4 25 C4 35 D4 45 【答案】D【分析】首先证得nan(n1)an1为常数列，得到1(15)nnnana，进而证得数列nna是以
3、1为首项，5 为公差的等差数列，从而求出通项公式，进而求出结果.【详解】因为 2nan(n1)an1(n1)an1，所以 nan(n1)an1(n1)an1nan 故数列nan(n1)an1为常数列，且2125aa，所以1(15)nnnana，即1(15)nnnana，因此数列nna是以 1 为首项，5 为公差的等差数列，所以1 5154nnnna ，因此54nann 所以 a20 5 20424442055.故选：D 4设数列an中，a12，an12an3，则通项 an可能是（）A53n B32n11 C53n2 D52n13【答案】D【分析】用构造法求通项.【详解】设12nnaxax，则1
4、2nnaax，因为 an12an3，所以3x，所以3na 是以13a 为首项，2 为公比的等比数列，135 2nna，所以15 23nna 故选：D 5已知数列 na满足：*1121,2nnnaaanaN，则数列 na的通项公式为（）A11nan B11nan C1nnan D21nan 【答案】D【分析】对122nnnaaa 两边取倒数后，可以判断1na是首项为 1，公差为 12 的等差数列，即可求得.【详解】由数列 na满足：*1121,2nnnaaanaN，两边取倒数得：11112nnaa，即1111=2nnaa，所以数列1na是首项为 1，公差为 12 的等差数列，所以11111122
5、nnnaa，所以21nan 故选:D 6已知数列 na中，11111,1()nnanNaa，则10a（）A 17 B 18 C 19 D 110 【答案】D【分析】令1()nnbnNa，由等差数列的性质及通项可得nbn，即可得解.【详解】令1()nnbnNa，则11nnbb ，11b ，所以数列 nb是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，所以1,nnbn an，所以10110a.故选：D.7已知数列 na的前 n 项和为nS，11a ，22a，12343nnnaaan，则10S（）A10415 B11415 C1041 D1141 【答案】A【分析】由已知得出数列1nnaa 是等比数列，然后
6、可利用数列1nnaa 的奇数项仍然为等比数列，求得和10S 【详解】因为12343nnnaaan，所以1124()nnnnaaaa，又1230aa，所以1124(3)nnnnaanaa，所以1nnaa 是等比数列，公比为 4，首项为 3，则数列212nnaa 也是等比数列，公比为2416，首项为 3 所以510103(1 16)411 165S 故选：A 8已知数列 na满足：122aa，12343nnnaaan，则910aa（）A74 B84 C94 D104 【答案】C【分析】由已知关系求得数列1nnaa 是等比数列，由等比数列通项公式可得结论【详解】由题意124aa，由12343nnna
7、aan得1124()nnnnaaaa，即1124nnnnaaaa(3)n，所以数列1nnaa 是等比数列，仅比为 4，首项为 4，所以99104aa 故选：C 9已知数列 na满足递推关系，1111,2nnnnaaaaa，则2020a（）A12018 B12019 C12020 D12021 【答案】D【分析】由递推式可得数列1na为等差数列，根据等差数列的通项公式即可得结果.【详解】因为1111,2nnnnaaaaa，所以1111nnaa+-=，112a，即数列1na是以 2 为首项，1为公差的等差数列，所以2020122019 12021a，所以202012021a，故选：D.10已知数列
8、 na满足：11a ，12nnnaaa，*nN，则数列 na的通项公式为（）A112nna B121nna C21nan D112nna 【答案】B【分析】取倒数，可得11na是以2 为首项，2 为公比的等比数列，由此可得结论.【详解】12nnnaaa *nN 12121nnnnaaaa，111121nnaa ，11a 11na是以2 为首项，2 为公比的等比数列，112nna ，121nna .故选：B.11数列 na满足11221nnnnaa，且11a ，若15na，则 n 的最小值为 A3 B4 C5 D6【答案】C【分析】依题意，得11221nnnnaa ，可判断出数列2nan为公差是
9、 1 的等差数列，进一步可求得21a1=2，即其首项为 2，从而可得 an=12nn ，继而可得答案【详解】11221nnnnaa，即11221nnnnaa ，数列2nan为公差是 1 的等差数列，又 a1=1，21a1=2，即其首项为 2，2nan=2+（n1）1=n+1，an=12nn a1=1，a2=34，a3=12，a4=516 15，a5=632=316 315=15，若15na，则 n 的最小值为 5，故选 C 12已知数列 na满足150a，121nnaa ，则满足不等式10kkaa 的 k（k 为正整数）的值为（）A3 B4 C5 D6【答案】D【分析】先求得 na的通项公式，
10、然后解不等式10kkaa 求得k 的值.【详解】依题意11122nnaa，11112nnaa ，所以数列1na 是首项为50151，公比为 12 的等比数列，所以111512nna，所以115112nna，由10kkaa 得111511511022kk ，即111021511022kk ，即 111102251k，345671111111111,282162322642128，而12xy 在 R 上递减，所以由 111102251k可知6k.故选：D 13在数列 na中，12a，121nnaa ，若513na，则 n 的最小值是（）A9 B10 C11 D12【答案】C【分析】根据递推关系可得
11、数列1na 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可得121nna，即求.【详解】因为121nnaa ，所以1121nnaa ，即1121nnaa ，所以数列1na 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列.则112nna，即121nna.因为513na，所以121513n ，所以12512n，所以10n.故选：C 14已知数列 na满足112,21nnnaannaN，且112a，则1na的第 n 项为（）A 2n B 2n C31n D 12n 【答案】A【分析】在等式1121nnnaaa 两边取倒数，可推导出数列1na为等差数列，确定该数列的首项和公差，进而可求得1n
12、a.【详解】当2n 且nN，在等式1121nnnaaa 两边取倒数得11121112nnnnaaaa，1112nnaa，且112a，所以，数列1na为等差数列，且首项为2，公差为2，因此，12212nnna.故选：A.15数列 na中，若11a ，1231nnaan，则该数列的通项na （）A123n B 23n C 23n D123n 【答案】A【分析】据递推关系式可得132(3)nnaa，利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】因为1231nnaan，所以132(3)nnaa，即数列3na 是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，所以134 2nna，故114 2323nnna，故选：A
13、16已知数列 na满足11nnaa ，且11a ，23a，则数列 na前 6 项的和为（）.A115 B118 C120 D128【答案】C【分析】由题干条件求得2，得到121nnaa ，构造等比数列可得数列 na的通项公式，再结合等比数列求和公式即可求得数列 na前 6 项的和.【详解】21113aa ，则2，可得121nnaa ，可化为1121nnaa ，有12nna ，得21nna ，则数列 na前 6 项的和为62621 2222661201 2L.故选：C 第 II 卷（非选择题）二、填空题 17已知数列 na满足1132,1nnaaa ，则na _【答案】12 31n 【分析】先判
14、断出1na 是首项为 2，公比为 3 的等比数列，即可得到112 3nna，从而求出na.【详解】因为1132,1nnaaa ，所以1131nnaa ，由1120a ，所以1na 为首项为 2，公比为 3 的等比数列，所以112 3nna，所以na 12 31n.故答案为：12 31n 18已知数列 na的各项均为正数，且220nnaann，则数列 na的通项公式na _【答案】1n 【分析】因式分解可得 10nnanan，结合0na，即得解【详解】由210nnaan n，得 10nnanan 又0na，所以数列 na的通项公式1nan 故答案为：1n 19已知数列 na满足11a ，且111
15、233nnnaan，则数列 na的通项公式na _【答案】23nn 【分析】利用条件构造数列3nna，可得数列为等差数列即求.【详解】111233nnnaan，113312nnnnaan，即113312nnnnaan又11a ，1133a，数列3nna是以 3 为首项，1 为公差的等差数列，33112nnann，数列 na的通项公式23nnna 故答案为：23nn.20若正项数列 na满足22112,441nnnaaaa，则数列 na的通项公式是_【答案】13 21nna 【分析】根据给定条件将原等式变形成121nnaa ，再利用构造成基本数列的方法求解即得.【详解】在正项数列 na中，222
16、1441(21)nnnnaaaa ，则有121nnaa ，于是得112(1)nnaa ，而113a ，因此得：数列1na 是公比为 2 的等比数列，则有113 2nna ，即13 21nna ，所以数列 na的通项公式是13 21nna .故答案为：13 21nna 21若数列 na满足111nnnana，2n，nN，且11a ，则5a _【答案】15【分析】根据题意整理可得 111nnaan nnn，所以1nan n为常数列，令5n 即可得解.【详解】由111nnnana 可得111nnaann，两边同除n 可得 111nnaan nnn，故数列1nan n为常数列，所以 11122naan
17、 n，所以51=302a，解得515a.故答案为：15 22数列na的前n 项和为nS，已知11a ，121,2,3,nnnaSnn，则na _【答案】21 2nn【分析】由给定条件借助11nnnaSS消去1na ，求出nS 即可得解.【详解】因 nN，12nnnaSn，而11nnnaSS，则1122(1),nnnnnnnSSSSSnn，于是得121nnSSnn，又11111Sa，则数列nSn是首项为 1，公比为 2 的等比数列，从而有12nnSn，即12nnSn，1112(2)22nnnnnnan，2n 时，2(1)2nnan，而11a 满足上式，所以2(1)2nnan，nN.故答案为：21
18、 2nn 23在数列 na中，12a，112 144nnaann，nN，则5a _.【答案】460【分析】由已知可得1241nnaann，即数列4nan是以6 为首项，2 为公比的等比数列，由此可求出 na的通项公式，得出所求.【详解】12112 14441nnnnaaannnn，1241nnaann，即1248241nnnaaannn,所以14124nnanan，则数列4nan是以6 为首项，2 为公比的等比数列，146 2nnan，324nnann，553 5 24 5460a .故答案为：460.三、解答题 24已知数列 na满足132a，*131nnaanN.（1）若数列 nb满足12
