1、第四节直线与圆、圆与圆的位置关系考点一直线与圆、圆与圆的位置关系 例1(1)(2013陕西高考)已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切 B相交 C相离 D不确定(2)(2014南昌模拟)若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x2y2kx2yk2150相切，则实数k的取值范围是_自主解答(1)因为M(a，b)在圆O：x2y21外，所以a2b21，而圆心O到直线axby1的距离d0，解得k0，即(k2)(k3)0，解得k2或k0，所以直线与圆相交又圆x2y21的圆心坐标为(0,0)，且001，所以直线不过圆心法二：圆x2y21的圆心坐标为(0,0)，半径
2、长为1，则圆心到直线yx1的距离d.因为0r1r2，两圆外离，两圆有4条公切线考点二与圆有关的弦长问题 例2(1)(2013安徽高考)直线x2y50被圆x2y22x4y0截得的弦长为()A1 B2 C4 D4(2)(2013江西高考)过点(，0)引直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A. B C D自主解答(1)因为圆心(1,2)到直线x2y50的距离d1，且圆的半径r.所以所得弦长24.(2)由于y，即x2y21(y0)，直线l与x2y21(y0)交于A，B两点，如图所示，SAOB11sinAOB，且当AOB90时，SAOB取得最大值，
3、此时AB，点O到直线l的距离为，则OCB30，所以直线l的倾斜角为150，则斜率为.答案(1)C(2)B【方法规律】计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算(2)代数方法运用韦达定理及弦长公式|AB|xAxB|.1直线yx被圆x2(y2)24截得的弦长为_解析：法一：几何法：圆心到直线的距离为d，圆的半径r2，所以弦长l222.法二：代数法：联立直线和圆的方程消去y可得x22x0，所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2)，(0,0)，弦长为2.答案：22(2014济南模拟)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴
4、上，直线l：yx1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为_解析：由题意，设所求的直线方程为xym0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知22(a1)2，解得a3或a1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a3，故圆心坐标为(3,0)因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有30m0，即m3，故所求的直线方程为xy30.答案：xy30高频考点考点三 圆的切线问题1与圆有关的切线问题，是近年来高考在本节命题的一个热点问题，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为中、低档题目2高考对圆的切线问题的考查主要有以下几个命题角度：(1)过圆上一点求圆的切线方程；(2)过圆外一点求圆的切
5、线方程；(3)与切线长有关的问题；(4)与切线夹角有关的问题例3(1)(2012江西高考)过直线xy20上点P作圆x2y21的两条切线，若两条切线的夹角是60，则点P的坐标是_(2)(2013江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y2x4.设圆C的半径为1，圆心在l上若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围自主解答(1)如图所示，|OP|2，设P(x，y)，则故P(，)(2)由题意知，圆心C是直线y2x4和yx1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在设过A(0,3)的圆C的切线
6、方程为ykx3，依题意知，1，所以k0或，因此，切线方程为y3或yx3，即切线方程为y30或3x4y120.因为圆心在直线y2x4上，所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21.设点M(x，y)，因为MA2MO，所以2，化简得x2y22y30，即x2(y1)24，所以点M在以D(0，1)为圆心，2为半径的圆上由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|21|CD21，即13.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以点C的横坐标a的取值范围为0，.答案(1)(，)与圆的切线有关的问题的常见类型与解题策略(1)过圆上一点求圆的切线方程首先考虑切线斜率不存在时，是否
7、符合要求，其次考虑斜率存在时，由直线与圆相切，求出斜率k，进而得出切线方程(2)过圆外一点求圆的切线方程方法同上(3)与切线长有关的问题解题时应注意圆心与切点的连线与切线垂直，从而得出一个直角三角形，然后求解(4)与切线有关的夹角问题与(3)相同，利用直角三角形解决问题1(2014大庆模拟)已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x4y40与圆C相切，则圆C的方程为()A. x2y22x30 B. x2y24x0C. x2y22x30 D. x2y24x0解析：选D设圆心的坐标为(a,0)(a0)，又因为直线3x4y40与圆C相切，所以2，解得a2或(舍)，因此圆的方程为(x2)2y2
8、22，即x2y24x0.2(2014豫东、豫北十校联考)圆心在曲线y(x0)上，且与直线3x4y30相切的面积最小的圆的方程为()A(x2)229B(x3)2(y1)22C(x1)2(y3)22D(x)2(y)29解析：选A设所求圆的圆心坐标是(a0)，则点(a0)到直线3x4y30的距离d3，当且仅当3a，即a2时取等号，因此所求圆的圆心坐标是，半径是3，圆的方程为(x2)229.课堂归纳通法领悟2种方法解决直线与圆位置关系的两种方法见本节考点一方法规律3个注意点直线与圆相切、相交的三个注意点(1)涉及圆的切线时，要注意过切点的半径与切线垂直；(2)当直线与圆相交时，半弦、弦心距、半径所构成的直角三角形在解题中起到关键的作用，解题时要注意把它与点到直线的距离公式结合起来使用；(3)判断直线与圆相切，特别是过圆外一点求圆的切线时，应有两条在解题中，若只求得一条，则说明另一条的斜率不存在，这一点经常忽视，应注意检验、防止出错
