1、1.2空间向量基本定理课后篇巩固提升必备知识基础练1.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为M,AB=a,AD=b,AA1=c,则下列向量中与C1M相等的向量是()A.-12a+12b+cB.12a+12b+cC.-12a-12b-cD.-12a-12b+c解析C1M=AM-AC1=12(AB+AD)-(AB+BC+CC1)=-12a-12b-c.答案C2.(2020广东汕头金山中学高二上期中)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点E为上底面A1C1的中心,若AE=AA1+xAB+yAD,则x,y的值分别为()A.1,1B.1,12C.12,12D.12,1解析因
2、为AE=12(AA1+AC1)=12(AA1+AA1+AB+AD)=AA1+12AB+12AD,所以x=12,y=12.故选C.答案C3.在空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,点M在线段AC上,且AM=2MC,N是OB的中点,则MN=()A.23a+12b-23cB.23a-12b+23cC.-13a+12b-23cD.13a+12b-13c解析MA=23CA=23(OA-OC),ON=12OB,MN=MO+ON=MA+AO+ON=23(a-c)-a+12b=-13a+12b-23c.答案C4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设AB=a,AD=b,AA1=c,A1C1与B
3、1D1的交点为E,则BE=.解析如图,BE=BB1+B1E=AA1+12(B1C1+B1A1)=AA1+12(AD-AB)=-12a+12b+c.答案-12a+12b+c5.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,BAC=90.求证:ABAC1.证明设AB=a,AC=b,AA1=c,则AC1=AC+CC1=b+c.所以ABAC1=a(b+c)=ab+ac,因为AA1平面ABC,BAC=90,所以ab=0,ac=0,得ABAC1=0,故ABAC1.6.如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,ADC=60,PA平面ABCD,PA=6,求线段PC的长.解因为在平行四边形ABCD
4、中,ADC=60,所以BAD=120.又PA平面ABCD,所以PAAB,PAAD.因为PC=AC-AP=AB+AD-AP,所以|PC|=(AB+AD-AP)2=|AB|2+|AD|2+|AP|2+2ABAD-2ABAP-2ADAP=9+16+36+234(-12)-0-0=7,即线段PC的长为7.关键能力提升练7.(2020安徽淮北一中高二上期中)已知M,N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点,点P在线段MN上,且MP=2PN,设向量OA=a,OB=b,OC=c,则OP=()A.16a+16b+16cB.13a+13b+13cC.16a+13b+13cD.13a+16b+16c解析OP=O
5、M+MP=OM+23(ON-OM)=23ON+13OM=2312(OB+OC)+1312OA=13b+13c+16a,故选C.答案C8.在四面体O-ABC中,G1是ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若OG=xOA+yOB+zOC,则(x,y,z)为()A.14,14,14B.34,34,34C.13,13,13D.23,23,23解析如图所示,连接AG1交BC于点E,则E为BC的中点,AE=12(AB+AC)=12(OB-2OA+OC),AG1=23AE=13(OB-2OA+OC).因为OG=3GG1=3(OG1-OG),所以OG=34OG1.则OG=34OG1=34(OA+
6、AG1)=34OA+13OB-23OA+13OC=14OA+14OB+14OC.答案A9.(多选题)在三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=3,G是PAB的重心,E,F分别为棱BC,PB上的点,且BEEC=PFFB=12,则下列说法正确的是()A.EGPGB.EGBCC.FGBCD.FGEF解析如图,设PA=a,PB=b,PC=c,则a,b,c是空间的一个正交基底,则ab=ac=bc=0.取AB的中点H,则BC=c-b,PG=23PH=2312(a+b)=13a+13b,PE=PB+BE=PB+13(PC-PB)=23b+13c,则EG=PG-PE=13a+
7、13b-23b-13c=13a-13b-13c,BC=c-b,FG=PG-PF=13a+13b-13b=13a,EF=PF-PE=13b-13c+23b=-13c-13b.EGPG=0,故A正确;EGBC=0,故B正确;FGBC(R),故C不正确;FGEF=0,故D正确.故选ABD.答案ABD10.若a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,若e1,e2,e3不共面,当d=a+b+c时,+=.解析由已知d=(+)e1+(+)e2+(+)e3,所以+=1,+=2,+=3,故有+=3.答案311.(2020浙江杭州学军中学高二上期中)在棱长为a的正四面体ABCD中,
8、E,F分别为棱AD,BC的中点,则异面直线EF与AB所成角的大小是,线段EF的长度为.解析设AB=a,AC=b,AD=c,则a,b,c是空间的一个基底,|a|=|b|=|c|=a,ab=ac=bc=12a2.EF=AF-AE=12(a+b)-12c,EFAB=12a2+12ab-12ac=12a2,|EF|=(12a+12b-12c)2=22a.cos=EFAB|EF|AB|=12a222aa=22,异面直线EF与AB所成的角为4.答案422a12.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,MA=-13AC,ND=13A1D,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.
9、解连接AN,则MN=MA+AN.由已知可得四边形ABCD是平行四边形,从而可得AC=AB+AD=a+b,MA=-13AC=-13(a+b),又A1D=AD-AA1=b-c,故AN=AD+DN=AD-ND=AD-13A1D=b-13(b-c),所以MN=MA+AN=-13(a+b)+b-13(b-c)=13(-a+b+c).13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分别是CC1,BC,CD和A1C1的中点.证明:(1)AB1GE,AB1EH;(2)A1G平面EFD.证明(1)设正方体棱长为1,AB=i,AD=j,AA1=k,则i,j,k构成空间的一个单位正交基底.AB1=AB
10、+BB1=i+k,GE=GC+CE=12i+12k=12AB1,AB1GE.EH=EC1+C1H=12k+-12(i+j)=-12i-12j+12k,AB1EH=(i+k)-12i-12j+12k=-12|i|2+12|k|2=0,AB1EH.(2)A1G=A1A+AD+DG=-k+j+12i,DF=DC+CF=i-12j,DE=DC+CE=i+12k.A1GDF=-k+j+12ii-12j=-12|j|2+12|i|2=0,A1GDF.A1GDE=-k+j+12ii+12k=-12|k|2+12|i|2=0,A1GDE.又DEDF=O,A1G平面EFD.学科素养创新练14.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF平面B1AC.证明设AB=a,AD=c,AA1=b,有ab=0,ac=0,bc=0,则EF=EB1+B1F=12(BB1+B1D1)=12(AA1+BD)=12(AA1+AD-AB)=12(-a+b+c),AB1=AB+BB1=AB+AA1=a+b.EFAB1=12(-a+b+c)(a+b)=12(|b|2-|a|2)=0.EFAB1,即EFAB1.同理EFB1C.AB1B1C=B1,EF平面B1AC.