1、2012-2013年高二上期中考试数学复习题 内容：线性规划、直线与圆、圆锥曲线1、在气象台正南方向千米处有一台风中心，它以每小时千米的速度向北偏东方向移动，距台风中心千米以内的地方都要受其影响。问：从现在起，大约多长时间后，气象台所在地将遭受台风影响？持续多长时间？（注：，）2、已知圆：，圆：，如果圆始终平分圆的周长(I)求动圆的圆心的轨迹方程；(II)当圆的半径最小时，求圆B的标准方程 3、设圆过点P(0,2), 且在轴上截得的弦RG的长为4.()求圆心的轨迹E的方程；()过点(，)，作轨迹的两条互相垂直的弦、，设、 的中点分别为、，试判断直线是否过定点？并说明理由4、如果直线与轴正半轴，
2、轴正半轴围成的四边形封闭区域（含边界）中的点，使函数的最大值为8，求的最小值5、要将两种厚度、材质相同，大小不同的钢板截成、三种规格的成品每张钢板可同时截得三种规格的块数如下表： 成品规格类型钢板类型A规格B规格C规格第一种钢板121第二种钢板113每张钢板的面积：第一张为，第二张为今需要、三种规格的成品各为12、15、27块则两种钢板各截多少张，可得所需三种规格的成品，且使所用钢板的面积最少？ 6、已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为,为椭圆的左顶点.（）求椭圆的标准方程；（）已知过点的直线与椭圆交于，两点.（）若直线垂直于轴，求的大小;（）若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形？如
3、果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由. 7、定长为3的线段AB两端点A、B分别在轴，轴上滑动，M在线段AB上，且（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设过且不垂直于坐标轴的动直线交轨迹C于A、B两点，问：线段上是否存在一点D，使得以DA，DB为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明。8、已知椭圆的离心率为，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且 （1）求椭圆C和直线l的方程； （2）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为 D若曲线与D有公共点，试求实数m的最小值 9、已知椭圆的右顶点为，上顶点为，直线与椭圆交于不同的两点，若是以为直径的圆上的点，当变化时
4、，点的纵坐标的最大值为（）求椭圆的方程；（）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，是否存在，使得向量与共线？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由 10、已知抛物线和直线没有公共点（其中、为常数），动点是直线上的任意一点，过点引抛物线的两条切线，切点分别为、，且直线恒过点. （1）求抛物线的方程；（2）已知点为原点，连结交抛物线于、两点，证明：. 11、椭圆过点P，且离心率为，F为椭圆的右焦点，、两点在椭圆上，且 ，定点（4，0）（）求椭圆C的方程；（）当时 ，问：MN与AF是否垂直；并证明你的结论（）当、两点在上运动，且 =6时,求直线MN的方程12、已知抛物线L的方程为，直线截抛物线L
5、所得弦长为（）求p的值；（）若直角三角形的三个顶点在抛物线L上，且直角顶点的横坐标为1，过点分别作抛物线L的切线，两切线相交于点，直线与轴交于点，当直线的斜率在上变化时，直线斜率是否存在最大值，若存在，求其最大值和直线的方程；若不存在，请说明理由13、已知点（）,过点作抛物线的切线，切点分别为、（其中）（）求与的值（用表示）；（）若以点为圆心的圆与直线相切，求圆面积的最小值 14、如图，在轴上方有一段曲线弧，其端点、在轴上（但不属于），对上任一点及点，满足：直线，分别交直线于，两点（1）求曲线弧的方程；（2）求的最小值（用表示）；（3）曲线上是否存点，使为正三角形？若存在，求的取值范围；若不存
6、在，说明理由15、已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆x2y24在区域D内的弧长为（ ） A. B. C. D.16、如图所示，已知椭圆的方程为，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且OAB45，则椭圆的离心率等于( ) ABC17、已知圆的方程为，是圆上的一个动点，若的垂直平分线总是被平面区域覆盖，则实数的取值围是 。 18、设点是圆上的两点，点，如果，则线段长度的取值范围为 19、过抛物线x2=2py(p0)的焦点F作倾斜角为30的直线,与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧),则_.20、当对数函数的图象至少经过区域内的一个点时，实数的取值范围是 21
7、、已知点P是渐近线为2x3y=0且经过定点的双曲线上的一动点，点Q是P关于双曲线实轴的对称点，设直线的交点为M(x,y)求双曲线的方程； 求动点M的轨迹的方程；已知x轴上一定点N(1,0)，过N点斜率不为0的直线L交于A、B两点，x轴上是否存在定点 K使得AKN=BKN？若存在，求出点K的坐标；若不存在，说明理由。22、已知实数满足，目标函数的最小值和最大值分别为和，则的值为 23、过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围为A或 B C D或 24、RtABC的三个顶点在给定的抛物线上，斜边AB平行于y轴且|AB|4p，则AB边上的高|CD|= 25、若直线上存在点满足约束条件,则实数的最大值为
