1、6.4数列求和、数列的综合应用基础篇【基础集训】考点一数列求和1.在等差数列an中,a4=5,a7=11.设bn=(-1)nan,则数列bn的前100项之和S100=()A.-200B.-100C.200D.100答案D2.数列an的前n项和为Sn,若an=1n(n+1),则S5等于()A.1B.56C.16D.130答案B3.已知等差数列an的前n项和为Sn,且a3=7,a5+a7=26.(1)求an及Sn;(2)令bn=Snn(nN*),求证:数列bn为等差数列.4.已知等差数列an满足(a1+a2)+(a2+a3)+(an+an+1)=2n(n+1)(nN*).(1)求数列an的通项公式
2、;(2)求数列an2n-1的前n项和Sn.考点二数列的综合应用5.已知数列an满足an=log(n+1)(n+2)(nN*),我们把使乘积a1a2a3an为整数的数n叫做“优数”,则在区间(1,2004)内的所有“优数”的和为()A.1024B.2003C.2026D.2048答案C6.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=n2+4n,若首项为13的数列bn满足1bn+1-1bn=an,则数列bn的前10项和为()A.175264B.3988C.173264D.181264答案A7.(2020山东仿真联考3)已知正项数列an满足an+12an,Sn是an的前n项和,则下列四个命题中错误的是()
3、A.an+12na1B.S2k(1+2k)SkC.Sn2an-a1(n2)D.an+1an是递增数列答案D8.已知公差不为0的等差数列an的首项a1=2,且a1+1,a2+1,a4+1成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=1anan+1,nN*,Sn是数列bn的前n项和,求使Sn319成立的最大的正整数n.教师专用题组【基础集训】考点一数列求和1.(2019福建漳州一模,10)已知数列an和bn的首项均为1,且an-1an(n2),an+1an,数列bn的前n项和为Sn,且满足2SnSn+1+anbn+1=0,则S2019=()A.2019B.12019C.4037D.1403
4、7答案Dan-1an(n2),an+1an,anan+1an,an=an+1(n2),另外,由a1a2a1,可得a2=a1=1,an=1.2SnSn+1+anbn+1=0,2SnSn+1+bn+1=0,2SnSn+1+Sn+1-Sn=0,1Sn+1-1Sn=2.数列1Sn是等差数列,首项为1,公差为2.1Sn=1+2(n-1)=2n-1,Sn=12n-1,S2019=14037,故选D.2.(2019广东茂名一模,18)已知Sn为数列an的前n项和,Sn=2an-2.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=an,n=2k-1,log2an,n=2k,kN*,求数列bn的前2n项和T2n.解析
5、(1)由Sn=2an-2,得Sn-1=2an-1-2(n2),-得an=2an-2an-1,an=2an-1(n2),由a1=S1=2a1-2,得a1=2,an是以2为首项,2为公比的等比数列,an=2n.(2)bn=2n,n=2k-1,n,n=2k,kN*.T2n=(b1+b3+b5+b2n-1)+(b2+b4+b6+b2n)=(2+23+25+22n-1)+(2+4+6+2n)=2(1-4n)1-4+(2+2n)n2=-23+234n+n2+n.3.设f(x)=4x4x+2,求S=f12002+f22002+f20012002的值.解析f(x)=4x4x+2,f(1-x)=41-x41-x
6、+2=44+24x=24x+2,f(x)+f(1-x)=1,S=f12002+f22002+f20012002=f20012002+f20002002+f12002,2S=f12002+f22002+f20012002+f20012002+f20002002+f12002=12001=2001,S=20012.考点二数列的综合应用1.(2019湖南岳阳一模,16)已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表,第一行为1,第二行为3,5,第三行为7,9,11,第四行为13,15,17,19,如图所示,在宝塔形数表中位于第i行,第j列的数记为ai,j,例如a3,2=9,a4,2=15,a5,4=2