19、nnba，求证：nb是等比数列；（2）求数列 na的前 n 项和nS.【答案】（1）证明见解析（2）312nn 【分析】（1）由递推公式可得111322nnaa，即13nnbb，即可得证；（2）由（1）可得1132nna，再利用分组求和法及等比数列求和公式计算可得；（1）解：因为*131nnaanN，所以131213322nnnaaa，又12nnba，132a，所以13nnbb，即13nnbb *nN，11b ，所以 nb是以1为首项，3 为公比的等比数列；（2）解：由（1）可得13nnb，即1132nna，所以1132nna 所以011111333222nnS 01111 33133321
20、322nnnnnn 25已知数列 na的前 n 项和为nS，且2nSnnN，数列 nb满足12b，1322,nnbbnnN求数列 na，nb的通项公式；【答案】21nan，31nnb 【分析】利用11,1,2nnnS naSSn 求 na通项公式，构造1nb 是等比数列，求 nb通项公式即可；【详解】解：数列 na的前n 项和为nS，且2nSnnN，当2n 时，22*1(1)21()nnnaSSnnnnN 当1n 时，11a ，显然也适合上式 所以21nan；因为数列 nb满足12b，1322,nnbbnnN 所以113(1)nnbb ，所以数列1nb 是以113b 为首项，3 为公比的等比数
21、列 故113 33nnnb ，所以31nnb .26已知数列 na中，213a，112nnnnaaa a求数列 na的通项公式；【答案】121nan 【分析】首先证得1na是等差数列，然后求出1na的通项公式，进而求出 na的通项公式；【详解】解：因为112nnnnaaa a，213a 所以令1n ，则12122aaa a，解得11a ，对112nnnnaaa a两边同时除以1nna a ，得1112nnaa，又因为111a=，所以1na是首项为 1，公差为 2 的等差数列，所以112(1)21nnna ，所以121nan；27已知列 na满足12a，且1122nnnaa，nN （1）设2nn
22、nab，证明：数列 nb为等差数列；（2）求数列 nb的通项公式；【答案】（1）证明见解析；（2）,nbn nN.【分析】（1）根据题设递推式得11122nnnnaa ，根据等差数列的定义，结论得证.（2）由（1）直接写出通项公式即可.【详解】（1）由题设知：11122nnnnaa ，且112a ，2nna是首项、公差均为 1 的等差数列，又2nnnab，则数列 nb为等差数列，得证.（2）由（1）知：,2nnnaNbn n.28已知等差数列 na的前 n 项和为nS，且2810aa，1166S.（1）求 na的通项公式；（2）已知11b ，111nnnna bab，设_，求数列 nc的通项公
23、式.在nnbcn，1nnbcn，1nnbcn，这 3 个条件中，任选一个解答上述问题.注：如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分.【答案】（1）nan；（2）见解析.【分析】（1）根据等差数列的性质可求56,a a，从而可求 na的通项.（2）根据题设中的递推关系可得11111nnnnbbanan，从而可得1nnban为常数列，据此可求 nb的通项，从而可求相应的 nc的通项公式.【详解】（1）因为 na为等差数列，故285210aaa，故55a，而1166S，故61166a 即66a，所以等差数列 na的公差为 1，所以551naann.（2）因此111nnnna bab，故11111
24、1111nnnnnnbbaaa an nnn，所以11111nnnnbbanan，所以1nnban为常数列，所以11112nnbbana，所以2112nnnbn，若选，则21nnbncnn；若选，则122nnbcnnn；若选，则122nnbcnnn.29设数列na满足132(2)nnaan，且12a，3log(1)nnba.（1）求2a，3a 的值；（2）已知数列na的通项公式是：31nna ，3nna，32nan中的一个，判断na的通项公式，并求数列nnab的前n 项和nS.【答案】（1）28a，326a；（2）31nna ，121(33)2nnSnn.【分析】（1）由递推公式得1(3(1)
25、1)nnaa ，结合已知1na 是首项为 3，公比为 3 的等比数列，写出na 的通项公式，进而求2a，3a 的值；（2）由（1）得31nncn，再应用分组求和及等差、等比前 n 项和公式求nS.【详解】（1）132(2)nnaan，即1(3(1)1)nnaa 且12a，1na 是首项为 3，公比为 3 的等比数列，即13nna ，31nna ，则22318a ，333126a .（2）设nnncab，由（1）知31nna ，又3log(1)nnban.31nncn，2(33.3)(12.1)nnSn3(13)(1)(11)132nnn121(33)2nnn.30已知数列 na满足11a ，2
26、3a，且2124nnnaaa，*nN.（1）求数列 na的通项公式；（2）设nnabn，*nN，求nb 的最小值.【答案】（1）2241nann；（2）1.【分析】（1）构造1nnncaa，结合已知条件可知 nc是首项为 2，公差为 4 的等差数列，写出通项公式，再应用累加法有121.1nnccca，即可求 na的通项公式；（2）由（1）知：324nbnn，易知2 64nb 在*nN上恒成立，且数列单调递增，即可求其最小值.【详解】（1）令1nnncaa，则14 nncc，而1212caa，nc是首项为 2，公差为 4 的等差数列，即24(1)42ncnn，121213211.1nnnnncc
27、caaaaaaaaa，又121.nccc 24(12.1)2(1)2(1)2242nnn nnnn，2243nann.（2）由题设，324nnabnnn，*nN，32 242 64nbn n，当且仅当6(1,2)2n 时等号成立，故2 24nb 且在2n 上单调递增，又12312bb，当1n 时，nb 的最小值11b .任务二:中立模式(中档)1-50 题 一、单选题 1已知数列 na满足11*1211,2221 21,2,2nnnnaaaaaann N，记数列 na前n 项和为nS，则（）A202178S B202189S C2021910S D20211011S【答案】B【分析】由1122
28、2121nnnnaaaa可得111122121nnaan，利用累加法可求得12121nan ，求得2 na 的范围，从而可得na 的范围，从而可得出答案.【详解】解：由11222121nnnnaaaa可得 11212121 21nnnnaaaa，化简得111122121nnaan，累加求和得21122121naan，化简得1211211121221nann ，因为210,1，所以1121,11nann，即2221loglog1nnnann，2n 122222214522logloglogloglog23416nnnnSaaan，122222213411logloglogloglog2234nn
29、nnSaaan，所以892220212220231011log 2logloglog 262S，即202189S 故选：B.2已知数列 na满足11113nnnnaaaa，152a，设224nnnacn，若数列 nc是单调递减数列，则实数 的取值范围是（）A 1,6 B 1,3 C 1,2 D1,【答案】B【分析】将递推关系式整理为1111113nnaa，可知数列11na为等差数列，借助等差数列通项公式可整理求得na，从而得到nc 的通项公式；根据数列 nc的单调性可采用分离变量法得到4221nn ，结合导数的知识可求得max4221nn，由此可得结果.【详解】由11113nnnnaaaa得：
30、1111311nnnnaaaa 11111113nnnnaaaa，即1111113nnaa，11na是公差为 13 的等差数列11111111151133312nnnnaa，311nan ，41nnan，222241nnnnacnn nc是递减数列，*nN，1nncc，即1222221nnnn ，即4221nn 只需max4221nn，令 42121f xxxx，22222222222414242212121xxxfxxxxxxx 2222221xxxx，fx 在1,2 上单调递增，在2,上单调递减 又 113f，123f，当*nN时，max1123f nff，即max421213nn，13，
31、即实数 的取值范围是 1,3 故选：B 3已知在数列 na中，156a，111132nnnaa，则na （）A 3223nn B 2332nn C 1223nn D 2132nn【答案】A【分析】依题意可得11223233nnnnaa，即可得到23nna 是以43为首项，23 为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；【详解】解:因为156a，111132nnnaa，所以1122213nnnnaa，整理得11223233nnnnaa，所以数列23nna 是以14233a 为首项，23 为公比的等比数列所以14 2233 3nnna，解得3223nnna 故选：A 4设数列 na满足1
32、13,34nnaaan，若21485nnnnnba a，且数列 nb的前 n 项和为nS，则nS （）A2169nn B 42369nn C1169nn D2169nn【答案】D【分析】先根据na 的递推关系求出na 的通项公式，代入nb 的表达式中，求出nb 的通项，即可求解nb 的前 n 项和nS 【详解】由134nnaan 可得12113(21)nnanan,13a ,1(2 1 1)0a ,则可得数列(21)nan为常数列 0，即(21)0nan,21nan 2485(21)(23)221111(21)(23)(21)(23)(21)(23)2123nnnnnbnnnnnnnn ,11
33、1111112()(1)3557212332369nSnnnnnnn.故选:D 5数列 na满足11a ，1(1)(1)nnnanan n，若2cos 3nnnba，且数列 nb的前n 项和为nS，则11S（）A64 B80 C 64 D 80【答案】C【分析】由已知可得111nnaann，即数列nan 是等差数列，由此求出22cos 3nnbn，分别令 1,2,3,11n 可求出11S.【详解】数列 na满足11a ，111nnnanan n，则111nnaann，可得数列nan是首项为 1、公差为 1 的等差数列，即有nann，即为2nan，则222coscos33nnnnban，则 22
34、222222222111 12457810113692S 222222222222221 12334566789910112 15234159642 .故选：C.6已知数列na满足*1132(2,)nnnaaannN，且10a，62021a，则2a （）A 202131 B 202133 C 202163 D 202165 【答案】A【分析】由*1132(2,)nnnaaannN可得11()2nnnnaaaa，从而得数列1nnaa 以21aa为首项，2 为公比的等比数列，根据661aaa，可化为6231aa，从而即可求得答案.【详解】由*1132(2,)nnnaaannN可得11()2nnnn
