1、1 数据链接 真题试做2 数据聚焦 考点梳理a3 数据剖析 题型突破第4讲 代数式与整式 目 录 数据链接 真题试做 1 2 3 命题点 列代数式 命题点 代数式求值 命题点 整式的运算 命题点 2 因式分解 4 列代数式 命题点1返回子目录 1.(2013河北,9)如图,淇淇和嘉嘉做数学游戏:假设嘉嘉抽到牌的点数为x,淇淇猜中的结果应为y,则y=()A.2B.3C.6D.x+3B数据链接 真题试做 1 返回子目录 2.(2021河北,17)现在甲、乙、丙三种不同的矩形纸片(边长如图).(1)取甲、乙纸片各1块,其面积和为 ;(2)嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形,先取甲纸片1块,再取
2、乙纸片4块,还需取丙纸片 块.a2+b24 3.(2017河北,4)个+个=()返回子目录 A.B.C.D.B代数式求值 命题点2返回子目录 4.(2013河北,5)若x=1,则|x-4|=()A.3B.-3 C.5D.-5 5.(2012河北,11)如图,两个正方形的面积分别为16,9,两阴影部分面积分别为a,b(ab),则(a-b)等于()A.7B.6 C.5D.4 AA6.(2012河北,15)已知y=x-1,则(x-y)2+(y-x)+1的值为 .返回子目录 7.(2016河北,18)若mn=m+3,则2mn+3m-5nm+10=.1 1 整式的运算 命题点3返回子目录 8.(2021
3、河北,2)不一定相等的一组是()A.a+b与b+aB.3a与a+a+a C.a3与aaaD.3(a+b)与3a+b9.(2020河北,2)墨迹覆盖了等式“x3 x=x2(x0)”中的运算符号,则覆盖的是()A.+B.-C.D.DD10.(2020河北,11)若k为正整数,则 =()返回子目录 A.k2kB.k2k+1 C.2kkD.k2+k11.(2019河北,6)小明总结了以下结论:a(b+c)=ab+ac;a(b-c)=ab-ac;(b-c)a=ba-ca(a0);a(b+c)=ab+ac(a0).其中一定成立的个数是()A.1B.2 C.3D.4AC12.(2018河北,13)若2n+2
4、n+2n+2n=2,则n=()返回子目录 A.a+b与b+aB.3a与a+a+a C.a3与aaaD.3(a+b)与3a+b13.(2016河北,2)计算正确的是()A.(-5)0=0B.x2+x3=x5 C.(ab2)3=a2b5D.2a2a-1=2aAD14.(2015河北,4)下列运算正确的是()返回子目录 A.=-B.6107=6 000 000C.(2a)2=2a2D.a3a2=a515.(2010河北,3)下列计算正确的是()A.20=0B.a+a=a2C.=3D.(a3)2=a6DD16.(2011河北,4)下列运算正确的是()返回子目录 A.2x-x=1B.x+x4=x5 C.
5、(-2x)3=-6x3D.x2yy=x2 17.(2018河北,4)将9.52变形正确的是()A.9.52=92+0.52B.9.52=(10+0.5)(10-0.5)C.9.52=102-2100.5+0.52D.9.52=92+90.5+0.52 DC返回子目录 18.(2019河北,18)如图,约定:上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向 的数.示例:即4+3=7,则:(1)用含x的式子表示m=;(2)当y=-2时,n的值为 .3x1 19.(2019河北,21)已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2,整式B0.尝试 化简整式A.发现 A=B2.求整式B.联想 由上可知,B2=(n
6、2-1)2+(2n)2,当n1时,n2-1,2n,B为直角三角形的三边长,如图.填写下表中B的值:返回子目录 直角三角形三边2-12nB勾股数组 8勾股数组 35返回子目录 解:尝试 A=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1.发现 A=n4+2n2+1=(n2+1)2,又A=B2,B0,B=n2+1.联想 勾股数组 17 勾股数组 37 返回子目录 20.(2020河北,21)有一电脑程序:每按一次按键,屏幕的A区就会自动加上a2,同时B区就会自动减去3a,且均显示化简后的结果.已知A,B两区初始显示的分别是25和-16,如图.如,第一次按键后,A,B两区分别显示:A区 25+a2B区-
7、16-3a返回子目录(1)从初始状态按2次后,分别求A,B两区显示的结果;(2)从初始状态按4次后,计算A,B两区代数式的和,请判断这个和能为负数吗?说明理由.解:(1)25+2a2；-16-6a.(2)25+4a2+(-16-12a)=(2a-3)20,和不能为负数.返回子目录 21.(2018河北,20)嘉淇准备完成题目:化简(x2+6x+8)-(6x+5x2+2).发现系数“”印刷不清楚.(1)他把“”里的数字猜成3,请你化简:(3x2+6x+8)-(6x+5x2+2);(2)他妈妈说:“你猜错了,我看到该题标准答案的结果是常数.”通过计算说明原题中“”是几?解:(1)原式=3x2+6x
