1、易错点 4 函数的图象 一、单项选择题 1.形如=|(0,0)的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数()=2+1(0且 1)有最小值，则当=1,=1时的“囧函数”与函的图象交点个数为()A.1 B.2 C.4 D.6 2.已知实数 m 是给定的常数，函数()=3 2 2 1的图象不可能是()A.B.C.D.3.记实数1 ，2 ，中的最大数为max1,2,，最小数为min1,2,，则+1,2 +1,+6=()A.34 B.1 C.3 D.72 4.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相
2、互转化、对称统一的形式美、和谐美.给出定义：能够将圆 O 的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”给出下列命题：正弦函数=sin可以是无数个圆的“优美函数”；函数()=201812018+1+2019可以是无数个圆的“优美函数”；函数()=ln(2+2+1)可以是某个圆的“优美函数”；函数=()是“优美函数”的充要条件为函数=()的图象是中心对称图形.其中正确命题的序号是()A.B.C.D.5.定义在 R 上的函数()同时满足：对任意的 都有(+1)=()；当 (1,2时，()=2 .若函数()=()log(1)恰有 3 个零点，则 a 的最大值是 ()A.5 B.2 C.3 D.4
3、 6.定义在 R 上的函数()同时满足：对任意的 都有(+1)=()；当 (1,2时，()=2 .若函数()=()log(1)恰有 3 个零点，则 a 的最大值是()A.5 B.2 C.3 D.4 7.已知函数()与()的图象如图所示，则不等式()()0 0时，方程()=0，只有一个实数根 C.=()的图象关于点(0,)对称 D.方程()=0，至多有两个实数根 10.设()是函数()的导函数，将=()和=()的图象画在同一个直角坐标系中，可能正确的是()A.B.C.D.11.如图，某池塘里浮萍的面积(单位：2)，与时间(单位：月)的关系为=，(0且 1)，则下列说法正确的是()浮萍每月的增长率
4、为 1 第 5 个月时，浮萍的面积就会超过302 浮萍每月增加的面积都相等 若浮萍蔓延到22，32，62所经过的时间分别为1，2，3，则1+2=3 A.B.C.D.12.已知函数()的导函数()的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数()的图象的是()A.B.C.D.三、填空题 13.设函数，若函数()恰有 3 个零点，则实数 m 的取值范围为_ 14.表示不超过 x 的最大整数，例如2.9=2，4.1=5，已知()=()，()=log4(1)，则函数()=()()的零点个数是_ 15.已知函数()=(2+1)+1+(,e 是自然对数的底数).若有且仅有 3个负整数1，2，3，使得(1)0，
5、(2)0，(3)0，则 a 的最小值是_ 16.对于函数=lg|3|和=sinx2(4 10)，下列说法正确的是_(1)函数=lg|3|的图象关于直线=3对称；(2)=sinx2(4 10)的图象关于直线=3 对称；(3)两函数的图象一共有 10 个交点；(4)两函数图象的所有交点的横坐标之和等于 30；(5)两函数图象的所有交点的横坐标之和等于 24 四、解答题 17.设函数，其中0 3，已知(6)=0()求；()将函数=()的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4 个单位，得到函数=()的图象，求()在4,34 上的最小值 18.已知函数()=sin
6、2，将函数=()的图象上每个点的纵坐标扩大到原来的 2倍，再将图象上每个点的横坐标缩短到原来的12，然后向左平移6 个单位，再向上平移32 个单位，得到=()的图象(1)当 0,2 时，求()的值域；(2)已知锐角 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若()=34，=4，+=5，求 的面积 19.已知，将函数()的图象向左平移12个单位得到函数=()的图象(1)求函数()的最小正周期和单调递减区间；(2)当 4,4 时，求函数()的取值范围 20.已知函数()=2 2(其中 p，q 是实数)的部分图象如图所示 (1)求函数()=(+)形式的解析式及其最小正周期；(2)将函数=()的图
7、象向左平移(0 1,2,0 0)，若存在唯一的 x，使得()=(),()的最小值为()，则实数 a 的取值范围为_(4)已 知 中，32+72=2+22，则sin(+4)=_ 一、单项选择题 1.形如=|(0,0)的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数()=2+1(0且 1)有最小值，则当=1,=1时的“囧函数”与函的图象交点个数为()A.1 B.2 C.4 D.6【答案】C【解析】函数()=2+1(0,1)有最小值，1，当=1,=1时，=|=1|1，画出函数=1|1与=log|的图象在同一坐标系数内的图象：结合图形，得到交点个数有 4 个 故选 C