35、aaaa，若10nnaa，则651aaa，与题中条件矛盾，故10nnaa，所以112nnnnaaaa，即数列1nnaa 是以21aa为首项，2 为公比的等比数列，所以112 2nnnaaa，所以612132434655aaaaaaaaaaaa 0123422222222222312021aaaaaa，所以2202131a，故选：A 7已知数列 na满足12a，11312,nnnna aaannN，若123nnTa a aa，当10nT 时，n 的最小值为（）A3 B5 C6 D 7 【答案】C【分析】将已知递推关系式变形可得1111112nnaa，由此可知数列11na为等差数列，由等差数列通项
36、公式可取得11na ，进而得到na；由1 2 3nnTa a aa可上下相消求得nT，结合nN解不等式可求得n 的最小值.【详解】由1131nnnna aaa 得：11311nnnaaa，11111121312211111nnnnnnnaaaaaaa ，1111111 21111212112nnnnnnaaaaaa，即1111112nnaa，数列11na是以1111a为首项，12 为公差的等差数列，11111122nnna，则31nnan，123234562323416nnnnnnTa a aann，由10nT 得：23106nn，又nN，6n且nN，n 的最小值为6.故选：C.8数列 na各
37、项均是正数，112a，232a，函数313yx在点31,3nnaa处的切线过点32172,3nnnaaa，则下列命题正确的个数是（）3418aa；数列1nnaa 是等比数列；数列13nnaa 是等比数列；13 nna A1 B2 C3 D4【答案】B【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义得到322122nnnnnakaaaa，整理得到2123nnnaaa，利用构造法求出数列的通项，即可判断；【详解】解：由313yx得2yx，所以333221211723322nnnnnnnnnnaaakaaaaaaa，21212223nnnnnnnaaaaaaa（*），1n ，32131339233232
38、222aaaa，2n，432439927233292222aaaa，349273618222aa，正确；由（*）知2113nnnnaaaa，首项120aa，30q ，1nnaa 是等比数列，正确；211313nnnnaaaa，首项213133022aa ，不符合等比数列的定义，错误；由对可知：2123nnnaa，两边同除3n 得11123933nnnnaa，令 3nnnab，1112123939nnnnbbbb，2n 1111636nnbb ，11111111206363666ab，即数列16nb 是恒为 0 的常数列 1111103366623nnnnnnaba，故错误 故选：B 9已知数列
39、 na满足11a ，*12nnnaana N，若*11(2)1nnbnnaN，1b，且数列 nb是单调递增数列，则实数 的取值范围是 A23 B32 C23 D32 【答案】C【分析】由数列递推式*12nnnaana N得到11na是首项为 2，公比为 2 的等比数列，求出其通项公式后代入1(2)2nnbn，当2n 时，1nnbb，且21bb求得实数 的取值范围.【详解】解：由12nnnaaa 得，1121nnaa 则111121nnaa 由11a ，得1112a ，数列11na是首项为 2，公比为 2 的等比数列，1112 22nnna，由*11(2)1nnbnnaN，得1(2)2nnbn，
40、因为数列 nb是单调递增数列，所以2n 时，1nnbb，1(2)2(12)2nnnn，即12n，所以32，又1b，2(12)224b，由21bb，得24，得23，综上：实数 的取值范围是2,3.故选：C.10已知数列 na满足11a ，*12nnnaanNa.若21log1nnba，则数列 nb的通项公式nb （）A 12 n B1n C n D 2n 【答案】C【分析】变形为111121nnaa 可知数列11na是首项为2，公比为2的等比数列，求出112nna 后代入到21log1nnba可得结果.【详解】由12nnnaaa，得1121nnaa，所以111121nnaa，又1112a ，所以
41、数列11na是首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以1112 22nnna，所以221log1log 2nnnbna.故选：C.11已知数列 na的首项13a ，且满足*1212123nnnaannnN，则 na中最小的一项是（）A2a B3a C4a D5a 【答案】B【分析】转化条件为112123nnaann，结合等差数列的性质可得234nann，即可得解.【详解】因为*1212123nnnaannnN，所以112123nnaann，又13a ，所以1323a，所以数列 23nan是首项为 3，公差为 1 的等差数列，所以31423nannn ，即234nann，所以13a ，22a ，
42、33a ，当4n 时，0na，所以 na中最小的一项是3a.故选：B.12已知数列21131322nnnaaa，12a，则25log1a （）A263log 331 B231log 3 15 C363log 231 D331log 2 15【答案】B【分析】令2log1nnba，推导出数列23log 2nb 为等比数列，确定该数列的首项和公比，进而可求得25log1a 的值.【详解】由21131322nnnaaa可得213112nnaa ，120a，根据递推公式可得出20a，30a，进而可知，对任意的nN，0na，在等式213112nnaa 两边取对数可得222121233log1log12l
43、og1log22nnnaaa，令2log1nnba，则0nb，可得1232log 2nnbb，则21233log2log22nnbb ，所以，数列23log 2nb 是等比数列，且首项为122122339loglog1loglog222ba，公比为2，45222239log2 log16 2log 3 132log 3 1622b，即252223log132log 3 16log31log 3 152a.故选：B.13已知数列 na的前n 项和为nS，15a，且满足122527nnaann，若 p，*qN，pq，则pqSS的最小值为（）A 6 B 2 C 1 D0【答案】A【分析】转化条件为1
44、22527nnaann，由等差数列的定义及通项公式可得2327nann，求得满足0na 的项后即可得解.【详解】因为122527nnaann，所以122527nnaann，又1127a，所以数列 27nan是以 1 为首项，公差为 2 的等差数列，所以1 212327nannn ，所以2327nann，令23270nann，解得 3722n，所以230,0aa，其余各项均大于 0，所以3123min13316pqSSaaSS .故选：A.14数列 na满足111,22nnnaaanN，那么4a 的值为（）A4 B12 C18 D32【答案】D【分析】首先根据题中所给的数列的递推公式，得到111
45、222nnnnaa，从而得到数列 2nna是以11122为首项，以 12 为公差的等差数列，进而写出 na的通项公式，将4n 代入求得结果.【详解】由122nnnaa 可得111222nnnnaa，即111222nnnnaa，所以数列 2nna是以11122为首项，以 12 为公差的等差数列，所以11(1)2222nnann，所以12nnan，所以344 232a，故选：D.15已知数列 na满足12a，12(2)1nnnaan，则20201232019aaaaa（）A 20212019 B 20202019 C 20192018 D 20212018 【答案】A【分析】依题意可得1221nn
46、aann 即数列1nan 是以1为首项，以 2 为公比的等比数列，从而得到1(1)2nnan，再用错位相减法求和，即可得解；【详解】解：由12(2)1nnnaan，所以12(2)1nnnaan，得1221nnaann.所以数列1nan 是以111 1a为首项，以 2 为公比的等比数列，所以121nnan，所以1(1)2nnan.设 na的前n 项和为nS，则01212 23 24 2(1)2nnSn ，两边同乘 2，得 12122 23 22(1)2nnnSnn，两个式子相减得 101212 1 22 2222(1)22(1)221 2nnnnnnSnnn ，所以2nnSn，所以2019202
47、0201912320192021 220212019 22019aaaaa.故选：A 16若数列 na的首项121a ，且满足21(23)(21)483nnnanann，则24a 的值为（）A1980 B2000 C2020 D2021【答案】A【分析】由条件21(23)(21)473nnnanann 可得112123nnaann，从而数列 23nan是首项为 21，公差为 1 的等差数列，由121a，可得1212 1a，得出 na的通项公式，进一步得出答案.【详解】21(23)(21)473nnnanann，1232123nnnanan21n，112123nnaann，所以数列 23nan是
48、首项为 21，公差为 1 的等差数列，21(1)12023nannn，*(20)(23),nannnN.241980a，故选：A.17设数列na的前n 项和为nS，且11a ，2(1)nnSann（*Nn），则22nnSn的最小值为 A 2 B 1 C 23 D3 【答案】B【分析】利用数列的通项与前n 项和的关系11,1,2nnnS naSSn,将2(1)nnSann转换为1,nnSS 的递推公式,继而构造数列求出nS,再得到22nnSn关于n 的表达式,进而根据函数的性质可得22nnSn的增减性求解即可.【详解】由题,当2n 时,12(1)nnnSSSnn,整理得112nnSSnn,即数列
49、nSn是以 1 为首 项,2 为公差的等差数列.所以12121nSnnn ,故22nSnn.所以232232nnSnnn,令函数3223,1yxxx,则266610yxxx x.故数列22nnSn是一个递增数列,当1n 时,22nnSn有最小值121 .故选：B 18已知数列 na的首项112,629nnnaaaa，则27a（）A7268 B5068 C6398 D4028【答案】C【分析】由1629nnnaaa 得212(23)nnaa，所以构造数列2na 为等差数列，算出22(31)nan，求出27a.【详解】易知0na，因为1629nnnaaa ，所以212(23)nnaa，即1223n
50、naa ，2na 是以 3 为公差，以 2 为首项的等差数列.所以2231,2(31)nnanan，即2278026398a.故选：C 19已知在数列 na中，156a，111132nnnaa，则na （）A 3223nn B 2332nn C 1223nn D 2132nn【答案】A【分析】递推关系式乘以12n，再减去 3，构造等比数列求通项公式.【详解】因为156a，111132nnnaa，所以1122213nnnnaa，整理得11223233nnnnaa，所以数列23nna 是以14233a 为首项，23 为公比的等比数列.所以14 2233 3nnna，解得3223nnna.故选：A.
