1、第五章数列第一节数列的概念与简单表示法1数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：数列：按照一定顺序排列的一列数数列的项：数列中的每一个数(2)数列的分类：分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an1an其中nN*递减数列an11，且6Sn(an1)(an2)，nN*，求an的通项公式解：由a1S1(a11)(a12)，解得a11或a12，由已知a1S11，因此a12.又由an1Sn1Sn(an11)(an12)(an1)(an2)，得an1an30或an1an.因为an0，故an1an不成立，舍去因此an1an30.即an1an3，从而an是以公
2、差为3，首项为2的等差数列，故an的通项公式为an3n1.考点三由递推关系式求数列的通项公式递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接.归纳起来常见的命题角度有：(1)形如an1anf(n)，求an；(2)形如an1anf(n)，求an；(3)形如an1AanB(A0且A1)，求an.角度一形如an1anf(n)，求an1(2012大纲全国卷)已知数列an中，a11，前n项和Snan.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解：(1)由S2a2得3(a1a2)4a2，解得a23a13.由S3a3得3(a1a2a3)
3、5a3，解得a3(a1a2)6.(2)由题设知a11.当n2时，有anSnSn1anan1，整理得anan1.即.ana11(n2)当n1时，a11.综上可知，an的通项公式an.角度二形如an1anf(n)，求an2已知a12，an1an3n2，求an.解：an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)当n1时，a1(311)2符合公式，ann2.角度三形如an1AanB(A0且A1)，求an3已知数列an满足a11，an13an2，求an.解：an13an2，an113(an1)，3，数列an1为等比数列，公比q3，又a112，an1
4、23n1，an23n11.类题通法由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an1anf(n)或an1f(n)an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度二)，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，(如角度三)转化为特殊数列求通项第二节等差数列及其前n项和1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为an1and(nN*，d为常数)(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等差中项2等差数列的有关公式
5、(1)通项公式：ana1(n1)d.(2)前n项和公式：Snna1d.1要注意概念中的“从第2项起”如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列2注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别试一试1在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11()A58B88C143 D176解析：选Ba4a816，a68，S1111a688.2(2013重庆高考)已知an是等差数列，a11，公差d0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8_.解析：因为an为等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，所以a1(a14d
6、)(a1d)2，解得d2a12，所以S864.答案：641等差数列的四种判断方法(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A、B为常数)an是等差数列2巧用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d，(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn，(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3
7、mS2m，也是等差数列. 3活用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解练一练1(2013安徽高考)设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3，a72，则a9()A6B4 C2 D2解析：选A根据等差数列的定义和性质可得，S84(a3a6)，又S84a3，所以a60，又a72，所以a84，a96.2(2014河北省质量监测)已知等差数列an的前n项和为Sn，a415，S555，则数列an的公差是()A. B4C4 D3解析：选Ban是等差数列，a415，S555，a1a522，2a322，a311，公差da4a34.考点一等差数列的基本
8、运算1.(2013全国卷)设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m()A3B4C5 D6解析：选C根据已知条件，得到am和am1，再根据等差数列的定义得到公差d，最后建立关于a1和m的方程组求解由Sm12，Sm0，Sm13，得amSmSm12，am1Sm1Sm3，所以等差数列的公差为dam1am321， 由得解得2已知an为等差数列，Sn为其前n项和若a1，S2a3，则a2_；Sn_.解析：设等差数列的公差为d，则2a1da12d，把a1代入得d，所以a2a1d1，Snna1dn(n1)答案：13已知等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若