8、2.已知实数 m 是给定的常数，函数()=3 2 2 1的图象不可能是()A.B.C.D.【答案】D【解析】当=0时，C 符合题意；当 0时，()=32 2 2，=4+242 0，设32 2 2=0的两根为1，2，则12=23 0时是单调递增的，大致图象如图 1，故其不可能为圆的“优美函数”；不正确；函数=()的图象是中心对称图形，则=()是“优美函数”，但函数=()是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图 2，故错误 故选 B 5.定义在 R 上的函数()同时满足：对任意的 都有(+1)=()；当 (1,2时，()=2 .若函数()=()log(1)恰有 3 个零点，则 a 的最大值
9、是 ()A.5 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】画出函数=()的图象，如下图所示 若函数()=()log(1)恰有 3 个零点，则函数=log的图象与函数=()的图象有 3 个交点 则需满足log2 13 1，解得2 1)恰有 3 个零点，则 a 的最大值是()A.5 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由题意得方程有三个解，所以函数=()和的图象有三个交点，因为对任意的 都有(+1)=()，所以函数=()是周期为 1 的函数，又当 (1,2时，()=2 ，画出函数=()的图象，如下图所示 结合图象可得，要使两函数的图象有三个交点，则需满足2 13 1，解得2 ()0 ()0 0时
10、，方程()=0，只有一个实数根 C.=()的图象关于点(0,)对称 D.方程()=0，至多有两个实数根【答案】ABC【解析】对:当=0时，()=|+，()=()恒成立，故 A 正确 对:=0,0时，得()=|+在 R 上为单调增函数，且值域为 R，故方程()=0，只有一个实数根，故 B 正确 对:因为()=|+，所以()+()=2，可得函数()的图象关于点(0,)对称，故 C 正确 对:当 0时，函数()的大致图像如下图.此时方程()=0有 3 个实根，且为根最多的情况，故 D 错误 故选 ABC 10.设()是函数()的导函数，将=()和=()的图象画在同一个直角坐标系中，可能正确的是()A
11、.B.C.D.【答案】ABC【解析】.若()是二次函数图象，则递增时，递减时，图形符合，B.若,()是与 x 轴无交点的曲线的图象，根据图象恒成立，则()单调递增，图形符合，C.若()是下面的图象，呈单调递增，则，图形符合，D.若()是上面的图象，左递增，则，图形不符合，若()是下面的图象，中间递减，则，图形不符合，故选 ABC 11.如图，某池塘里浮萍的面积(单位：2)，与时间(单位：月)的关系为=，(0且 1)，则下列说法正确的是()浮萍每月的增长率为 1 第 5 个月时，浮萍的面积就会超过302 浮萍每月增加的面积都相等 若浮萍蔓延到22，32，62所经过的时间分别为1，2，3，则1+2
12、=3 A.B.C.D.【答案】ABD【解析】由题意可知：浮萍蔓延的面积(2)与时间(月)的关系：=(0且 1)，且由函数图象可知函数过点(1,2)，1=2，=2，这个指数函数的底数是 2，可知浮萍每月的增长率为 1，正确；函数的解析式为：=2，对于，当=5时，=25=32 30，故第 5 个月时，浮萍的面积就会超过302，成立；对于，浮萍一月增加的面积与浮萍二月增加的面积不相等，C 错误；对于，由于：2=21，3=22，6=23，1=1，2=log23，3=log26，又因为1+log23=log22+log23=log22 3=log26，若浮萍蔓延到22，32，62所经过的时间分别为1，2
13、，3，则1+2=3成立 正确为：故选：A、B、D 12.已知函数()的导函数()的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数()的图象的是()A.B.C.D.【答案】BCD【解析】由导函数图象可知，函数()在(,0)，(2,+)上递增，在(0,2)上递减，由选项可知，只有选项 A 符合题意，选项 B，C，D 均不合题意 故选 BCD 三、填空题 13.设函数，若函数()恰有 3 个零点，则实数 m 的取值范围为_【答案】(1,2【解析】由题意，设函数 令()=0，即()=，所以问题转化为=()，=有 3 个交点，在坐标系内，作出函数()的图象如下所示：结合图象可知：1 2，故实数 m 的取值范围
14、为(1,2 故答案为(1,2 14.表示不超过 x 的最大整数，例如2.9=2，4.1=5，已知()=()，()=log4(1)，则函数()=()()的零点个数是_【答案】2【解析】当0 1时，=0，则()=，当1 2时，=1，则()=1，当2 3时，=2，则()=2，当3 4时，=3，则()=3，当4 5时，=4，则()=4，当5 6时，=5，则()=5，此时()0,1)，即当 +1，1且 n 为整数时，=，则()=0,1)，由()=()()=0得()=()，分别作出函数()和()的图象如图：则两个函数图象有 2 个交点，故函数零点的个数为 2 个，故答案为 2 15.已知函数()=(2+1
15、)+1+(,e 是自然对数的底数).若有且仅有 3个负整数1，2，3，使得(1)0，(2)0，(3)0，则 a 的最小值是_【答案】532【解析】由()0可得(2+1)+1 令()=(2+1)+1，()=，则()=(2+3)+1，当 32，()32，()0，故=32是极小值点，且(12)=0，故()的图象如图所示 显然，当 0时满足()0的负整数 x 有无数个，因此 (4)即52 373 4，解得532 743，则 a 的最小值是532，故答案为532 16.对于函数=lg|3|和=sinx2(4 10)，下列说法正确的是_(1)函数=lg|3|的图象关于直线=3对称；(2)=sinx2(4