51、20如果数列 na满足12a，21a ，且11112nnnnnnnnaaaanaaa a，则这个数列的第 10 项等于（）A1012 B912 C 110 D 15 【答案】D【分析】由题设条件知11112nnnnnaaaaa，所以1111112nnnaaa，由此能够得到1na为等差数列，从而得到第 10 项的值【详解】解：11112nnnnnnnnaaaanaaa a 1111nnnnnnaaaaaa，11112nnnnnaaaaa，111111111111111222nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa，11112nnnaaa，即1na为等差数列 12a，21a 1112a，211
52、a ，121111122daa 1na为以 12 为首项，12 为公差的等差数列 11111222nnna 101119522a，1015a 故选：D 第 II 卷（非选择题）二、填空题 21已知数列 na满足11122nnnnnaaaaa，且1211,3aa，则 na的通项公式na _.【答案】21n n 【分析】由已知条件可得21111111nnnnaaaa，从而有111nnaa是以2 为首项，1为公差的等差数列，进而可得111211nnnnaa，最后利用累加法及等差数列的前 n 项和公式即可求解.【详解】解：由11122nnnnnaaaaa,得211121nnnaaa，则21111111
53、nnnnaaaa，由1211,3aa得21112aa，所以111nnaa是以2 为首项，1为公差的等差数列，所以111211nnnnaa，当2n 时，11221111111111nnnnnaaaaaaaa 112 12n nnn，所以21nan n，当1n 时，11a 也适合上式，所以21nan n，故答案为：21n n.22设数列 na满足12a，26a，312a，数列 na前 n 项和为nS，且211131nnnnSSSS（nN且2n）若 x 表示不超过 x 的最大整数，2(1)nnnba，数列 nb的前 n 项和为nT，则2022T的值为_【答案】2023【分析】根据递推公式，可知1nn
54、aa 从第 2 项起是等差数列，可得122nnaan，再根据累加法，可得1nan n，由此可得当2n 时，211nnnba，又2111 12ba，由此即可求出2022T.【详解】当2n 时，211131nnnnSSSS，211131nnnnaaaa，2122nnnaaa，2112nnnnaaaa，1nnaa从第 2 项起是等差数列.又12a，26a，312a，32212aaaa，142122nnaann，当2n 时，112211nnnnnaaaaaaaa 12212 22212n nnnn n L，211nnnan（2n），当2n 时，2111nnnnban.又2111 12ba，222202
55、2122022232023220212023Taaa.故答案为：2023 23已知nS 是数列 na的前n 项和，11321nnnaaa，11a ，24a，求数列 na的通项公式_.【答案】122nnan【分析】根据已知条件构造11121nnnnaaaa，可得11nnaa 是公比为2 的等比数列，即1112nnnaa ，再由累加法以及分组求和即可求解.【详解】因为11321nnnaaa，所以1121nnnnaaaa，因此11121nnnnaaaa，因为11a ，24a，所以2114aa，故数列11nnaa 是首项为4，公比为2 的等比数列，所以11114 22nnnnaa ，即1112nnna
56、a ，所以当2n 时，12212aa，33212aa，44312aa，L，121nnnaa ，以上各式累加可得：2123121 2222111 2nnnnaan 1124123nnnn，因为11a ，所以122,2nnann；又11a 符合上式，所以122nnan.故答案为：122nnan.24设数列 na满足12a，26a，312a，数列 na前 n 项和为nS，且211131nnnnSSSS（nN且2n）若 x 表示不超过 x 的最大整数，2(1)nnnba，数列 nb的前 n 项和为nT，则2022T的值为_【答案】2023【分析】根据递推公式，可知1nnaa 从第 2 项起是等差数列，
57、可得122nnaan，再根据累加法，可得1nan n，由此可得当2n 时，211nnnba，又2111 12ba，由此即可求出2022T.【详解】当2n 时，211131nnnnSSSS，211131nnnnaaaa，2122nnnaaa，2112nnnnaaaa，1nnaa从第 2 项起是等差数列.又12a，26a，312a，32212aaaa，142122nnaann，当2n 时，112211nnnnnaaaaaaaa 12212 22212n nnnn n L，211nnnan（2n），当2n 时，2111nnnnban.又2111 12ba，2222022122022232023220
58、212023Taaa.故答案为：2023.25已知数列 na中11a ，1512 nnaa，设12nnba，求数列 nb的通项公式_【答案】121 433 nnb【分析】首先判断23nb是等比数列，并求得其通项公式，从而求得数列 nb的通项公式.【详解】依题意1512 nnaa，则1211222nnnnaaaa，两边取倒数并化简得114222nnaa，即112242433nnnnbbbb，所以数列23nb是首项为1121213233ba，公比为 4 的等比数列，所以112121443333nnnnbb .故答案为：121 433 nnb 26已知数列 na满足13a ，112 31112 31
59、nnnnnaanNa ，则数列 na的通项公式为na _.【答案】2 311nn 【分析】将已知递推关系式变形为1112131131231nnnnnnaaa，令131nnnab，采用倒数法可证得数列1nb为等差数列，利用等差数列通项公式求得nb 后，整理可得所求通项公式.【详解】由112 31112 31nnnnnaaa 得：1112211311312 31231nnnnnnnnnaaaaa，设131nnnab，则有122nnnbbb，即11112nnbb，又1113 123 13 1ab，数列1nb是以1112b，12 为公差的等差数列，1111222nnnb，2nbn，即1231nnan，
60、2 311nnan.故答案为：2 311nn.27若数列 na满足11a ，1162nnnaa，则数列 na的通项公式na _.【答案】112 62nn【分析】由1162nnnaa，可得111322nnnnaa ，设2nnnab，即111322nnbb，先求出的 nb通项公式，进而得到答案.【详解】由1162nnnaa，可得111322nnnnaa ，设2nnnab 则131nnbb ，则111322nnbb 所以12nb 是以 1 为首项，3 为公比的等比数列.则1132nnb，则1132nnb，所以112 62nnna 故答案为：112 62nn 28已知数列 na中，132a，且满足11
61、122nnnaa*2,Nnn，若对于任意*Nn，都有nan 成立，则实数 的最小值是_.【答案】2【分析】将已知等式化为11221nnnnaa，根据数列2nna是首项为 3 公差为 1 的等差数列，可求得通项公式，将不等式化为22nn n恒成立，求出 22nn n 的最大值即可得解.【详解】因为2n 时，11122nnnaa，所以11221nnnnaa，而1123a ，所以数列2nna是首项为 3 公差为 1 的等差数列，故22nnan，从而22nnna.又因为nan 恒成立，即22nn n恒成立，所以max22nn n.由 1*121322,221122nnnnn nnnnnn nnnN得2
62、31313*,2nnnNn ，得2n，所以2max2222222nn n，所以2，即实数 的最小值是 2.故答案为：2 29在数列 na中，11a ，且131nnnaa ，则na _.(用含n 的式子表示)【答案】314nn 【分析】将条件变形为111113144nnnnaa，即数列114nna是首项为 34，公比为 3的等比数列，然后可算出答案.【详解】因为131nnnaa ，所以111113144nnnnaa，所以数列114nna是首项为 34，公比为 3 的等比数列，所以13144nnna 所以31144nnna.故答案为：314nn 30若数列 na满足11a ，且142nnnaa，则
63、6a _.【答案】2016 【分析】由题意结合数列的递推公式，逐步运算即可得解.【详解】因为142nnnaa，所以11422nnnnaa，数列12nna是等比数列，首项为 2，公比为4，则通项11224nnna，可得：21122nnna，则2 6 16 1115622222016a.故答案为：2016.31在数列na中，11a ，1221332 32(2)nnnnnaan ，nS 是数列1nan的前n 项和，则nS 为_.【答案】13(1)3n【分析】将1221332 32(2)nnnnnaan 化为1213(1)3(1)2(2)nnnnaan，再由等比数列的定义和通项公式求和公式，可得所求和
64、.【详解】解：由11a ，1221332 32(2)nnnnnaan ，可得1212213(1)3(1)332 32(2)nnnnnnnaan ，即1213(1)3(1)2(2)nnnnaan，所以数列13(1)nna是以1 113(1)2a为首项2 为公差的等差数列，所以13(1)2nnan，由1123nnan，12(1)133(1)1313nnnS.故答案为：13(1)3n.32若数列 na满足12a，1441nnnaaa ，则使得22020na 成立的最小正整数n 的值是_.【答案】11【分析】根据递推关系式可证得数列1na 为等比数列，根据等比数列通项公式求得na，代入不等式，结合nN