8、+8-6x-5x2-2=-2x2+6.(2)设“”为a,则原式=ax2+6x+8-6x-5x2-2=(a-5)x2+6,该题标准答案的结果是常数,a-5=0.a=5.故“”是5.返回子目录 22.(2015河北,21)老师在黑板上书写了一个正确的演算过程,随后用手掌捂住 了一个二次三项式,形式如下:-3x=x2-5x+1.(1)求所捂的二次三项式;(2)若x=+1,求所捂二次三项式的值.解:(1)设所捂的二次三项式为A,则A=x2-5x+1+3x=x2-2x+1.(2)x2-2x+1=(x-1)2,x=+1,x-1=.当x=+1时,原式=()2=6.返回子目录 23.(2017河北,22)发现
9、 任意五个连续整数的平方和是5的倍数.验证(1)(-1)2+02+12+22+32的结果是5的几倍?(2)设五个连续整数的中间一个为n,写出它们的平方和,并说明是5的倍数.延伸 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢?请写出理由.解:验证(1)(-1)2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15=53,结果是5的3倍.(2)五个连续整数的平方和为(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2,化简,得5n2+10=5(n2+2),n为整数,这五个连续整数的平方和是5的倍数.返回子目录 延伸 余数是2.理由:设中间的整数为n,则(n-1)2+n2+(n+1)2=3n2+
10、2,被3除,余2.因式分解 命题点4返回子目录 24.(2020河北,3)对于x-3xy=x(1-3y),(x+3)(x-1)=x2+2x-3,从左到右的变形,表述正确的是()A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.是因式分解,是乘法运算D.是乘法运算,是因式分解 C返回子目录 25.(2020河北,9)若()()=81012,则k=()A.12 B.10 C.8D.6 B26.(2013河北,4)下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是()A.a(x-y)=ax-ay B.x2+2x+1=x(x+2)+1 C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3D.x3-x=x(x+1)(x-1)D27.(
11、2011河北,3)下列分解因式正确的是()返回子目录 A.-a+a3=-a(1+a2)B.2a-4b+2=2(a-2b)C.a2-4=(a-2)2D.a2-2a+1=(a-1)2 D数据聚集 考点梳理 考点 代数式 考点 整式的运算 考点 因式分解 3 2 1 返回子目录 代数式 考点11.定义:像3(x-1)+2,ab,+等都是用基本的运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子,这样的式子都是 ,单独的数或字母 (填“是”或“不是”)代数式.2.列代数式:把问题中与数量有关的语句,用含有 、数和运算符号的式子表示出来,这就是列代数式.代数式是字母数据聚集 考点梳理 2 返回子目录 3.代数式求
12、值 一般地,用数值代替代数式里的字母,按照代数式中的运算关系计算得出结果,叫做代数式求值.(1)直接代入法:把已知字母的值代入代数式,并按原来的运算顺序计算求值.(2)整式代入法:a.观察已知条件和所求代数式的关系;b.将所求代数式变形后与已知代数式成倍分关系,一般会利用到提公因式法,平方差公式法,完全平方公式法.返回子目录 4.整式的相关概念(1)单项式:100t,0.8p,mn,a2h,-n等这些式子都是数或字母的 ,像这样的式子叫做单项式.单独的一个数或字母也是单项式;单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数;一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.(2)多项式:几个单项式的
13、 叫做多项式.多项式中的每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项,一个多项式含有几项,这个多项式就是几项式,多项式中次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.(3)整式:单项式与多项式统称为整式.积和返回子目录 整式的运算 考点21.整式的加减(1)同类项:所含字母相同,并且相同字母的 也相同的项叫做同类项.几个常数项也是同类项.(2)合并同类项的法则:把同类项的系数 ,所得结果作为系数,且字母和字母的指数 .(3)去括号法则:a+(b+c-d)=a+b+c-d;a-(b+c-d)=a-b-c+d.(口诀:“-”变,“+”不变)(4)整式的加减运算法则可归纳为:先去括号,再合并同类项
