1、西藏拉萨中学2021届高三数学上学期第四次月考试题 文（满分：150分，考试时间：120分钟。请将答案填写在答题卡上）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,则( )A. B. C. D.2.复数(其中为虚数单位),则( )A.5B.C.2D.3.等差数列中，则的值为( )A.BC10D204.设,则( )A. B. C.D.5.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设
2、成果显著.如图是20152019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是( )A这五年，出口总额之和比进口总额之和大B这五年，2015年出口额最少C这五年，2019年进口增速最快D这五年，出口增速前四年逐年下降6.已知为任意角，则“”是“”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要7.若向量,且,则 ( ) A.6 B.5 C.4 D.38.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是顶角为的等腰三角形,侧视图为直角三角形,则该三棱锥的表面积为( )A. B. C. D. 9.宋元时期,中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦九韶、李冶、杨辉、朱世
3、杰四大家”,朱世杰就是其中之一.朱世杰是一位平民数学家和数学教育家.朱世杰平生勤力研习九章算术,旁通其它各种算法,成为元代著名数学家。他全面继承了前人数学成果,既吸收了北方的天元术,又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀,在此基础上进行了创造性的研究,写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的算学启蒙,其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.如图,是源于其思想的一个程序框图.若输入的分别为3,1,则输出的（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 510.直角梯形中,直线截该梯形所得位于左边图形面积为,则函数的图象大致为( )A.B.C.D.
4、11.已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（ ）ABC3D2 12.已知函数的定义域为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上。13.若满足约束条件，则的最小值为_14.已知数列是各项均为正数的等比数列，且，则数列n的公比为_.15.已知是双曲线的两个焦点,以线段为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于四个点,若这四个点与两点恰好是一个正六边形的顶点,则该双曲线的离心率为_.16.已知函数在上连续,对任意都有;在中任意取两个不相等的实数,都有恒成立;若,则实数的取值范围是_三
5、、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.18.（本小题满分12分）某校在一次期末数学测试中,为统计学生的考试情况,从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩,被测学生成绩全部介于65分到145分之间(满分150分),将统计结果按如下方式分成八组：第一组,第二组,第八组,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分. (1)求第七组的频率,并完成频率分布直方图；(2)用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分(同一组中的数据
6、用该组区间的中点值代表该组数据平均值)；(3)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名,求他们的分差的绝对值小于10分的概率.19.（本小题满分12分）如图，已知面，四边形为矩形，四边形为直角梯形， （1）求证： 面；（2）求三棱锥的体积20.（本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点是,且离心率(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作椭圆的一条切线交圆于两点,求面积的最大值21.（本小题满分12分）已知函数，.(1)若点为函数与图象的唯一公共点,且两曲线存在以点为切点的公共切线,求的值:(2)若函数有两个零点,求实数的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
7、第一题计分。22.（本小题满分10分）在直角坐标系中,以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.(1)为曲线的动点,点在线段上,且满足,求点的轨迹的直角坐标方程;(2)设点的极坐标为,点在曲线上,求面积的最大值.23.（本小题满分10分）已知，设函数（1）若，求不等式的解集；（2）若函数的最小值为1,证明：文科数学答案1.答案：D解析：故选：D.2.答案：B解析：.故选B.3.答案：A解析：4.答案：B解析：由，则,且；,且；则，所以；所以.故选：B.5.答案：D解析：对A项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，
8、则A正确；对B项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B正确；对C项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C正确；对D项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D错误；故选：D6.答案：B解析：，则，因此“”是“”的必要不充分条件故选：B7.答案：B解析：8.答案：A解析：根据三视图,知该三棱锥是底面为腰长为2、底为的等腰三角形,侧面分别是两个腰为2的等腰直角三角形和一个底为、高为的三角形,所以该三棱锥的表面积为,故选A.9.答案：C解析：输入的分别为,时,依次执行程序框图可得：不成立不成立不成立成立输出故选：C10.答案：C解析：由题意可知：当时,，当时,；
9、所以.结合不同段上函数的性质，可知选项C符合。故选C.11.答案：A解析：设与轴的交点为，过向准线作垂线，垂足为，又，.12.答案：B解析：，可得，令，则，其中，又，则，即，因此实数的取值范围是，故选B.13.答案：-7解析：画出线性约束条件所表示的区域，即可行域：作直线，平移，可知当，时，直线在轴上截距最大，从而取的最小值一7。14.答案：2解析：由，得，因为各项均为正数，所以，由，得，解得，所以公比为215.答案：2解析：由题意得双曲线的两条渐近线与直线的夹角为离心率16.答案：解析：由可知函数关于直线对称;在中任意取两个不相等的实数,都有恒成立;可知函数在区间上单调递减,由对称性可知函数
10、在区间上单调递增,不妨设,则由可得,整理得,即,解得或,所以实数的取值范围是.答案为: 【点睛】本题考查函数的对称性与构造函数的应用,难点在于根据已有的函数性质构造出相应的函数,属于难题.17.答案：解：（1）：由已知，得.由正弦定理，得，即， ，.（2），且， 因为为锐角三角形，所以得，得 即周长的取值范围为 解析： 18.答案：(1)由频率分布直方图得第七组的频率为：.完成频率分布直方图如下：(2)用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：(3)样本成绩属于第六组的有人,样本成绩属于第八组的有人,从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名,基本事件总数,他们的分差
11、的绝对值小于10分包含的基本事件个数,他们的分差的绝对值小于10分的概率.解析： 19.答案：（1）面，四边形为矩形，平面，平面，四边形为直角梯形, ,，面.（2）三棱锥的体积：解析： 20.答案：(1)由已知,所以, 所以椭圆的标准方程(2)由已知切线的斜率存在,设其方程为, 联立方程,消去得, 由相切得 ,化简得 , 又圆心到切线的距离,所以 , 所以 , 把 代入得 ,记 ,则, 所以 , 所以,时,的面积有最大值解析：21.答案：（1）由题意可知，与图象的在唯一公共点处的切线相同，又因为，所以，即，由可得或，由点唯一可得或，即或，由可得，综上可得，；（2）由，则，（i）若即时，在上单调
12、递减，在上单调递增，因为时，且，故要使得有2个零点，只有即，当时，只有一个零点，故（ii）若，即时，当时，在上单调递增，不符合题意；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且时，且，故要使得有2个零点，则，即，令，则，故在上单调递增，且，故在上恒成立，不可能有2个零点，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，故不可能有2个零点，综上解析： 22.答案：(1)设的极坐标为,的极坐标为.由题设知,.由得的极坐标方程.因此的直角坐标系方程为.(2)设点的极坐标为.由题设知,于是面积.当时, 取得最大值.所以面积的最大值为.解析：23.答案：（1），不等式，即当时，当时，当时，解集为（2）, 解析：