7、3,若ai,j=2019,则i+j=()1351197131517192927252321 A.64B.65C.71D.72答案C由题中数表可知:第1行有1个奇数,第2行有2个奇数,第n行有n个奇数,则前n行共有n(n+1)2个奇数,设2019在第n行中,又2019是从1开始的连续奇数的第1010个奇数,则有n(n-1)21010,n(n+1)21010,解得n=45,即2019在第45行,则前44行共990个数,又第45行的奇数从右到左,从小到大排列,则2019为第45行从右到左的第1010-990=20个数,即2019为第45行从左到右的第45-20+1=26个数,故i=45,j=26,故
8、i+j=45+26=71,故选C.2.已知函数f(x)=2x-3x-1,点(n,an)在f(x)的图象上,数列an的前n项和为Sn,nN*.(1)求使an0,即n3时,f(n)单调递增,当f(n)0,即1n2时,f(n)单调递减.又an0,即2n-3n-10,当n=2时,22-6-10,当n=3时,23-9-1=-20.使an0的n的最大值为3.(2)Sn=a1+a2+an=(2+22+2n)-3(1+2+3+n)-n=2(1-2n)1-2-3n(n+1)2-n=2n+1-n(3n+5)2-2.3.(2020辽宁葫芦岛兴城高中模拟)设函数f(x)=x2,过点C1(1,0)作x轴的垂线l1交函数
9、f(x)图象于点A1,以A1为切点作函数f(x)图象的切线交x轴于点C2,再过C2作x轴的垂线l2交函数f(x)图象于点A2,以此类推得点An,记An的横坐标为an,nN*.(1)证明数列an为等比数列,并求出通项公式;(2)设直线ln与函数g(x)=log12x的图象相交于点Bn,记bn=OAnOBn(其中O为坐标原点),求数列bn的前n项和Sn.解析(1)以点An-1(an-1,an-12)(n2)为切点的切线方程为y-an-12=2an-1(x-an-1).当y=0时,x=12an-1,即an=12an-1,又a1=1,数列an是以1为首项,12为公比的等比数列,通项公式为an=12n-
10、1.(2)由题意,得Bn12n-1,n-1,bn=OAnOBn=14n-1+14n-1(n-1)=n14n-1,Sn=1140+2141+n14n-1,14Sn=1141+2142+n14n.两式相减,得34Sn=1140+14+14n-1-n14n=1-14n1-14-n14n,化简,得Sn=169-4n3+16914n=169-3n+494n-1.综合篇【综合集训】考法一错位相减法求和1.(2020广东揭阳第三中学第一次月考,19)已知an是公差d0的等差数列,a2,a6,a22成等比数列,a4+a6=26,数列bn是公比q为正数的等比数列,且b3=a2,b5=a6.(1)求数列an,bn
11、的通项公式;(2)求数列anbn的前n项和Tn.2.(2020普通高等学校招生全国统一考试考前演练)已知数列an为等差数列,Sn是数列an的前n项和,且a2=2,S3=a6,数列bn满足b2=2b1=4,当n3,nN*时,a1b1+a2b2+anbn=(2n-2)bn+2.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)令cn=anbn,nN*,证明:c1+c2+cn2.考法二裂项相消法求和3.(2020湖南长沙明德中学3月月考)在各项都为正数的等比数列an中,若a1=2,且a1a5=64,则数列an(an-1)(an+1-1)的前n项和是()A.1-12n+1-1B.1-12n+1C.1-12n+1
12、D.1-12n-1答案A4.(2019湖南岳阳一模,13)曲线y=n2x+lnx(nN*)在x=2n处的切线斜率为an,则数列1anan+1的前n项和为.答案nn+15.(2020天津静海大邱庄中学第一次质量检测,20)已知等比数列an的首项为1,公比为q,a4,a3,a5依次成等差数列.(1)求q的值;(2)当q0时,求证:i=1nai22i-132-ai234.教师专用题组【综合集训】考法一错位相减法求和1.(2018福建闽侯第八中学期末,16)已知数列nan的前n项和为Sn,且an=2n,则使得Sn-nan+1+500的最小正整数n的值为.答案5解析Sn=121+222+n2n,则2Sn