14、.指数 相加不变返回子目录 2.幂的运算(m,n,p为正整数)运算法则举例同底数幂乘法aman=x2x3=x5同底数幂除法aman=(a0)x5x2=x3(x0)幂的乘方(am)n=(x2)3=x6积的乘方(ab)p=(xy)2=x2y2商的乘方ban=(a0)yx2=y2x2(x0)零指数幂a0=(a0)(3-1)0=1负整数指数幂a-p=1ap=1ap(a0)121=2am+nam-namnapbp1 返回子目录 3.整式乘法运算 单项式乘单项式把们把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含 有 的 字 母,则 连 同 它 的 指 数 作 为 积 的 一 个 因 式.如2ab3
15、a2=(23)(aa2)b=6a3b的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.如2ab3a2=(23)(aa2)b=6a3b单项式乘多项式用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,即m(a+b)=ma+mb多项式乘多项式先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加,即(m+n)(a+b)=乘法公式平方差公式:(a+b)(a-b)=;完全平方公式:(ab)2=返回子目录 ma+mb+na+nba2-b2a22ab+b2返回子目录 4.整式除法运算 单项式除以单项式,将系数、同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式中含有的字
16、母,则连同它的指数作为商的一个因式.如6a3b2a=(62)(a3a)b=3a2b.返回子目录 因式分解 考点3定义把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解 方法提公因式法ma+mb+mc=公式法平方差公式a2-b2=.完全平方公式a22ab+b2=(ab)2 m(a+b+c)(a+b)(a-b)返回子目录 步骤(1)如果多项式的各项有公因式,那么应先提取公因式.(2)如果多项式的各项没有公因式,可以尝试使用公式法来分解因式;当该多项式为二项式时,考虑使用平方差公式;为三项式时,考虑使用完全平方公式;多于三项时,考虑使用分组的方法进行分解.(3)检查因式分
17、解是否彻底,必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.以上步骤可以概括为“一提二套三检查”因式分解的其他方法:(1)分组分解法:有些因式分解需要先分组,再用提公因式法或公式法进行分解.(2)十 字 相 乘 法:分 解 因 式 x2+bx+c(b2-4c 0).若 ,其 中 p+q=b,pq=c,则x2+bx+c=(x+p)(x+q).(3)求根公式法:设方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,则ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).返回子目录 数据剖析 题型突破 考向 列代数式及其求值 考向 整式的运算 考向 因式分解 3 2 1 列代数式及其求值（5年考3次）考向1返回子目录 1.
18、(2021石家庄模拟)如图1,在一份日历表上任意框出其中四个数字,若用m表示框图中相应位置的数字,如图2,则“?”位置的数字可表示为()A.m+1 B.m+5 C.m+6D.m+7 C数据剖析 题型突破 3 返回子目录 2.(2021扬州中考)不论x取何值,下列代数式的值不可能为0的是()A.x+1B.x2-1C.+D.(x+1)2 3.(2021河北中考二模)已知某商品的进价是a元,在销售旺季,商家将价格提高70%标价出售,销售旺季过后,商店又以标价的5折开展促销活动,促销时每件商品()A.亏损0.15a元B.盈利0.35a元C.盈利0.5a元D.盈 利0.85a元 CA4.(2021河北中
19、考模拟)已知a2+a-1=0,则a3+2a2+2 021的值为()返回子目录 A.2019 B.2020 C.2021D.2022 5.(2021河北中考压轴卷)如果m+n=1,那么代数式+(m2-n2)的值为()A.-3 B.-1 C.1D.3 DD返回子目录 6.(2021河北预测)如图,从边长为(a+1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a-1)cm的正方形(a1),剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠、无缝隙),则该长方形的面积是()A.2cm2 B.4acm2 C.2acm2D.(a2-1)cm2 B7.(2021原创题)在矩形ABCD内,将两张边长分别为a和b(ab)的正方形纸
