1、高一平面向量复习总结【知识网络】【考纲要求】考试内容向量、向量的加法与减法，实数与向量的积，平面向量的坐标表示，线段的定比分点，平面向量的数量积，平面两点间的距离，平移，正弦定理，余弦定理，斜三角形解法举例考试要求（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。（2）掌握向量的加法和减法。（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向理的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定
2、比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式。（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题。【高考展望】向量是新教材新增加的内容，体现了现代数学思想。向量由于具有几何形式和代数形式的“双重角色”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为考查多项内容的纽带。在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用。向量在解决几何问题、物理问题有重大的作用，近年来以向量为背景的试题的高考分值约占10%.平面向量的考查要求，一是主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本的运算技能，考查学生掌握平面向量的和、差、数乘和内积的运算法则，理解其直观的几何
3、意义，并能正确的进行计算；二是考查向量的坐标表示，向量的线性运算；其三是和其它数学知识相结合，如与曲线、数列、函数、三角等等知识融合在一起，一般为中、低档题。在近四年的高考理科试卷中，每年两题，其中小题有四个，考查向量的性质和运算法则，数乘、数量积、共线向量与轨迹。两个大题都是以向量形式为条件，讨论二次曲线问题。可以看出，向量已由解决问题的辅助工具上升为分析问题和解决问题的必不可少的工具之一。复习中，应注意本章内容在高考中的地位。主要是解决平面几何、解析几何、三角以及复数中图形的“平行、垂直、定比分点，夹角”等问题，解决这些问题都可以适当运用向量的知识。利用向量解决物理中的运动学、力学问题不可
4、忽视。33 向量与向量的初等运算【知识网络】【复习导引】1、相等吗？两个向量可以比较大小吗？2、共线向量一定在同一条直线是吗？3、如何用向量方法证明三点共线？4、如何根据方向向量写出直线的方程？5、向量加法的平行四边形法则与物理中的矢量的分解与合成是一致的吗？6、你认为“若，则存在唯一实数使”这一说法对吗？其逆命题呢？7、平面上任意两个向量都可以作为基底吗？【考点练习】 一、选择题：1、下列命题正确的是 ( ) A单位向量都相等 B任一向量与它的相反向量不相等 C平行向量不一定是共线向量 D模为0的向量与任意向量共线、如果，则是为平行四边形的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件
5、 D既不充分也不必要条件 、与为非零向量，成立的充要条件是( ) A B C D 、向量和的夹角平分线上的单位向量是：A B C D二、填空题：5、给出下列命题：；若，则；的充要条件是且；若，则；若非零向量，共线，则；若非零向量，则。其中，正确命题的序号是_.6、在平行四边形中，设对角线，用、表示=_,=_.【基础训练】答案1、D； 2、D； 3、C； 4、D； 5、； 6、【题型举例】【例1】 设为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则;(2)若与平行，则；（3）若与平行且，则。上述命题中，假命题个数是（ ）A.0B.1C.2D.3解析：向量是既有大小又有方向的量，与模相同，但方向不一定相
6、同，故（1）是假命题；若与平行，则与方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时，故（2）、（3）也是假命题。综上所述，答案选D。评注：向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。【例2】设两个非零向量不共线，（1）如果，求证：三点共线。（2）试确定实数，使与共线。解析：（1）要证三点共线，只要证明与共线。（2）因为是两个非零向量，且不共线，所以，故要使与共线，只要存在，使即可。评注：（1）为了证明，有两种途径：一是分别求出（用基底表示或用坐标表示），通过比较发现；另一种方法是运用待定系数法进行探求；（2）当不共线时，。【例3】如图，
7、ABCD是一个梯形，ABCD，且AB=2CD，M、N分别是DC、AB的中点，已知,试用分别表示.解析：连结AC, , , , 。评注：本题实质是平面向量基本定理的综合应用。题中三角形较多，需要从中找出相关的三角形，利用向量的加减法和向量相等的条件求解。【例4】如图，设G为OAB的重心，过G的直线与OA，OB分别交于P和Q，已知,OAB与OPQ的面积分别为S和T。求证：（1）； （2）。解析：（1）连结OG并延长交AB于M，则M为AB的中点， 设G分PQ所成比为，则,而, 比较，得，即, 。（2）POQ=AOB，。由题（1）知, 。又 ， ，依题意, , ，因此，成立。评注：解本题的关键是理解向
8、量各种运算的定义，并能熟练应用运算法则。【例5】（2003年，天津卷选择题第4小题，共5分）是平面上一定点，、是平面上不共线的三点，动点满足：，则的轨迹一定通过（）A外心B内心C重心D垂心解析：记则、都是单位向量，设=+，|=|，是菱形，平分，而由条件知 点P的轨迹是射线AQ，且AQ通过ABC的内心.评注：“向量的加法、减法与向量的平行（共线）”等内容是向量学习中最基本的内容，几乎所有的向量问题都要运用这些基本功.【知能训练】一、选择题：1、已知向量若向量与共线，则下列关系一定成立是( ) A B C D或 2、已知正方形边长为1，,则的模等于( ) A0 B3 C D 3、设是单位向量，则四
9、边形是（ ）A梯形 B菱形 C矩形 D正方形 4、设是平面直角坐标系内轴、轴正方向上两个单位向量，且，则四边形ABCD的面积是（ ）A20 B C30 D455、若O为ABC所在平面内一点，且满足则一定有（ ）A B C D【知能训练】答案1、D； 2、C； 3、B； 4、C； 5、A；二、填空题：、设是三个不共线向量，给出下列命题：（1）；（2）；（3）与垂直；（4）若，则。其中正确命题的序号是 。7、已知向量，则的最大值和最小值分别为_.8、m,nR, 都是非零向量,且,有公共的起点, 若终点共线, 则m,n满足关系式_.【知能训练】答案6、； 7、20与4； 8、。三、解答题：9、已知，
10、且。（1）求；（2）求与的夹角，与的夹角。10、如图，一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时喝水的流速为，求船实际航行的速度的大小与方向。11、如图，在OAB中，AB上有一点P（点P不与点A、B重合），设求证： 并且 12、如图，与的夹角为,与的夹角为,用表示【知能训练】答案9、如图所示，以为邻边作平行四边形为菱形（1），（2）在中，与所成的角即与所成的角即与所成的角，等于。10、解：设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的速度在中，所以因为答：船实际航行的速度的大小为，方向与水流速间的夹角为11、证明： 而共线，存实数
11、，使得 、不共线， 消去得而12、解：以O为坐标原点，以OA所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则，由所以,即. 【提高训练】1、设、不共线，则关于的方程的解（ ）A至少一个实数解 B至多一个实数解 C至多两个实数解 D可能无数个实数解2、设G是ABC所在平面上一点，且，则G是ABC的（ ）A内心 B重心 C垂心 D外心【提高训练】答案1、B 2、A提示：1、因为、不共线，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对使得。若，则原方程仅有一解；若，原方程无解。故选B。2、因为，于是=，即，又与模相等，由向量加法的平行四边形法则可知，其和向量为一个菱形的对角线对应向量；由菱形的性质可知在的平分线所在直线上。同理可知，在的平分线所在直线上；在的平分线所在直线上。因此，为ABC的内心。选A。【课后反思】