65、 可求得结果.【详解】2144121nnnnaaaa ，121nnaa，1121nnaa，数列1na 是以1121a 为首项，2 为公比的等比数列，11212nna，12121nna，由22020na 得：2020na，即12021220212183721n，92512，1021024且nN，满足题意的最小正整数11n.故答案为：11.33已知数列 na满足15a，21(23)(25)41615nnnanann，则na _.【答案】223nn【分析】转化原式为112523nnaann，可得 23nan是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，即得解【详解】依题意，1(23)(25)(23)(25
66、)nnnanann，故112523nnaann，故数列 23nan是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，故 23nann，则223nann.故答案为：223nn 34已知数列an满足11111nnaannnn（nN*），且 a2=6，则an的通项公式为_.【答案】22nn【分析】由题意令 n=1 可得 a1，当2n 时，转化条件可得11111nnaannnn，进而可得121nann，即可得解.【详解】因为数列an满足11111nnaannnn（nN*），所以11111nnaannnn ，当 n=1 时，110a 即 a1=1，当2n 时，由11111nnaannnn 可得11111nnaan
67、nnn，数列11nann从第二项开始是常数列，又21222 1a，121nann，222nann n，又112 1a 满足上式，22nann.故答案为：22nn.35设数列 na满足14a，210a，22215nnnaaa，3n，则201920181lnln2aa_.【答案】ln5【分析】由题意可得，2221lnln 5nnnaaa，化简整理得112112 lnlnlnlnln522nnnnaaaa，令11lnln2nnnbaa，可得122ln5ln5nnbb，由此可得ln5nb，从而可求出答案【详解】解：22215nnnaaa，3n，当3n 时，2221lnln 5nnnaaa，即2112l
68、nlnln52ln2nnnaaa，1212ln2lnlnln52nnnaaa，112112 lnlnlnlnln522nnnnaaaa，令11lnln2nnnbaa，则122ln5nnbb，且1211lnlnln52aba，122ln5ln5nnbb，又1ln50b，ln5nb，即11lnlnln52nnaa ，201920181lnlnln52aa，故答案为：ln5 36已知数列 na满足1310 nnaa，41nnban，若1nnbb，则数列 na的首项的取值范围为_.【答案】3,【分析】利用构造法求得11535nnaa，由1nnbb 可得出11253na，可得11max253na，进而可
69、求得1a 的取值范围.【详解】1310nnaa，1535nnaa.若150a，得15a ，可知5na ，此时，49nbn，数列 nb是递减数列，不合乎题意；若150a，得15a ，则数列5na 是以3 为公比的等比数列，所以，11553nnaa，则11535nnaa，41nnban，且1nnbb，即1115354253541nnanan ，整理得11532na，11253na，则11max253na，易知数列123n是单调递减数列，则11max2523na，解得13a .因此，数列 na的首项的取值范围为3,.故答案为：3,.37数列 na满足11a ，2212nnnaSS（2n，*nN），则
70、na _.【答案】1,12,2(21)(23)nnannn 【分析】利用项和转换，得到1112nnSS，故1nS是以111S 为首项，2 为公差的等差数列，可得121nSn，再借助1nnnaSS，即得解.【详解】由于2212nnnaSS，1nnnaSS 2111(212)2nnnnnnnnSSSSSSSS 即1112nnSS 故1nS是以111S 为首项，2 为公差的等差数列 111 2(1)2121nnnnSSn 由于1(2)nnnaSSn 1,12,2(21)(23)nnannn 故答案为：1,12,2(21)(23)nnannn 38已知数列 na满足11a ，11(2)23nnnaan
71、a，则通项公式na _.【答案】*112 31nnN【分析】先取倒数可得11123132nnnnaaaa,即111131nnaa ,由等比数列的定义可得2n 时,2116 3nna,即112 31nna,再检验1n 时是否符合即可【详解】由题,因为11(2)23nnnaana,所以11123132nnnnaaaa,所以111131nnaa ,当2n 时,1211235aaa,所以2115 16a ,所以当2n 时,2116 3nna,则112 31nna,即112 31nna,当1n 时,1112 1a,符合,所以112 31nna,故答案为:*112 31nnN 39数列na满足：21(1)
72、(21)1nnnnanana，11a ，26a，令cos 2nnnca，数列 nc的前 n 项和为nS，则4nS _【答案】2166nn【详解】由递推关系整理可得：+2+1+111nnnnn aanaa ，则：+2+1+1111nnnnaaaannn n，据此可得：322143321111,211211,3223,11,11nnnnaaaaaaaaaaaannnn 以上各式相加可得：1114,41nnnnaaaannn ，再次累加求通项可得：222nann n，当1n 时该式也满足题意，综上可得：22nann，则：4342414424243210,2232101662nnnnnnnccccaa
73、nnnSnn 40数列 na满足121111,2nnanNaa,记212nnnba,则数列 nb的前 n 项和nS _【答案】2332nn 【详解】试题分析：由21112nnaa 得221112nnaa，且2111a ，所以数列21na构成以 1 为首项，2为公差的等差数列，所以211(1)221nnna ，从而得到2121nan，则212nnnb，所以21321222nnnS,231113232122222nnnnnS,两式相减，得2111111121222222nnnnS1111121323122222nnnnn 所以2332nnnS.三、解答题 41已知在数列 na中，11a ，且132
74、32,nnaannnN.（1）求2a，3a，并证明数列nan是等比数列；（2）求 na的通项公式；（3）求12naaa的值.【答案】（1）-4，-15，证明见解析（2）12 3nnan （3）21 322nnn 【分析】（1）代值计算出2a，3a，根据递推公式可得据131nnanan，即可证明；（2）由（1）可知nan是以-2 为首项，以 3 为公比的等比数列，即可求出通项公式；（3）分组求和，即可求出答案.（1）解：因为11a ，且13232,nnaannnN 所以2132 234aa ，3232 3315aa ，1323nnaan，131nnanan，112a ，131nnanan，且21
75、242312aa，数列nan是等比数列，（2）解：由（1）可知nan是以 2 为首项，以 3 为公比的等比数列，即12 3nnan ，即12 3nnan；（3）解：21121232 1 333nnaaan 211 321 321 322nnn nnn .42已知 Sn4an212n，求 an与 Sn.【答案】ann11()2n，nN*；Sn4122nn.【分析】由题得 Sn4an212n，Sn14an1312n，n2，两式相减化简即得 an与 Sn.【详解】Sn4an212n，Sn14an1312n，n2，当 n2 时，SnSn1anan1an312n 212n.an 12 an111()2n
76、 11211()()22nnnnaa，2nan2n1an12，2nan是等差数列，d2，首项为 2a1.a1S14a1112 2a1，a11，2nan22(n1)2n.ann11()2n，nN*，Sn4an212n 4n11()2n 212n 4122nn.43设各项均为正数的等差数列 na的前n 项和为nS，520S，且2a，61a ，11a 成等比数列（1）求数列 na的公差 d；（2）数列 nb满足1nnnbba，且111ba，求数列 nb的通项公式【答案】（1）1d ；（2）11124nnnb.【分析】（1）根据2a，61a ，11a 成等比数列可得262111aa a，利用1,a d
77、 表示出520S 和262111aa a，解方程组可求得1,a d，结合0na 可得结果；（2）由（1）可得11nnbbn ，整理得1131312424nnbnbn ，可知数列13124nbn为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到结果.（1）（1）设等差数列 na的公差为d，2aQ，61a ，11a 成等比数列，262111aa a，即21115110adadad，又515 45202Sad，解得：121ad或18217717ad；当18217717ad 时，13182842120171717aad，与0na 矛盾，121ad，即等差数列 na的公差1d ；（2）由（1）得：1nan，11n
78、nbbn，即11nnbbn ，1131312424nnbnbn，又1121ba，解得：11b ，数列13124nbn是以13144b 为首项，1 为公比的等比数列，113111244nnbn，整理可得：11124nnnb.44已知数列 na中，11a ，*13nnnaanNa.（1）求证：数列112na是等比数列；（2）数列 nb满足的312nnnnnba，数列 nb的前 n 项和为nT，若不等式112nnnnT对一切*nN恒成立，求 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）23 【分析】（1）将递推公式两边取倒数，即可得到1131nnaa，从而得到11111322nnaa，即可得证；（2）
79、由（1）可得231nna ，从而得到12nnnb，再利用错位相减法求和即可得到nT，即可得到12142nn，对一切*nN恒成立，再对 n 分奇偶讨论，即可求出 的取值范围；（1）解：由*13nnnaanNa，得13131nnnnaaaa 11111322nnaa，所以数列112na是以 3 为公比，以111322a为首项的等比数列.（2）解：由（1）得1113322nna，即231nna .所以12nnnb 0122111111123122222nnnTnn 121111112122222nnnTnn .两式相减得:012111111222222222nnnnTnn，1242nnnT 因为不等
