1、20192020学年度高三年级上学期期中考试数学试卷(文科)一、选择题1.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据偶函数的定义，可得A，B，D是偶函数，再利用函数单调性的性质，即可得出结论【详解】根据偶函数的定义，可得A，B，D是偶函数，B在上单调递减，D在上有增有减，A在上单调递增，故选A【点睛】本题考查函数单调性的性质，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，比较基础2.等差数列的前项和为，已知.则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 设等差数列的公差为，又，所以，解得，所以，故选C.3.已知曲线在点处的切线与直线
2、垂直，则实数的值为（）A. -4B. -1C. 1D. 4【答案】C【解析】【分析】先求出在点处的切线斜率，然后利用两直线垂直的条件可求出的值.【详解】由题意，则曲线在点处的切线斜率为4，由于切线与直线垂直，则，解得.故选C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了两直线垂直的性质，考查了计算能力，属于基础题.4.在中，是边上一点，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据，用基向量表示，然后与题目条件对照，即可求出【详解】由在中，是边上一点，则，即，故选【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用及向量的线性运算5.已知双曲线离心率,与椭圆有相同的焦点,则该双曲
3、线渐近线方程是()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出椭圆的焦点和，所以双曲线方程可设为，所以其渐近线方程为，由题意得双曲线的，再根据其离心率，求出，根据，得到，从而得到双曲线的渐近线方程，求出答案.【详解】因为椭圆，其焦点为和，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以设双曲线的方程为，则其渐近线方程为，且双曲线中因为双曲线的离心率，所以，又因双曲线中所以，即，所以双曲线的渐近线方程为故选C项.【点睛】本题考查根据双曲线的离心率和焦点求，双曲线的渐近线，属于简单题.6.已知角满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知利用诱导公式可求，再由二倍角公式化简
4、，即可得结果【详解】， 故选D【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角7.已知函数的部分图象如图所示，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据图像最低点求得，根据函数图像上两个特殊点求得的值，由此求得函数解析式，进而求得的值.【详解】根据图像可知，函数图像最低点为，故，所以，将点代入解析式得
5、，解得，故，所以，故选C.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，并求三角函数值，属于中档题.8.已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列且，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得：，则：.本题选择C选项.9.已知点P为双曲线右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左右焦点，点I是PF1F2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（）A. （1，）B. （1，2）C. （1，2D. （1，【答案】D【解析】【分析】根据条件和三角形的面积公式，求得的关系式，从而得出离心率的取值范围，得到答案【详解】设的内切圆的半径为，则，因
6、为，所以,由双曲线定义可知，所以，即，又由，所以双曲线的离心率的取值范围是，故选D【点睛】本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：求出 ，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)10.函数向右平移个单位后得到函数，若在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先求函数，再求函数的单调递增区间，区间是函数单调递增区间的子集，建立不等关系求的取值范围.【详解】,令 解得 ， 若上单调递增， ,解得： 时，.故选D.【点睛】本题考查了三角函数的性质和平
7、移变换，属于中档题型.11.已知函数，若当 时，有解，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求得函数的导数，得到函数的单调性，以及的取值，再由导数的几何意义，即可求解【详解】由题意，函数，则导数，所以函数在上递减，在上递增，当时，又由，当 时，有解，即函数和的图象有交点，如图所示，又因为在点的切线的斜率为，所以【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及方程的有解问题，着重考查了转化与化归思想、数形结合思想和推理、运算能力，对于方程的有解问题，通常转化为两个函数图象的交点个数，结合图象求解12.在平面直角坐标系中，圆：，圆：，点，动点，分别在圆和圆上，且，为
8、线段的中点，则的最小值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】由得，根据向量的运算和两点间的距离公式，求得点的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系，即可求解的最小值，得到答案【详解】设，由得，即，由题意可知，MN为RtAMB斜边上的中线，所以,则 又由，则，可得，化简得，点的轨迹是以为圆心、半径等于的圆C3，M在圆C3内， MN的最小值即是半径减去M到圆心的距离，即，故选A【点睛】本题主要考查了圆的方程及性质的应用，以及点圆的最值问题，其中解答中根据圆的性质，求得点的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题二、填空题13.已知向量
9、，则在方向上的投影为_.【答案】1【解析】【分析】根据，得在上的投影为，求出，代入投影的公式计算即可【详解】向量，在方向上的投影为，故答案为：1【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及几何意义，属于基础题14.若函数只有一个极值点，则k的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】利用函数求导函数，只有一个极值点时只有一个实数解有，设新函数设，等价转化数形结合法即可得出结论，【详解】函数只有一个极值点，若函数只有一个极值点，只有一个实数解，则：，从而得到：，当 时，成立当时，设，当两函数相切时，此时得到的最大值，但时不成立故的取值范围为：，综上：的取值范围为：.故答案为：【点睛】本题考查利用导数研
