1、压轴专题（三） 第21题解答题“函数、导数与不等式”抢分练1.(2016武昌调研)已知函数f(x)(x1)ln xx1.(1)若0，求f(x)的最大值；(2)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线xy10垂直，证明：0.2(2016合肥质检)已知函数f(x)x3(a2)x2x(aR)(1)当a0时，记f(x)图象上动点P处的切线斜率为k，求k的最小值；(2)设函数g(x)e(e为自然对数的底数)，若对于x0，f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围3(2016兰州模拟)已知函数f(x)ln xax1(aR)(1)当0a时，讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)x22bx4.当a时，
2、若对任意x1(0，2)，存在x2，使f(x1)g(x2)，求实数b的取值范围4(2016江苏高考)已知函数f(x)axbx(a0，b0，a1，b1)(1)设a2，b.求方程f(x)2的根；若对于任意xR，不等式f(2x)mf(x)6恒成立，求实数m的最大值(2)若0a1，b1，函数g(x)f(x)2有且只有1个零点，求ab的值答 案1. 解：(1)f(x)的定义域为(0，)当0时，f(x)ln xx1.则f(x)1，令f(x)0，解得x1.当0x1时，f(x)0，f(x)在(0，1)上是增函数；当x1时，f(x)0，f(x)在(1，)上是减函数故f(x)在x1处取得最大值f(1)0.(2)证明
3、：由题可得，f(x)ln x1.由题设条件，得f(1)1，即1.f(x)(x1)ln xx1.由(1)知，ln xx10(x0，且x1)当0x1时，f(x)(x1)ln xx1xln x(ln xx1)0，0.当x1时，f(x)ln x(xln xx1)ln xx0，0.综上可知，0.2解：(1)f(x)x2(a2)x1.设P(x，y)，由于a0，kx22x10，即kmin0.(2)由g(x)e，得g(x)，易知g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，g(x)g(1)0，由条件知f(1)g(1)，可得a0.当a0时，f(x)x2(a2)x1(x1)2ax(x1)20.f(x)g(
4、x)对x(0，)成立综上，a的取值范围为(，03解：(1)因为f(x)ln xax1，所以f (x)a，x(0，)，令f(x)0，可得两根分别为1，1，因为0a，所以110，当x(0，1)时，f(x)0，函数f(x)单调递减；当x时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x时，f(x)0，函数f(x)单调递减(2)a，13(0，2)，由(1)知，当x(0，1)时，f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(1，2)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，所以f(x)在(0，2)上的最小值为f(1).对任意x1(0，2)，存在x2，使f(x1)g(x2)等价于g(x)在上的最小值不大于f(x)在(0，2
5、)上的最小值，(*)又g(x)(xb)24b2，x，所以，当b1时，g(x)ming(1)52b0，此时与(*)矛盾；当1b2时，g(x)min4b20，同样与(*)矛盾；当b2时，g(x)ming(2)84b，且当b2时，84b0，解不等式84b，可得b，所以实数b的取值范围为.4解：(1)因为a2，b，所以f(x)2x2x.方程f(x)2，即2x2x2，亦即(2x)222x10，所以(2x1)20，即2x1，解得x0.由条件知f(2x)22x22x(2x2x)22(f(x)22.因为f(2x)mf(x)6对于xR恒成立，且f(x)0，所以m对于xR恒成立而f(x)2 4，且4，所以m4，故
6、实数m的最大值为4.(2)因为函数g(x)f(x)2axbx2有且只有1个零点，而g(0)f(0)2a0b020，所以0是函数g(x)的唯一零点因为g(x)axln abxln b，又由0a1，b1知ln a0，ln b0，所以g(x)0有唯一解x0log.令h(x)g(x)，则h(x)(axln abxln b)ax(ln a)2bx(ln b)2，从而对任意xR，h(x)0，所以g(x)h(x)是(，)上的单调增函数于是当x(，x0)时，g(x)g(x0)0；当x(x0，)时，g(x)g(x0)0.因而函数g(x)在(，x0)上是单调减函数，在(x0，)上是单调增函数下证x00.若x00，则x00，于是gg(0)0.又g(loga2)aloga2bloga22aloga220，且函数g(x)在以和loga2为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和loga2之间存在g(x)的零点，记为x1.因为0a1，所以loga20.又0，所以x10，与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾若x00，同理可得，在和logb2之间存在g(x)的非0的零点，与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾因此，x00.于是1，故ln aln b0，所以ab1.