80、式112nnnnT对一切*nN恒成立，所以12142nn，对一切*nN恒成立，因为1242nt单调递增 若 n 为偶数，则1242n，对一切*nN恒成立，3；若 n 为奇数，则1242n，对一切*nN恒成立，2，2 综上：23 .45数列 na，nb的每一项都是正数，18a ，116b，且na，nb，1na 成等差数列，nb，1na ，1nb 成等比数列（1）求数列2a，2b 的值（2）求数列 na，nb的通项公式（3）记1111nnncaa，记1nc的前 n 项和为nS，证明对于正整数 n 都有38nS 成立【答案】（1）24；36；（2）4(1)nan n，24(1)nbn；（3）证明见解
81、析.【分析】(1)由条件取特殊值求2a，2b；(2)由条件证明数列nb为等差数列，由此可求数列 na，nb的通项公式；(3)利用裂项相消法求nS，由此证明38nS.【详解】解：（1）由1122baa得211224aba，又2212ab b得222136abb，（2）na，nb，1na 成等差数列，12 nnnbaa，又nb，1na ，1nb 成等比数列，121nnnabb，当2n 时，1nnnabb 由代入得112nnnbbb，2n，nb是以14b 为首项212dbb的等差数列，22nbn则24(1)nbn，2n 时，14(1)nnnabbn n，经验证18a 也符合，4(1)nan n（3）
82、由（2）知11111 1142nnncaann，则121111111111114321124nnScccnnnn 11113142128nn成立 46已知数列 na满足112nnaa ，其中10a.（1）求证11na是等差数列，并求数列 na的通项公式；（2）设121nnnnTaaa，若nTpn对任意的 nN 恒成立，求 p 的最小值.【答案】（1）证明见解析，11nan；（2）最小值为 1.【分析】（1）根据112nnaa ，可得12 11111222nnnnnnaaaaaa ，从而可得12111111nnnnaaaa ，即可得出结论，再根据等差数列的通项即可求得数列 na的通项公式；（2）
83、121nnnnTaaapnL，即 12211111nnnnaaaapL，设 121111nnnH naaaL，利用作差法证明数列 H n单调递减，从而可得出答案.【详解】（1）证明：112nnaa ，12 11111222nnnnnnaaaaaa ，10na ，12111111nnnnaaaa ，11na是以 1 为首项，1 为公差的等差数列.1111nnna，11nan.（2）解：121nnnnTaaapnL，121nnnnaaapL，即 12211111nnnnaaaapL对任意的nN 恒成立，而11nan，设 121111nnnH naaaL，111121H nnnnL，11111112
84、21221H nnnnnnL，1111110221212H nH nnnnnn，数列 H n单调递减，当nN 时，11H nH，1p .p 的最小值为 1.47已知数列 na的前 n 项和为nS，满足111,221nnnnaaSSa.（1）证明数列1na是等差数列，并求数列 na的通项公式；（2）若数列 nb满足21(21)nnnbaan，求数列 nb的前 n 项和nT.【答案】（1）证明见解析，12nan；（2）2454(1)nnnTn.【分析】（1）由121nnnnaSSa ，化简得到121nnnaaa ，得出1112nnaa，利用等差数列的定义，得到数列1na表示首项为2，公差为2 的等
85、差数列，进而求得12nan.（2）由题意，化简得到21(21)1111()41nnnanbann，结合裂项法，即可求解.【详解】（1）因为121nnnnaSSa ，可得121nnnnaSSa ，即121nnnaaa ，可得121112nnnnaaaa，即1112nnaa，又由112a，可得112a，所以数列1na表示首项为2，公差为2 的等差数列，所以12(1)22nnna，所以12nan.（2）由221111111111()22(21)1)4(1)4(211)nnnbnaannn nnnn ，则数列 nb的前 n 项和：111111(1 11)(1)()()42231nTnn 21145(1
86、)414(1)4(1)nnnnnnnn，即2454(1)nnnTn.48已知数列an满足 a1 76，Sn是an的前 n 项和，点(2Snan，Sn1)在 1123f xx的图象上（1）求数列an的通项公式；（2）若 cn2()3na n，Tn为 cn的前 n 项和，nN*，求 Tn.【答案】（1）2132nna；（2）222nnnT.【分析】（1）根据题意得到11123nnaa，进而证得数列23na 是以12132a 为首项，以 12 为公比的等比数列，从而可以求出结果；（2）错位相减法求出数列的和即可.【详解】（1）点(2Snan，Sn1)在 1123f xx的图象上，111223nnnS
87、Sa，11123nnaa.1212323nnaa，数列23na是以12132a 为首项，以 12 为公比的等比数列，121113222nnna，即2132nna,（2）232nnnncan,23111232222nnnT ，234111112322222nnnT ，得23111111222222nnnnT，222nnnT.49已知数列an满足 a1a2an1 an（1）求证数列11na 是等差数列，并求数列an的通项公式；（2）设 Tna1a2an，bnan2Tn2，证明：b1+b2+bn 25 【答案】（1）证明见解析，an1nn ；（2）证明见解析.【分析】（1）由题设得112nnaa，进
88、而构造11na 与111na 的关系式，利用等差数列的定义证明结论，然后求 a1，即可得 an；（2）由（1）求得 Tn与 bn，再利用放缩法与裂项相消法证明结论【详解】（1）a1a2an1an，则 a1a2an+11an+1，两式相除得：1111nnnaaa，整理得112nnaa，1111122nnnnaaaa ，则12111111nnnnaaaa，111111nnaa，又 n1 时有 a11a1，解得：112a，1121a，数列11na 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，12(1)11nnna ，即1nnan.（2）由（1）得：Tna1a2an 121.2311nnn，bn22222
89、21111()()()1351121(2)(2)()()22nnnnnnnnnnn1135()()22nn，b1+b2+bn 222222222.577923255255nnn，得证 50已知数列 na的前 n 项和为nS，且1111,22nnnaaan（1）求 na的通项公式；（2）设*2,nnbnSnN，若*,nbnN恒成立，求实数 的取值范围；（3）设*2,1nnnScnN Tn n是数列 nc的前 n 项和，证明 314nT 【答案】（1）2nnna；（2）2；（3）证明见解析【分析】（1）先化简递推公式，由等比数列的定义判断出，数列nan是公比为 12 的等比数列，根据等比数列的通项
90、公式求出na；（2）由（1）和条件求出nb，利用作差法判断出数列 nb的单调性，可求出nb 的最大值，再求实数 的取值范围；（3）由（1）化简21nnScn n，利用裂项相消法求出nT，利用函数的单调性判断出nT 的单调性，结合n 的取值范围求出nT 的范围，即可证明结论【详解】解：（1）由已知112nnnaan，112a 可得1112nnaann，所以1112nnanan 所以数列nan是1112a 为首项，公比为 12 的等比数列 则12nnan，所以2nnna （2）由（1）知231232222nnnS，所以2341112322222nnnS，所以23111111222222nnnnS+
91、=+-L 1111122111221222nnnnnnSQ，222nnnS(2)nnbnS，所以22nnn nb，所以21111323222nnnnnnnn nnbb 则当1n ，210bb-，即21bb，当2n，10nnbb+-，即1nnbb，2b 是最大项且22b，2 （3）1(2)2112(1)2121 2nnnnnSnCn nnnnn，122311111112 2 122222321 2nnnTnnL 1121n n 又令 121nf nn，显然 f n 在*nN 时单调递减，所以 1014f nf，故而 314nT 任务三:邪恶模式(困难)1-20 题 一、单选题 1数列 na满足1
92、1a ，23a，*12430nnnaaanN，设31lognnba，记 x 表示不超过 x 的最大整数设1 22 31202020202020nnnSbbb bb b，若不等式nSt，对nN 恒成立，则实数t 的最大值为（）A 2020 B 2019 C1010 D1009 【答案】C【分析】首先通过构造等比数列求出数列1nnaa 的通项公式，并进而用累加法求出 na的通项公式及 nb的通项公式.最后利用裂项相消法将1 22 31202020202020nnnSbbb bb b 化简后取整，整理nS 的最小值后得解【详解】由题意得：，2113nnnnaaaa，又213 12aa，数列1nnaa
93、 是以 2 为首项，3 为公比的等比数列，112 3nnnaa，又212 3nnnaa，3122 3nnnaa，1322 3aa，0212 3aa，由累加法 1012111 323332311 3nnnnaa，13nna；313loglog 3nnnban，1111111nnb bn nnn，1 22 312020202020201111120202020122311nnnbbb bb bnnn，20202020202011nnSnn，1112n，202010101n，2020202010101n，min1010nS，nSt 对nN 恒成立，min1010ntS，则实数t 的最大值为1010.