20、片按图1,图2两种方式放置(图1,图2中两张正方形纸片均有部分重叠),矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示.设图1中阴影部分的面积为S1,图2中阴影部分的面积为S2.当AD-AB=2时,S2-S1的值为()返回子目录 A.2a B.2b C.2a-2bD.-2b B(1)列代数式的关键是正确分析数量关系,掌握“增加”“减少”“提升”“下降”“倍”等文字语言怎样用符号表示;同时要理解增长率、下降率、平均增长率、平均下降率的含义.(2)代数式求值有三种方法:一是直接代入求值;二是间接代入求值,就是根据已知条件,求出未知数的值,再代入求值;三是整体代入求值,即对所给条件或要求值的代数式进行
21、变形,然后整体代入求值.(3)常见的三个非负数:|a|,(a0),a2.若几个非负数的和为0,则每个数都为0.返回子目录 整式的运算（5年考5次）考向2返回子目录 1.(2021河北中考二模)下列各式中,计算正确的是()A.x2y-2x2y=-x2y B.3a+5b=8ab C.6ab-5ab=1D.a3+a2=a5 2.(2021石家庄模拟)已知43n8n=,则n的值是()A.1 B.2 C.3D.4 AA返回子目录 3.(2021成都中考)下列计算正确的是()A.3mn-2mn=1 B.(m2n3)2=m4n6 C.(-m)3m=m4D.(m+n)2=m2+n2 4.(2021河北一模)李
22、老师给同学们出了一道单项式与多项式相乘的题目:-3x2(2x-+1)=-6x3+6x2y-3x2,那么“”里应当是()A.-y B.-2y C.2yD.2xyAD5.(2021石家庄模拟)数学课上,老师让甲、乙、丙、丁四位同学各做了一道数学题:甲:(3a2)3=9a6;乙:a12a3=a9;丙:(a+b)(-a-b)=a2-b2;丁:(a-2)2=a2-4.其中做对的同学是()返回子目录 A.甲 B.乙 C.丙D.丁D返回子目录 6.(2021保定一模)阅读材料:对于任何实数,我们规定符号 的意义是 =ad-bc.例如,=14-23=-2.(1)按照这个规定,请你计算 的值;(2)按照这个规定
23、,请你计算:当x2-4x+4=0时,+的值.返回子目录 解:(1)=58-67=40-42=-2.(2)x2-4x+4=0,即(x-2)2=0,x1=x2=2,原式=(x+1)(2x-3)-2x(x-1)=2x2-3x+2x-3-2x2+2x=x-3=-1.6.(2021衡水模拟)定义一种新的运算:对于任意的有理数a,b,都有ab=a+b,a b=a-b,等式右边是通常的加法、减法运算.例如:a=2,b=1时,a b=2+1=3,a b=2-1=1.(1)求(-2)3+4 (-2)的值.(2)化简:a2b3ab+5a2b4ab.(3)若2x1=-(x-2)4,求x的值.返回子目录 解:(1)由
24、题意可得(-2)3=-2+3=1,4 (-2)=4-(-2)=6,(-2)3+4 （-2)=1+6=7.返回子目录(2)a2b3ab+5a2b4ab=a2b+3ab+5a2b-4ab=6a2b-ab.(3)2x 1=-(x-2)4.2x+1=-(x-2)-4.2x+1=-x+2-4.3x=-3,x=-1.返回子目录 在进行幂的运算时,牢记幂的运算的实质是底数不变,只进行幂的指数运算.注意:不要混淆同底数幂的乘法运算法则与幂的乘方运算法则.返回子目录 因式分解（5年考1次）考向31.(2021河北中考二模)如果x2+kx-2=(x-1)(x+2),那么k应为()A.3 B.-3 C.1D.-12
25、.(2021河北中考二模)下列整式中不是多项式4a3-a的因式的是()A.4a+1 B.2a+1 C.2a-1D.4a2-1 CA3.(2021河北一模)下列各式由左到右的变形中,属于因式分解的是()返回子目录 A.a(m+n)=am+an B.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2 C.10 x2-5x=5x(2x-1)D.x2-16+16x=(x+4)(x-4)+6x4.(2021河北中考预测)下列因式分解正确的是()A.x2+2x-3=x(x+2)-3 B.(x+y)(x-y)=x2-y2 C.x2-6xy+9y2=(x-3y)2D.x3-xy2=x(x2-y2)CC5.(2021河北中考模拟)如图,有一张边长为b的正方形纸板,在它的四角各剪去边长为a的正方形,然后折成一个无盖的长方体纸盒.用M表示其底面积与侧面积的差,则M可因式分解为()返回子目录 A.(b-6a)(b-2a)B.(b-3a)(b-2a)C.(b-5a)(b-a)D.(b-2a)2 A返回子目录(1)在运用公式法进行因式分解时,字母和系数要同时运用公式法进行分解;(2)分解因式时,一定要分解彻底.