10、究函数的极值点、不等式问题的等价转化方法，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题15.已知抛物线E：的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，过A作，垂足为M，AM的中点为N，若，则_.【答案】16【解析】【分析】由题意画出图形，得到直线的斜率，进一步求得直线的方程，与抛物线方程联立求解即可得答案【详解】，为的中点，且，则直线的倾斜角为，斜率为由抛物线，得，则直线的方程为联立，得则，故答案为：16【点睛】本题考查抛物线的简单性质、直线与抛物线位置关系及抛物线过焦点弦公式的应用，属于中档题16.数列为1，1，2，1，1，2
11、，3，1，1，2，1，1，2，3，4，首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，如此继续，则_.【答案】1【解析】【分析】根据数列构造方法可知：，即；根据变化规律可得，从而得到结果.【详解】由数列的构造方法可知，可得：即：本题正确结果：【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项，关键是能够根据构造特点得到数列各项之间的关系，考查学生的归纳总结能力.三、解答题17.已知的面积为，且且.(1)求角的大小；(2)设为的中点，且，的平分线交于，求线段的长度.【答案】（
12、1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据已知条件求出角的正切值，再结合角的范围即可求解；（2）先根据条件求出，；再借助于面积之间的关系求出，之间的比例关系，结合题中条件即可求解【详解】（1），又，即，又，.（2）如下图所示：在中，为中线，.由（1）知：，又， ，由余弦定理可得：，又，又，在中，有： ，所以.【点睛】本题考查向量的数量积的应用、正余弦定理的应用，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查运算求解能力，属于中档题18.已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，.（1）若，求的通项公式；（2）若，求【答案】（1）；（2）5或.【解析】【分析】（1）设等差数列公差为，等比数列公比为，
13、由已知条件求出，再写出通项公式；（2）由，求出的值，再求出的值，求出.【详解】设等差数列公差为，等比数列公比为有，即.（1），结合得，.（2），解得或3，当时，此时；当时，此时.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.19.已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且（）求抛物线方程；（）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切【答案】（
14、）；（）详见解析【解析】解法一：（）由抛物线的定义得因为，即，解得，所以抛物线的方程为（）因为点在抛物线上，所以，由抛物线的对称性，不妨设由，可得直线的方程为由，得，解得或，从而又，所以，所以，从而，这表明点到直线，的距离相等，故以为圆心且与直线相切的圆必与直线相切解法二：（）同解法一（）设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为因为点在抛物线上，所以，由抛物线的对称性，不妨设由，可得直线的方程为由，得，解得或，从而又，故直线的方程为，从而又直线的方程为，所以点到直线的距离这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切考点：1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系【此处有视频，请去附件查看】20.已
15、知数列的各项均为正数，对任意，它的前项和满足，并且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据与的关系，利用临差法得到，知公差为3；再由代入递推关系求；（2）观察数列的通项公式，相邻两项的和有规律，故采用并项求和法，求其前项和.【详解】（1）对任意，有，当时，有，解得或.当时，有.-并整理得.而数列的各项均为正数，.当时，此时成立；当时，此时，不成立，舍去.，.（2）.【点睛】已知与的递推关系，利用临差法求时，要注意对下标与分两种情况，即；数列求和时要先观察通项特点，再决定采用什么方法.21.已知函数,.（）求函数的单调区
16、间； （）令两个零点，证明：.【答案】（）在上单调递减，在上单调递增.（）见证明【解析】【分析】（）求得函数的导数，且，进而利用导数的符号，即可求得函数单调区间；（）由有两个零点，利用导数求得函数的单调性与最值，结合图象，即可得出证明【详解】（）由题意，函数，则，且，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；所以函数在上单调递减，在上单调递增. （）由有两个零点可知由且可知，当时，函数单调递减；当时，函数单调增；即的最小值为，因此当时，可知在上存在一个零点；当时，可知在上也存在一个零点，因此，即.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及
17、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题22.在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为4，且过点（1）求椭圆的方程（2）设椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于、两点，问是否存在直线，使得为的垂心，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）存在直线满足题设条件,详见解析【解析】分析】（1）由已知列出关于，的方程组，解得，写出结果即可；（2）由已知可得，所以，因为，所以可设直线的方程为，代入椭圆方程整理，得设，由根与系数的关系写出两根之和和两根之积的表达式，再由垂心的性质列出方程求解即可【详解】（1）由已知可得，解得，所以椭圆的方程为（2）由已知可得，.，可设直线的方程为，代入椭圆方程整理，得.设，则，.即即，或.由，得又时，直线过点，不合要求，故存在直线满足题设条件.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系应用，以及垂心的定义应用意在考查学生的数学运算能力