9、数列an的前k项和Sk35，求k的值解：(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d，由于a11，a33，又a3a12d，所以d2，因此an32n.(2)由an32n，得Snn2nn2，所以Sk2kk235，即k22k350，解得k7或k5，又因为kN*，所以k7.类题通法1等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想2数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法考点二等差数列的判断与证明典例已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1
10、，an2SnSn1(n2且nN*)(1)求证：数列是等差数列(2)求Sn和an.解(1)证明：当n2时，anSnSn12SnSn1，Sn(12Sn1)Sn1.由上式知若Sn10，则Sn0.S1a10，由递推关系知Sn0(nN*)，由式得2(n2)是等差数列，其中首项为2，公差为2.(2)2(n1)2(n1)，Sn.当n2时，anSnSn1，当n1时，a1S1不适合上式，an若将条件改为“a12，Sn(n2)”，如何求解.解：(1)Sn，2.2.是以为首项，以2为公差的等差数列(2)由(1)知(n1)22n，即Sn.当n2时，anSnSn1；当n1时，a12不适合an，故an类题通法1判断等差数
11、列的解答题,常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.2用定义证明等差数列时，常采用两个式子an1and和anan1d，但它们的意义不同，后者必须加上“n2”，否则n1时，a0无定义针对训练在数列an中，a13，an2an12n3(n2，且nN*)(1)求a2，a3的值；(2)设bn(nN*)，证明：bn是等差数列解：(1)a13，an2an12n3(n2，且nN*)，a22a12231，a32a223313.(2)证明：对于任意nN*，bn1bn(an12an)3(2n13)31，数列bn是首项为0，公差为1的等差数列考点三等差数列的性质及最值
12、典例(1)(2014武昌联考)已知数列an是等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，an的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n是()A18 B19C20 D21(2)设数列an，bn都是等差数列，若a1b17，a3b321，则a5b5_.解析(1)a1a3a5105a335，a2a4a699a433，则an的公差d33352，a1a32d39，Snn240n，因此当Sn取得最大值时，n20.(2)设两等差数列组成的和数列为cn，由题意知新数列仍为等差数列且c17，c321，则c52c3c1221735.答案(1)C(2)35类题通法1等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列an中，a
13、man(mn)dd(mn)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差(2)和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an.2求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解(2)邻项变号法：a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.针对训练1(2013安徽望江模拟)设数列an是公差d0的等差数列，Sn为其前n项和，若S65a110d，则Sn取最大值
14、时，n()A5 B6C5或6 D6或7解析：选C由题意得S66a115d5a110d，所以a60，故当n5或6时，Sn最大，选C.2(2013广东高考)在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7_.解析：因为a3a810，所以3a5a72(a3a8)20.答案：20第三节等比数列及其前n项和1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q.(2)等比中项：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数
15、列G2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：Sn1在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.2在运用等比数列的前n项和公式时，必须对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形导致解题失误试一试1(2013江西高考)等比数列x,3x3,6x6，的第四项等于()A24B0C12 D24解析：选A由等比数列的前三项为x,3x3,6x6，可得(3x3)2x(6x6)，解得x3或x1(此时3x30，不合题意，舍去)，故该等比数列的首项x3，公比q2，所以第四项为(6x6)q24.2(2013北京高考)若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项
16、和Sn_.解析：由题知解得故Sn2n12.答案：22n121等比数列的三种判定方法(1)定义：q(q是不为零的常数，nN*)an是等比数列(2)通项公式：ancqn1(c、q均是不为零的常数，nN*)an是等比数列(3)等比中项法：aanan2(anan1an20，nN*)an是等比数列2等比数列的常见性质(1)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaqa；(2)若数列an、bn(项数相同)是等比数列，则an、a、anbn、(0)仍然是等比数列；(3)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk；(4)公比不
17、为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn，当公比为1时，Sn，S2nSn，S3nS2n不一定构成等比数列3求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和的公式中联系着五个量：a1，q，n，an，Sn，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当q1时，Snna1；当q1时，Sn；在判断等比数列单调性时，也必须对a1与q分类讨论练一练1(2014济南