8、（）A-1 B1 C D2 26、设平面点集,则所表示的平面图形的面积为（）A B C D27、平面区域D是由不等式组确定，则圆在区域D内的孤长等于（ ） A、 B、 C、 D、 28、.设为坐标原点，若点满足则取得最小值时，点的个数是 （ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）无数个 参考答案1、解：解：如图，以气象台为坐标原点，正东方向为轴正方向，建立直角坐标系，则现在台风中心的坐标为（0，-200）。根据题意，可知，小时后，的坐标为（，），即（，），因为以台风中心为圆心，以千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响，所以在圆上或圆内时，气象台将受台风影响。所以令，即整理得解得，故大约小时后
9、，气象台所在地将遭受台风影响，大约持续个小时。2、() 两圆公共弦所在直线方程为由题意知经过圆A的圆心，因而，设动圆B的圆心为(x，y)则所求方程为；(II) 圆B：，其半径为由(I) ，即，所以，因而，此时圆B：，。 3、解：(1)设圆心的坐标为，如图过圆心作轴于H,则H为RG的中点，在中，3分 即(2) 设，直线AB的方程为（）则-由得，点在直线上， 点的坐标为 同理可得：, ,点的坐标为 直线的斜率为，其方程为，整理得，显然，不论为何值，点均满足方程，直线恒过定点 4、解：设为封闭区域中的任意点则满足约束条件可行域如图所示目标函数的最优解为 依题意将代入得最大值8，解得 有基本不等式得：
10、（当且仅当时，等号成立）故的最小值为4 5、解：设需第一种张，第二种张，所用钢板面积，则，（4分）目标函数，作图（略）由， 由于点A不是整数点，可以在可行域内找出整点和使得最小值是 6、解：（）设椭圆的标准方程为，且.由题意可知：，.所以. 所以，椭圆的标准方程为.（）由（）得.设.（）当直线垂直于轴时，直线的方程为.由 解得：或即（不妨设点在轴上方）.则直线的斜率，直线的斜率.因为 ，所以 .所以 . （）当直线与轴不垂直时，由题意可设直线的方程为.由消去得：.因为 点在椭圆的内部，显然.因为 ，所以 .所以 . 所以 为直角三角形.假设存在直线使得为等腰三角形，则.取的中点，连接，则.记点
11、为.另一方面，点的横坐标，所以 点的纵坐标. 所以 .所以 与不垂直，矛盾.所以 当直线与轴不垂直时，不存在直线使得为等腰三角形.7、（1）设则 -5分（2）存在满足条件的D点设满足条件的点D（0，m），则湖北设l的方程为：，代入椭圆方程，得设湖北 -8分以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形， 湖北的方向为（1，k） 存在满足条件的点D8、解:（1）由离心率，得，即 又点在椭圆上，即 解 得，故所求椭圆方程为 由得直线l的方程为（2）曲线，即圆，其圆心坐标为，半径，表示圆心在直线上，半径为的动圆由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑的情形设与直线l相切于点T，则由，得，当时，过点与直线l垂
12、直的直线的方程为，解方程组得因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为，所以切点，由图可知当过点B时，m取得最小值，即，解得 9、解：（1）由，圆心为以EF为直径的圆的方程为：（当时取等）令则依题椭圆C的方程为：（2），由消去y:设,PQ的中点M由点差法：即M在直线上 又，而与共线，可得/ ,由得，这与矛盾，故不存在 10、解：（1）如图，设， 由，得 的斜率为 的方程为 同理得 设代入上式得，即，满足方程故的方程为上式可化为，过交点过交点， ，的方程为 （2）要证，即证 设， 则 （1） ， 直线方程为，与联立化简 把代入（）式中，则分子 （2） 又点在直线上，代入中得： 故得证 14分
13、 11、解：（）椭圆的离心率为即可得又椭圆过点P解得，椭圆C的方程为- （）设，则，当时，由M，N两点在椭圆上，若，则（舍去）， -分（）因为=6由已知点F（2,0）, 所以|AF|=6, 即得|yM-yN|= 当MN轴时，故直线的斜率存在 不妨设直线MN的方程为：-联立、得|=解得 此时，直线MN的方程为或 12、() 解：（1）由解得， () 解: B，设，设BC的斜率为k,则，又，C A，直线AC的方程为，令AD:同理CD:，联立两方程得D令递减，所以，当时，最大为8所以，BC的方程为即 13、解：（）由可得，直线与曲线相切，且过点，即， ，或，同理可得：，或 ， （）由（）可知， 则直
14、线的斜率， 直线的方程为：，又，即点到直线的距离即为圆的半径，即，当且仅当，即，时取等号故圆面积的最小值15分 14、解：（1）由椭圆的定义，曲线是以，为焦点的半椭圆，.的方程为.（注：不写区间“”扣1分） （2）解法1：由（1）知，曲线的方程为，设， 则有， 即 又，从而直线的方程为 AP：； BP： 令得，的纵坐标分别为 ； . 将代入， 得 . .当且仅当，即时，取等号即的最小值是. 解法2：设，则由三点共线，得 同理，由三点共线得： 由得：.由，代入上式，.即 . ，当且仅当，即时，取等号即的最小值是 .（3）设，依题设，直线轴，若为正三角形，则必有 从而直线的斜率存在，分别设为、，由（2）的解法1知， ； ， 于是有 ， 而，矛盾.不存在点，使为正三角形15C 16、C 17、 18、. 19、20、 21、解：可设方程为 ，又点在曲线上代入得所以双曲线的方程为： 由题意， 当P异于顶点时， 所以 即 () 当P为顶点时直线的交点为顶点 所以 设L交曲线于， 可设L方程为代入方程得 若存在N，则 即 即 对t恒成立所以 故点N坐标为 22、2 23、A 24、2P 25、B 26、D 27、D 28、 B .m