13、=122+223+n2n+1,两式相减得-Sn=2+22+2n-n2n+1=2(1-2n)1-2-n2n+1,故Sn=2+(n-1)2n+1,因为an+1=2n+1,故Sn-nan+1+50=2+(n-1)2n+1-n2n+1+50=52-2n+1,令52-2n+10,Sn0,Sn+1+1Sn+1=an+1an,S2+1S1+1S3+1S2+1Sn+1+1Sn+1=a2a1a3a2an+1an,化简,得Sn+1+1=2an+1.当n2时,Sn+1=2an.故可得an+1=2an,即an+1an=2(n2),当n=1时,a2=2,n=1时上式也成立,数列an是首项为1,公比为2的等比数列,an=
14、2n-1.bn=(n+1)an,bn=(n+1)2n-1,Tn=220+321+422+n2n-2+(n+1)2n-1,2Tn=221+322+423+n2n-1+(n+1)2n,-Tn=2+21+22+2n-1-(n+1)2n=2+2(1-2n-1)1-2-(n+1)2n=-n2n,Tn=n2n.(2)令n=1,得a2=+1,令n=2,得a3=(+1)2,要使数列an是等差数列,必须有2a2=a1+a3,解得=0.当=0时,Sn+1an=(Sn+1)an+1,且a2=a1=1.当n2时,Sn+1(Sn-Sn-1)=(Sn+1)(Sn+1-Sn),整理,得Sn2+Sn=Sn+1Sn-1+Sn+
15、1,则有Sn+1Sn-1+1=Sn+1Sn,从而S2+1S1+1S3+1S2+1Sn+1Sn-1+1=S3S2S4S3Sn+1Sn,化简,得Sn+1=Sn+1,an+1=1,综上所述,an=1(nN*).=0时,数列an是等差数列.考法二裂项相消法求和1.(2018湖南株洲醴陵第二中学、第四中学联考,3)数列1n+1+n的前2017项的和为()A.2018+1B.2018-1C.2017+1D.2017-1答案B因为1n+1+n=n+1-n,所以S2017=2017+1-2017+2016+1-2016+2-1=2018-1.故选B.2.(2020浙江省重点高中统练,15)已知数列an的各项均
16、为正数,a1=2,an+1-an=4an+1+an,若数列1an+1+an的前n项和为5,则n=.答案120解析本题考查等差数列的概念以及数列的前n项和;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养.由已知可得an+12-an2=4,即数列an2是等差数列,首项是a12=4,公差是4,所以an2=4+4(n-1)=4n,又an0,所以an=2n,所以1an+1+an=12n+1+2n=n+1-n2,由题意得5=2-12+3-22+n+1-n2=n+1-12,解得n=120.3.(2018湖北十堰调研,17)已知数列an中,a1=1,a2=3,其前n项和为Sn,且当n2时,an+1Sn-1-a
17、nSn=0.(1)求证:数列Sn是等比数列,并求数列an的通项公式;(2)令bn=9an(an+3)(an+1+3),记数列bn的前n项和为Tn,求Tn.解析(1)当n2时,an+1Sn-1-anSn=(Sn+1-Sn)Sn-1-(Sn-Sn-1)Sn=Sn+1Sn-1-Sn2=0,Sn2=Sn-1Sn+1(n2).又由S1=a1=10,S2=a1+a2=40,可推知对一切正整数n均有Sn0,数列Sn是等比数列,Sn=4n-1.当n2时,an=Sn-Sn-1=34n-2,又a1=1,an=1(n=1),34n-2(n2).(2)当n2时,bn=9an(an+3)(an+1+3)=934n-2(34n-2+3)(34n-1+3)=34n-2(4n-2+1)(4n-1+1),又知b1=38,bn=38(n=1),34n-2(4n-2+1)(4n-1+1)(n2),则T1=b1=38.当n2时,bn=34n-2(4n-2+1)(4n-1+1)=14n-2+1-14n-1+1,则Tn=38+142-2+1-142-1+1+14n-2+1-14n-1+1=78-14n-1+1,又当n=1时,T1=38符合上式,Tn=78-14n-1+1(nN*).