16、10)的图象关于直线=3 对称；(3)两函数的图象一共有 10 个交点；(4)两函数图象的所有交点的横坐标之和等于 30；(5)两函数图象的所有交点的横坐标之和等于 24【答案】(2)(3)(4)【解析】在同一坐标系中画出函数=lg|3|和=sin2(4 10)的图象如下图所示：由图可知：函数=lg|3|的图象关于直线=3对称，故(1)错误；当=3时，=sin2 取最小值1，即直线=3为函数=sin2 的一条对称轴，又由定义域关于=3对称，故(2)正确；两函数的图象一共有 10 个交点，故(3)正确；由图知，两曲线的 10 个交点关于直线=3对称，即这些交点的平均数为 3，故所有交点的横坐标之
17、和等于 30，故(4)正确，(5)错误，故正确的命题有(2)(3)(4)故答案为(2)(3)(4)四、解答题 17.设函数，其中0 3，已知(6)=0()求；()将函数=()的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4 个单位，得到函数=()的图象，求()在4,34 上的最小值【答案】解：()函数()=sin(66)+sin(2)=sincos6 cossin6 sin(2 )=32 sin 32 cos=3sin(3)，又(6)=3sin(6 3)=0，6 3=，解得=6+2，又0 3，=2;()由()知，()=3sin(2 3)，将函数=()的图象上各点
18、的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到函数=3sin(3)的图象；再将得到的图象向左平移4 个单位，得到=3sin(+4 3)的图象，函数()=3sin(12);当 4,34 时，12 3,23，sin(12)32,1，当=4 时，()取得最小值是 32 3=32 18.已知函数()=sin2，将函数=()的图象上每个点的纵坐标扩大到原来的 2倍，再将图象上每个点的横坐标缩短到原来的12，然后向左平移6 个单位，再向上平移32 个单位，得到=()的图象(1)当 0,2 时，求()的值域；(2)已知锐角 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若()=34，=4，+=5，求 的面
19、积【答案】解：(1)()=sin2，将函数=()的图象上每个点的纵坐标扩大到原来的 2 倍，得()=sin，再将图象上每个点的横坐标缩短到原来的12，得到()=sin2，然后向左平移6 个单位，得到()=sin(2+3)，再向上平移32 个单位，得到()=sin(2+3)+32；当 0,2，2+3 3,43，则，sin(2+3)32,1 所以()=sin(2+3)+32 0,1+32 (2)()=sin2=34 =3 或23 (由题意三角形为锐角三角形，故舍去23)，=12 sin，cos=2+222=(+)2222，又=4，+=5，代入得=3，则=334 19.已知，将函数()的图象向左平移
20、12个单位得到函数=()的图象(1)求函数()的最小正周期和单调递减区间；(2)当 4,4 时，求函数()的取值范围【答案】解：(1)由题意得，32 =cossin 3cos2+32 =12 sin2 32 2=sin(2 3)，所以()=sin(2 6)，函数()的最小正周期为=22=，要求()的单调递减区间，只需2+2 2 6 2+32，k，解得+3 +56，k，所以()的单调递减区间为+3,+56，；(2)由(1)得()=sin(2 6)，因为4 4，所以23 2 6 3，此时sin(2 6)1,32，所以()在区间4,4 上的取值范围在区间为1,32.20.已知函数()=2 2(其中
21、p，q 是实数)的部分图象如图所示 (1)求函数()=(+)形式的解析式及其最小正周期；(2)将函数=()的图象向左平移(0 )个单位长度后，得到函数=()的图象，已知点(0,5)，若函数=()的图象上存在点 Q，使得=3，求函数=()在区间6,23 内的单调增区间和最值【答案】解：(1)()=2 2，则由图象得6 6=3,43 43=2,解得=3,=1,故()=3sin 2+cos 2=2(2+6)，故函数()的解析式为()=2(2+6)，最小正周期=(2)由(1)可知()=(+)=2(2+2+6).于是当且仅当(0,2)在=()的图象上时满足条件 (0)=2(2+6)=2 由0 1,2,0
22、 0)，若存在唯一的 x，使得()=(),()的最小值为()，则实数 a 的取值范围为_(4)已 知 中，32+72=2+22，则sin(+4)=_【答案】(1)23(2)16(+1)(2+1)(3)0=2 4 0或=0，所以 0,4),故所求概率为46=23 故答案为23(2)观察规律，可令=1，=，则有12+22+2=16(+1)(2+1)故答案为16(+1)(2+1)(3)根据函数的性质，画出函数()，()的图象，()=(),()的最小值为()应为(1)=(1)=+2，所以+2 0，即 2 故答案为 2(4)设 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，因为32+72=2+22，由正弦定理得32+72=2+22，由余弦定理，=2+222，故=2+12(+5)，故 2=5sin()=12(+5)5，当且仅当=5时，取等号，而5sin()5，故 2=5，又sin2+cos2=1，解得=55，=255，故sin(+4)=4+4=1010 故答案为 1010