1、真题引领洞悉考情1.(2017全国卷)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.B.C.D.【解析】选B.如图,画出圆柱的轴截面:r=BC=,那么圆柱的体积V=r2h=1=.2. (2018全国卷)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.12B.18C.24D.54【解析】选B.设ABC的边长为a,则SABC=a2sin C=a2=9,解得a=6,如图所示,当点D在底面上的射影为三角形ABC的中心H时,三棱锥D-ABC的体积最大,设球心为O,则在直角三角形AHO中,
2、AH=6=2,OA=R=4,则OH=2,所以DH=2+4=6,所以三棱锥D-ABC的体积最大值为V=SABCDH=96=18.3.(2018全国卷)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45,若SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为_.【解析】如图:设SA=SB=l,底面圆半径为r,因为SA与圆锥底面所成角为45,所以l=r,在SAB中,AB2=SA2+SB2-2SASBcosASB=r2,AB=r,AB边上的高为=r,SAB的面积为5,所以rr=5,解得r=2,所以该圆锥的侧面积为rl=r2=40.答案:404.(2017全国卷)如图,四面体ABCD中,AB
3、C是正三角形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD平面ABC.(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.【解析】(1)取AC中点O,连接OD,OB.由ABD=CBD,AB=BC=BD知ABDCBD,所以CD=AD.由已知可得ADC为等腰直角三角形,D为直角顶点,则ODAC,设正ABC边长为a,则OD=AC=a,OB=a,BD=a,所以OD2+OB2=BD2,即ODOB.又OBAC=O,所以OD平面ABC,又OD平面ACD,所以平面ACD平面ABC.(2)以OA,OB,OD所在直线分别为x轴,
4、y轴,z轴建立空间直角坐标系,由(1)得当E为BD中点时,平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,故可得A,D,C,E,则=,=.设平面ADE的一个法向量为n1=,则即令z1=1,则x1=1,y1=,所以n1=.同理可得平面AEC的一个法向量n2=,所以cos=.因为二面角D-AE-C的平面角为锐角,所以二面角D-AE-C的余弦值为.【加练备选】1.(2017全国卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)证明:平面PAB平面PAD.(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,求二面角A-PB-C的余弦值.【解析】(1)因为BAP=CDP=90,所以PA
5、AB,PDCD,又因为ABCD,所以PDAB,又因为PDPA=P,PD,PA平面PAD,所以AB平面PAD,又因为AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)取AD中点O,BC中点E,连接PO,OE,因为ABCD,所以四边形ABCD为平行四边形,所以OEAB,由(1)知,AB平面PAD,所以OE平面PAD,又因为PO,AD平面PAD,所以OEPO,OEAD,又因为PA=PD,所以POAD,所以PO,OE,AD两两垂直,所以以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设PA=2,所以D,B,P,C,所以=,=,=,设n=为平面PBC的法向量,由得令y=1,则z=,x=0,可得平面PBC的一
6、个法向量n=,因为APD=90,所以PDPA,又因为PDAB,PAAB=A,所以PD平面PAB,即是平面PAB的一个法向量,=,所以cos=-,由图知二面角A-PB-C为钝二面角,所以它的余弦值为-.2.(2016全国卷)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,AFD=90,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60.(1)证明:平面ABEF平面EFDC.(2)求二面角E-BC-A的余弦值.【解析】(1)因为ABEF为正方形,所以AFEF.因为AFD=90,所以AFDF.因为DFEF=F,所以AF面EFDC,AF面ABEF,所以平面ABEF平面
7、EFDC.(2)由(1)知DFE=CEF=60.因为ABEF,AB平面EFDC,EF平面EFDC,所以EF平面ABCD,AB平面ABCD.因为面ABCD面EFDC=CD,所以ABCD,所以CDEF,所以四边形EFDC为等腰梯形,以E为原点,如图建立坐标系,设FD=a,E(0,0,0),B(0,2a,0),C,A(2a,2a,0),=(0,2a,0),=,=(-2a,0,0).设平面BEC的法向量为m=(x1,y1,z1).即令x1=,则m=(,0,-1).设平面ABC法向量为n=(x2,y2,z2),即令y2=,则n=(0,4).设二面角E-BC-A的大小为.cos =-,所以二面角E-BC-
8、A的余弦值为-.5.(2018全国卷)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC.(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30,求PC与平面PAM所成角的正弦值.【解析】(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OPAC,且OP=2.连接OB.因为AB=BC=AC,所以ABC为等腰直角三角形,且OBAC,OB=AC=2.由OP2+OB2=PB2知POOB.由OPOB,OPAC,OBAC=O,知PO平面ABC.(2)连接OM,如图,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,的方向为y轴正方向,的方向为z轴正方向,建立空间直角坐标系.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),=(0,2,2),取平面PAC的法向量=(2,0,0).设M(a,2-a,0)(0a2),则=(a,4-a,0).设平面PAM的法向量为n=(x,y,z).由n=0,n=0得可取n=(a-4),a,-a),所以cos=.由已知得|cos|=.所以=.解得a=-4(舍去),a=.所以n=.又=(0,2,-2),所以cos=.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.关闭Word文档返回原板块