18、调研)已知等比数列an满足a12，a3a54a，则a3的值为()A. B1C2 D.解析：选Ban为等比数列，设公比为q，由a3a54a可得：a4a，即q4.q2，a3a1q21.2已知数列an是公比q1的等比数列，则在anan1，an1an，nan这四个数列中，是等比数列的有()A1个 B2个C3个 D4个答案：C考点一等比数列的基本运算1.(2013承德一模)在等比数列an中，a37，前3项之和S321，则公比q的值为()A1BC1或 D1或解析：选C根据已知条件得3.整理得2q2q10，解得q1或q.2(2013全国卷)设首项为1，公比为的等比数列an的前n项和为Sn，则()ASn2an
19、1 BSn3an2CSn43an DSn32an解析：选D由等比数列前n项和公式Sn，代入数据可得Sn32an.3设等比数列an的公比q1，前n项和为Sn，已知a32，S45S2，求an的通项公式解：由题设知a10，Sn，所以由式得1q45(1q2)，即(q2)(q2)(q1)(q1)0.因为q0，nN*，且a3a28，又a1、a5的等比中项为16.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog4an，数列bn的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得k对任意nN*恒成立若存在，求出正整数k的最小值；不存在，请说明理由解：(1)设数列an的公比为q，由题意可得a316，a3a28，则a28，q2
20、.an2n1.(2)bnlog42n1，Snb1b2bn.，存在正整数k的最小值为3.角度二形如an 型2(2014江南十校联考)已知函数f(x)xa的图像过点(4,2)，令an，nN*.记数列an的前n项和为Sn，则S2 013()A.1B.1C.1 D.1解析：选C由f(4)2可得4a2，解得a，则f(x)x.an，S2 013a1a2a3a2 013()()()()1.角度三形如an型 3(2013江西高考)正项数列an的前n项和Sn满足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn.证明：对于任意的nN*，都有Tn0，Snn2n
21、.于是a1S12，n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上可知，数列an的通项公式an2n.(2)证明：由于an2n，bn，则bn.Tn1，公比q0，设bnlog2an，且b1b3b56，b1b3b50.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求bn的前n项和Sn及an的通项an.解：(1)证明：bnlog2an，bn1bnlog2log2q为常数，数列bn为等差数列且公差dlog2q.(2)设数列bn的公差为d，b1b3b56，b32.a11，b1log2a10.b1b3b50，b50.解得Sn4n(1).an25n(nN*)考点二等差数列与等比数列的实际应用典例某企业的资金每
22、一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元(1)求该企业2014年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元解设an为(2010n)年年底分红后的资金，其中nN*，则a121 0005001 500，a221 5005002 500，an2an1500(n2)an5002(an1500)(n2)，即数列an500是首项为a15001 000，公比为2的等比数列an5001 0002n1，an1 0002n1500.(1)a41 0002415008 500，该企业2014年年底
23、分红后的资金为8 500万元(2)由an32 500，即2n132，得n6，该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32 500万元类题通法解数列应用题的建模思路从实际出发，通过抽象概括建立数学模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：针对训练某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.则第n年初M的价值an_.解析：当n6时，数列an是首项为120，公差为10的等差数列，an12010(n1)13010n；当n7时，数列an是以a6为首项，为公比
24、的等比数列，又a670，所以an70n6.答案：an考点三数列与其他知识的交汇数列在高考中多与函数、不等式、解析几何、向量交汇命题，近年由于对数列要求降低，但仍有一些省份在考查数列与其他知识的交汇.归纳起来常见的命题角度有：(1)数列与不等式的交汇；(2)数列与函数的交汇；(3)数列与解析几何的交汇.角度一数列与不等式的交汇1(2014湖北七市模拟)数列an是公比为的等比数列，且1a2是a1与1a3的等比中项，前n项和为Sn；数列bn是等差数列，b18，其前n项和Tn满足Tnnbn1(为常数，且1)(1)求数列an的通项公式及的值；(2)比较与Sn的大小解：(1)由题意得(1a2)2a1(a3
25、1)，即2a1，解得a1，ann.设bn的公差为d，又即解得或(舍)，.(2)由(1)知Sn1n，Snn1，又Tn4n24n，由可知Sn.类题通法数列与不等式相结合问题的处理方法解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了角度二数列与函数的交汇2(2012安徽高考)设函数f(x)sin x的所有正的极小值点从小到大排成的数列为xn(1)求数列xn的通项公式；(2)设xn的前n项和为Sn，求Sn.解
26、：(1)令f(x)cos x0，得cos x，解得x2k(kZ)由xn是f(x)的第n个正极小值点知，xn2n(nN*)(2)由(1)可知，Sn2(12n)nn(n1).角度三数列与解析几何的交汇3在正项数列an中，a12，点An(，)在双曲线y2x21上，数列bn中，点(bn，Tn)在直线yx1上，其中Tn是数列bn的前n项和(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列bn是等比数列；解：(1)由已知点An在y2x21上知，an1an1，数列an是一个以2为首项，以1为公差的等差数列ana1(n1)d2n1n1.(2)证明：点(bn，Tn)在直线yx1上，Tnbn1.Tn1bn11(n2)，两式相减得bnbnbn1(n2)，bnbn1，bnbn1.令n1，得b1b11，b1，bn是一个以为首项，以为公比的等比数列