94、故选：C.2已知数列 na满足11a ，1*12,Nnnnaaannn 且*2cos 3nnna bnN，则数列 nb前 36 项和为（）A174 B672 C1494 D5904【答案】B【分析】由条件可得1(1)nnn ana，由此求出数列 na的通项，进而求得数列 nb的通项，再利用分组求和方法即可计算作答.【详解】在数列 na中，11a ，当*2,Nnn时，111(1)nnnnnaaann ana，于是得数列nn a是常数列，则11nn aa，即21nan，因*nN，2cos 3nnna b，则22cos 3nnbn，因此，*nN，32313222115(32)(31)(3)9222n
95、nnncbbbnnnn，显然数列 nc是等差数列，于是得1121234563435361212122bbbbbbbbbccccc1356(9 12)67222，所以数列 nb前 36 项和为 672.故选：B 3已知数列 ,nnab，满足*11111,6,2,22Nnnnnnabaa bban.若kkab，k的值是（）A4 B5 C6 D7【答案】C【分析】根据12nnaa 可知数列 na为等比数列，将1=2nna 代入122nnnbba 后将其变形可知数列2nnb为等差数列，即可解得1(7)2nnnb；将1=2nna，1(7)2nnnb代入kkab即可解出答案.【详解】因为111=221,n
96、nnnaaaaa.所以数列 na为以 1 为首项，2 为公比的等比数列.所以1=2nna.11111=2=11222222222nnnnnnnnnnnnnbbbbbbab，132b ,所以数列 2nnb为以 3 为首项，12为公差的等差数列.所以11=3(1)()22(7)2nnnnnbnb.11(7)22716kkkkabkkk.故选：C.4已知数列 na由首项1aa及递推关系1311nnnaaa确定.若 na为有穷数列，则称 a 为“坏数”.将所有“坏数”从小到大排成数列 nb，若201912020bab，则（）A202010a B2020103a C20213a D202113a【答案】
97、C【分析】由1311nnnaaa得1111121nnaa，所以数列11na为等差数列,则1311121121nananaaa，求出数列 na，当分母为 0，得130ana，即31nan 时，数列 na为有穷数列，得出2nnbn，即 2017200920191010a，又202021120192017aaa，20211110101009aaa，根据单调性可得答案.【详解】由1311nnnaaa，得121311111nnnnnaaaaa 则11211212111211nnnnnnaaaaaa，即1111121nnaa 所以数列11na为等差数列,则1311121121nananaaa 则21113
98、naaana ，所以21113naaana 当1n 时,121111 3aaaaa ，满足条件.当分母为 0，得130ana，即3(1)1nann时，数列 na为有穷数列.当1a 时,数列 na为有穷数列.则11b 当分母为 0 时，na 无意义，此时数列 na为有穷数列，此时对应a 的值为1nb 所以2nnbn，由201912020bab，则1201720182009201920201010a，即 2017200920191010a 202021211112020320192017aaaaaa 设 21120192017xf xx，则 24020192017fxa 所以 fx 在 2017
99、20092019 1010，上单调递增.所以20201009211010111009201920171010a 20212111112021 310101009aaaaaa 设设 1110101009xg xx，则 21010101009gxx 所以 g x 在 2017 20092019 1010，上单调递增.所以2020202712019132027101010092019a 所以选项 C 正确 故选：C 5nS 为数列na的前 n 项和，12342,5,10,17aaaa，对任意大于 2 的正整数n，有112330nnnnSSSSm恒成立，则使得231111125222242kkaaaa
100、成立的正整数 k 的最小值为（）A7 B6 C5 D4【答案】B【分析】先由题设条件求出 m，得到：1123320nnnnSSSS，整理得：11()()2nnnnaaaa，从而有数列1nnaa 是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，求出121nnaan ，再利用累加法求出2na，然后利用裂项相消法整理231111125222242kkaaaa可得1113142kk，解出k 的最小值【详解】解：依题意知：当3n 时有43214323302SSSSmaaam，25a，310a，417a，2m ，1123320nnnnSSSS，即1112()2()()20nnnnnnSSSSSS，11220nnn
101、aaa，即11()()2nnnnaaaa，3n，又213aa，325aa，3221()()2aaaa，数列1nnaa 是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，121nnaan，故213aa，325aa，437aa，121(2)nnaann，由上面的式子累加可得：(1)(321)2(1)(1)2nnnann，2n，11111()2(1)(1)211nannnn，2n 由231111125222242kkaaaa可得：1 11111111111125()()()()(1)2 1324351122142kkkk，整理得 1113142kk，*kN 且2k，解得：6k 所以k 的最小值为 6 故选：B
102、 6数列 na中，156a，1251056515nnnnaannan，则99a（）A12019 B 20182019 C12020 D 20192020 【答案】C【分析】化简得到152325nnnnanana，记2nnbna，得到11115nnbb，1nb是以 15 为公差的等差数列，计算得到答案.【详解】由 125105232556515nnnnnnanaannannan，故152325nnnnanana，记2nnbna，则155nnnbbb，两边取倒数，得11115nnbb，所以1nb是以 15 为公差的等差数列，又1111235ba，所以12111555nnnb，所以5212nnban
103、nn，故9951100 1012020a.故选：C.7设数列 na的前 n 项和为nS，且2nS 是 6 和na 的等差中项若对任意的*nN，都有13,nnSs tS，则ts 的最小值为（）A 23 B 94 C 12 D 16 【答案】B【分析】先根据等差中项的概念列出关系式，再利用na 与nS 之间的关系，得到关于nS 的递推关系式，求得nS 的表达式，再计算nS 的取值范围，再计算13nnSS的取值范围解出题目.【详解】由 2nS 是 6 和na 的等差中项，得46nnSa，令1n 得12S ，又1nnnaSS，得146nnnSSS 136nnSS 1313232nnSS ，则32nS是
104、首项为13122S，公比为13的等比数列,得1311223nnS 若 n 为奇数，3,22nS；若n 为偶数，4 3,3 2nS 而1()3nnnf SSS是关于nS 的单调递增函数，并且41334f ，11(2)2f，故ts 最小值是11139244，故此题选 B 8数列 na满足121nnaa ，11a ，24nnbann，若数列 nb为单调递增数列，则 的取值范围为（）A18 B14 C38 D12 【答案】C【分析】根据给定条件求出数列 na通项，再由数列 nb为单调递增数列列出不等式并分离参数即可推理计算作答.【详解】数列 na中，121nnaa ，11a ，则有112(1)nnaa
105、 ，而112a ，因此，数列1na 是公比为 2 的等比数列，12nna ，即21nna ，则2(21)4nnbnn，因数列 nb为单调递增数列，即Nn，10nnbb，则122(21)(1)4(1)(21)4 2230nnnnnnnn，232nn，令232nnnc，则111212352222nnnnnnnncc，Nn，当2n 时，1nncc，当3n 时，1nncc，于是得338c 是数列 nc的最大值的项，即当 n=3 时，232nn 取得最大值 38，从而得38，所以 的取值范围为38.故选：C 9数列 na满足1nnaa，则下列说法错误的是（）A存在数列 na使得对任意正整数 p，q 都满
106、足22pqpqaq ap a B存在数列 na使得对任意正整数 p，q 都满足pqqpapaqa C存在数列 na使得对任意正整数 p，q 都满足p qqpapaqa D存在数列 na使得对任意正整数 p，q 都满足11p qpqaa apq【答案】C【分析】依题设找到数列满足的递推关系，或举反例否定.【详解】由22pqpqaq ap a，得2222pqpqaaap qpq，令2logntann，2 logntann，则当1t 时，数列 na满足题设，所以 A 正确；由pqqpapaqa，得pqpqaaapqpq，令logntann，则当1t 时，数列 na满足题设，所以 B 正确；由p qq
107、papaqa，令1q ，得11ppapaa，212aa，312124aaaa，413137aaaa，令 pq，得22ppapa，212aa，42148aaa，则1187aa，10a，从而2340aaa，与1nnaa 矛盾，所以 C 错误；由11p qpqaa apq，得p qpqaaapqpq，令nnant，则当1t 时，数列 na满足题设，所以 D 正确.故选：C 10已知*121(0)()()()(1)()nnafffffnNnnn，又函数1()()12F xf x 是 R上的奇函数，则数列na的通项公式为（）A1nan Bnan C1nan D2nan【答案】C【分析】由1()12F x
108、fx在 R 上为奇函数，知11222fxfx，令12tx，则112xt ，得到()(1)2f tft.由此能够求出数列 na 的通项公式.【详解】解:1()12F xfx在 R 上为奇函数，故()()FxF x，代入得:112()22fxfxxR，当0 x 时，112f .令12tx，则 112xt ，上式即为:()(1)2f tft.当 n 为偶数时：121(0)(1)nnafffffnNnnn 11111122(0)(1)2212nnnfffffffnn 212n1n.当 n 为奇数时：121(0)(1)nnafffffnNnnn 111122(0)(1)nnnffffffnnnn 122
109、n 1n.综上所述，1nan.故选：C.第 II 卷（非选择题）二、填空题 11两个数列 na nb满足12a，11b ，1537nnnaab，135nnnbab（其中*nN），则 na的通项公式为na _.【答案】132224nn【分析】依题意可得21110628nnnaaa，即214416410nnnaaa，即可得到4na 的特征方程为26101xx，求出方程的根，则设数列4na 的通项公式为428nnn qap，根据1a、2a 得到方程组，求出,p q，即可得到 na的通项公式；【详解】解：因为1537nnnaab，135nnnbab，所以12117391595557nnnnnnnnba
110、baaaaa，所以21110628nnnaaa，即214416410nnnaaa，所以4na 的特征方程为26101xx，解得特征根2x 或8x，所以可设数列4na 的通项公式为428nnn qap，因为12a，11b ，所以21153720aab，所以22242820428pqpq，解得214pq，所以132422nnna，所以132224nnna；故答案为：132224nn 12已知数列na满足1122211,24nnnnanaaanan，则8a _【答案】72832【分析】1222124nnnnanaanan等价变形211(+2)2nnnnaa，换元设nnnba，得 21(+2)2nnb
111、b，两边取对数，得lg(+2)nb是首项1lg(+2)=lg3b，公比2q=的等比数列，求出1322nnb可解na .【详解】1222124nnnnanaanan，2221241nnnnanannaa，221412+nnnnnnaaa 211(+2)2nnnnaa，设nnnba，则111=1ba，21(+2)2nnbb，两边取对数，12lg(+2)lg(2)nnbb ，1lg(2)2lg(+2)nnbb ，所以lg(+2)nb是首项1lg(+2)=lg3b，公比2q=的等比数列，112lg(+2)=2lg3=lg3nnnb，1232nnb，12=32nnna 7828=32a 故答案为：728
112、32 13设1x 是函数3212()1()nnnf xaxa xaxnN的极值点，数列 na满足12211,2,nnaablog a=，若 x 表示不超过 x 的最大整数，则1 22 33 42020 20212020202020202020bbb bb bbb_【答案】2019【分析】求 fx，可得 10f，即12203nnnaaa，可得121()2nnnnaaaa.设1nnncaa，则数列 nc是公比为 2 的等比数列.求出nc，从而求出,nna b，裂项法求1 22 33 42020 20212020202020202020bbb bb bbb，即得所求值【详解】32121nnnf xa
113、xa xaxnN，21232nnnfxaxa xa.1x 是 3212nnnf xaxa xax的极值点，10f，即12203nnnaaa，121()2nnnnaaaa.设1nnncaa，可得12 nncc，又1211caa，数列 nc为首项为 1，公比为 2 的等比数列，12nnc.1211213211 21 1 22()()(11 2)2nnnnnnaaaaaaaa .21nnblog an，11111(1)1nnb bn nnn.1 22 33 42020 2021202020202020202011111112020 12233420202021bbb bb bbb 120202020
114、 1202020212021，1 22 33 42020 20212020202020202020bbb bb bbb2020202020192021.故答案为：2019 14已知数列 na中的12,a a 分别为直线 2+20 x y 在 x 轴、y 轴上的截距，且212nnnnaaaa，则数列 na的通项公式为_【答案】314nn 【详解】试题分析：由已知得：121,2aa，已知条件可化为2123nnnaaa，设211nnnnaxay axa，可化为：21nnnayx axya，则23yxxy，解得：31yx，即2113nnnnaaaa，所以数列1nnaa 是以3 为首项，3 为公比的等比
115、数列，则13nnnaa 两边同时除以13n 转化为：11111111133 33343 34nnnnnnnnaaaa ，即数列134nna是以 112 为首项，13为公比的等比数列，所以113111111134123341234nnnnnnnnnaaa 15已知数列 nb的前 n 项和nS 满足：(1)(2)nnnSbnn，则nS 为_【答案】111()22nnSn【分析】当2n 时，1nnnbSS，将已知式子变形得：1(1)(2)nnnnSSSnn，继而推出1112()2(1)2nnSSnn，可知数列12nSn为等比数列，求解nS 即可.【详解】当2n 时，1nnnbSS，1(1)(2)nn
116、nnSSSnn，也即：12(1)(2)nnnSSnn，1112()2(1)2nnSSnn，即：111212(1)2nnSnSn，当1n 时，1116Sb，解得：1112S，11134S ，数列12nSn是以14为首项，公比为 12 的等比数列，111()22nnSn，即111()22nnSn.故答案为：111()22nnSn.三、解答题 16已知数列 na满足：122a，211 11nnaaa，数列 nb满足：11b ，2111nnnbbb，求证：1122nnnnab【答案】证明见解析.【分析】首先利用三角换元法简化211 11nnaaa 和2111nnnbbb的递推式，然后进一步利用数列知识
117、求解数列 na和 nb的通项公式，再通过三角函数线所具有的性质即可求解.【详解】证明：由已知得01na，可设sin02nnna，则21122sin11 sin1 cossin222nnnnna 所以12nn ，即112nn，又122a，求得14，所以数列n是以 4 为首项，12 为公比的等比数列，即111422nnn，从而1sin 2nna；令tan02nnnb，则11tannnb 又2111nnnbbb，所以21111tan1cos1 costantantantansin2nnnnnnnn，则12nn ，即112nn，又由11b ，得14 所以数列n是以 4 为首项，12 为公比的等比数列，
118、即111422nnn，从而1tan 2nnb，由三角函数线性质可知，当(0,)2x时，sintanxxx，所以111sintan222nnn，故12nnnab，即1122nnnnab 17(1)已知数列 na，其中11a ，22a，且当3n 时，1221nnnaaa，求通项公式na；(2)数列 na中，10a，22a，21652nnnnaaa，求na 【答案】（1）2122nann；（2）112 523nnna【分析】(1)由1221nnnaaa 可得 1121nnnnaaaa，结合等差数列通项公式及累加法可求数列 na的通项公式，(2)由21652nnnnaaa可得 211552nnnnna
119、aaa，利用累加法求15nnaa，再通过构造等比数列求数列 na的通项公式.【详解】(1)由1221nnnaaa 得：1121nnnnaaaa，令11nnnbaa，则上式为121nnbb 因此 nb是一个等差数列，1211baa，公差为 1，故nbn 由于121213211nnnnbbbaaaaaaa，又121(1)2nn nbbb，11(1)2nan n，即2122nann(2)由递推关系式，得 211552nnnnnaaaa，令15nnnbaa，则12nnnbb，且12152baa 11111112,2;222nnknnkkkkbbbnbb符合该式，152nnnaa，令2nnnac，则12
120、252nnnncc，即1251nncc ，即1112533nncc，且10c，故13nc是以 13 为首项，52 为公比的等比数列 111 533 2nnc，即11 513 23nnc，111252152323nnnnna.18设二次函数()f x 满足：（i）()0f x 的解集为(0,1)；（ii）对任意 xR 都有231()62xf xx 成立.数列 na满足：113a，102na，*1nnaf anN.（1）求(1)f 的值；（2）求()f x 的解析式；（3）求证：11232222331 21 21 21 2nnaaaa 【答案】（1）(1)4f ；（2）2()22f xxx；（3）
121、证明见解析.【分析】（1）利用赋值法，令1x 代入不等式即可求解.（2）根据不等式的解集可设()(1)f xax x，将(1)4f 代入即可求解.（3）由（2）可得2111222nnaa，从而可得2111222nnaa，得出211 21 2nnaa，令12nnba，构造lgnb为等比数列，利用等比数列的通项公式可得1213nnb，进而求出1222 31 2nna，放缩后由等比数列的前n 项和公式即可求解.【详解】解：（1）由于对任意 xR 都有231()62xf xx 成立，则令1x ，得 4()4f x ，则(1)4f ；（2）由于()0f x 的解集为(0,1)，可设()(1)f xax
122、x，由(1)4f ，可得2a ，则2()22f xxx；（3）证明：2211122222nnnnnaf aaaa ，则2111222nnaa，即有211 21 2nnaa，令12nnba，则21nnbb，由于102na，则有1lg2lgnnbb，121133b ，即有11lglg2nnbb，则1213nnb，则1222 31223nnna，则1132122222331 21 21 21 22 333nnnnaaaa 13 1 3231 33nn ，所以原不等式成立.19已知数列 na的前 n 项和nS 满足21nnnSa，1n ，证明：对任意的整数4m，有4511178maaa.【答案】证明见
123、解析【分析】由nS 与na 的关系，结合待定系数法可求得122 213nnna，由于通项中含有1n，考虑分项讨论，分析得出当3n 且 n 为奇数时，21111311222nnnnaa，然后分m 为奇数和偶数进行分类讨论，结合放缩法以及等比数列的求和公式可证得所证不等式成立.【详解】当1n 时，11121aSa，解得11a ，当2n 时，由21nnnSa 可得11112121nnnnnSaa ，两式作差得12221nnnnaaa ，即1221nnnaa ，设11121nnnnaxax ，即1231nnnaax，所以，32x ，得23x，所以，112212133nnnnaa ，故数列213nna
124、是公比为2 的等比数列，且首项为12133a，所以，1211233nnna，故122 213nnna，由于通项中含有1n，很难直接放缩，考虑分项讨论：当3n 且n 为奇数时，212123121113113222 21212 2221nnnnnnnnnaa 2123213 2231122222nnnnn（减项放缩）.当4m 且 m 为偶数时，45456111111111mmmaaaaaaaa 434243 1111311111311372 821122 222222288281mmm；当4m 且 m 为奇数时，所以，34145645611111111111311122 222mmmmaaaaaa
125、aaa 333311111317372 2211228282812mmm.因此，对任意的整数4m，有4511178maaa.20已知数列 na中，11a ，*1()43nnnaanNa.（1）求证：12na是等比数列，并求数列 na的通项公式；（2）已知数列 nb，满足(32)2nnnnnba.（i）求数列 nb的前 n 项和nT；（ii）若不等式1(1)2nnnnTn对一切*nN恒成立，求 的取值范围.【答案】（1）证明见解析，132nna；（2）（i）222nnnT；（ii）0,1.【分析】（1）根据题意，可得11123(2)nnaa，进而可以证明12na 是以 3 为首项，3 为公比的等
126、比数列，由此可得出数列na的通项公式（2）（）由（1）得2nnnb，结合错位相减法即可求出nT；（）由（）可得12(1)222nnnnnTn对一切*nN恒成立，令222nnc，则 nc是递增数列，由此可求得 的取值范围【详解】解：（1）11a ，*1()43nnnaanNa，1134nnaa，111232nnaa1123a 12na是以 3 为首项，3 公比的等比数列，1123 33nnna.所以132nna；（2）（i）由（1）得2nnnb，231232222nnnT，231112122222nnnnnT，两式相减，得：231111111221111112111222222222212nnnnnnnnnnnnT ，222nnnT（ii）由（i）得2121(1)22222nnnnnnnn，令2122nncn，则 nc是递增数列，若 n 为偶数时，2122nn 恒成立，又21c ，1，若 n 为奇数时，2122nn恒成立，10c，0，0.综上，的取值范围是0,1
