1、5夹角的计算51直线间的夹角52平面间的夹角53直线与平面的夹角1能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的计算问题(重点)2体会向量方法在研究立体几何问题中的作用(难点)基础初探教材整理1直线间的夹角阅读教材P43“例1”以上的部分，完成下列问题设直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.已知向量a(1，1,0)，b(1,0，1)，则向量a与b的夹角是()A.BC.D【解析】cos a，b，a，b.【答案】A教材整理2平面间的夹角阅读教材P44“例2”以上的部分，完成下列问题(1)平面间夹角的概念如图251，平面1和2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面1上作直线l1l，在平面2
2、上作直线l2l，则l1l2R，我们把直线l1和l2的夹角叫作平面1与2的夹角图251(2)平面间夹角的求法设平面1与2的法向量分别为n1与n2.当0n1，n2时，平面1与2的夹角等于n1，n2；当n1，n2时，平面1与2的夹角等于n1，n2事实上，设平面1与平面2的夹角为，则cos |cosn1，n2|.已知平面的法向量为n1(1,1,1)，平面的法向量是n2.求平面与平面的夹角【解】cos n1，n2，n1，n2120，平面与平面的夹角为60.教材整理3直线与平面的夹角阅读教材P45“思考交流”以上的部分，完成下列问题设直线l的方向向量为s，平面的法向量为n，直线l与平面的夹角为.若直线的方
3、向向量为u1(1,1,1)，平面的法向量为u2(2,2,2)，则直线与平面所成角的正弦值为_【解析】u22u1，u1u2，u1与平面垂直，所成角的正弦值为1.【答案】1质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型直线间的夹角如图252所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD90，ADBC，ABBCa，AD2a，且PA底面ABCD，PDA30，AEPD，E为垂足图252(1)求证：BEPD；(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值【精彩点拨】要证明两直线垂直，或求两直线的夹角，只要适当地建立空间
4、直角坐标系，求出两直线对应的方向向量，然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得【自主解答】以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，a,0)，D(0,2a,0)又PDA30，APADtan 302aa，AEADsin 302aa.过E作EFAD，垂足为F，在RtAFE中，AEa，EAF60，AF，EFa.P，E.(1)证明：，0a2a20.，BEPD.(2)，(a，a,0)则cos，即AE与CD的夹角的余弦值为.1建立恰当的空间直角坐标系，准确求出相关点的坐标是解决这类题的关键2求线线夹角时，应注意线线夹角范围为，所
5、以若求得余弦值为负数，则线线夹角为其补角再练一题1已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为()【导学号：32550043】A.BC.D【解析】建系如图，设AA12AB2.则B(1,1,0)，C(0,1,0)D1(0,0,2)，E(1,0,1)(0,1,0)(0,0,2)(0,1，2)(1,0,1)(1,1,0)(0，1,1)cos ，异面直线D1C与BE所成角的余弦值为.【答案】B平面间的夹角如图253，直四棱柱ABCDA1B1C1D1，底面ABCD是菱形，ADAA1，DAB60，F为棱AA1的中点求平面BFD1与平面ABC
6、D所成的二面角的大小图253【精彩点拨】本题依据条件可采用综合法(非向量法)或空间向量法求解，通过本题可体会二面角的求解方法的综合应用【自主解答】法一：如图，延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，DB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线F是AA1的中点，可得A也是PD的中点，APAB.又DAB60，且底面ABCD是菱形，可得ABD为正三角形，故DBA60.PABP30，DBP90，即PBDB.又ABCDA1B1C1D1是直棱柱，DD1PB，PB平面DD1B.故DBD1就是二面角D1PBD的平面角显然BDADDD1，DBD145.法二：(向量法)建系如图：设这个四棱柱各棱长均为2
7、，则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，B(1，0)，F(1，1)，(2,0,1)，(1，2)显然，就是平面ABCD的法向量，再设平面BFD1的一个法向量为向量u(x0，y0，z0)，则u且u，2x0z00且x0y02z00.令x01可得z02，y0，即u(1，2)设所求二面角的平面角为，则cos ，所求二面角大小为45.求两平面的夹角有两种方法：(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角也可转化为求与两面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为n1，n2或n1，n2.再练
8、一题2.如图254所示，在底面为直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC90，SA平面ABCD，SAABBC1，AD，求平面SCD与平面SAB所成二面角的正切值图254【解】如图，以AD、AB、AS为x轴、y轴、z轴，以AB的长为单位长度建立空间直角坐标系，则各点坐标为D、C(1,1,0)、B(0,1,0)、S(0,0,1)于是有，它是平面SAB的法向量设平面SCD的法向量为n，并设n(x，y，z)，由，及n，n，得令x1，则y，z，从而n，cos ，从而tan .直线与平面的夹角正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角【精彩点拨】利用正三棱柱的性质
9、，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，取A1B1的中点M，连接C1M，证明C1AM是AC1与平面A1B所成的角；另一种是利用平面A1B的法向量求解【自主解答】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)，C1，(0,0，a)设侧面A1B的法向量n(，x，y)，所以n0，且n0.所以ax0，且ay0，令xy0，故n(，0,0)又因为，所以cos AC1，n.所以AC1与侧面ABB1A1所成的角为30.计算直线l与平面的夹角为的方法有：(1)利用法向量计算的步骤如下：(2)利用定义计算的步骤如下：再练一题3把本
10、例条件改为“侧棱与底面边长相等”，求AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值【导学号：32550044】【解】建立如图直角坐标系，设底面边长为1，则A1(0,0,1)，B1(0,1,1)，C1设A1C1的中点为D，则D，B1D平面ACC1A1，是平面ACC1A1的一个法向量又(0,1,1)，cos ，AB1与侧面AAC1A1所成角的正弦值为.探究共研型夹角的向量求法探究1利用向量法求异面直线所成的角时，要注意什么？【提示】异面直线所成角与这两直线的方向向量的夹角范围不同，其中异面直线所成的角的范围是，向量夹角的范围是0，当应用向量法求两异面的夹角时，若求得余弦值为正数，夹角即为所求；若求得余弦值
11、为负数，则夹角为其补角探究2两平面的夹角与二面角的平面角有什么不同？【提示】两平面的夹角范围是0，二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，这可以用其平面角的大小来定义，它的取值范围为0，其余弦值取还是应结合具体情况而定探究3利用向量法求直线与平面所成的角时，要注意什么？【提示】(1)直线与平面成所角的取值范围是.斜线和平面所成角的定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的锐角(2)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线l与平面所成的角为，a与u的夹角为，则有：当为锐角时，sin cos ，cos sin 当为钝角时，sin cos ，cos
12、sin 综上所述，sin |cos |或cos sin .图255如图255，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，BAD90，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M、N分别为PC、PB的中点求BD与平面ADMN的夹角.【自主解答】如图所示，建立空间直角坐标系，设BC1，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，则N(1,0,1)，(2,2,0)，(0,2,0)，(1,0,1)设平面ADMN的一个法向量为n(x，y，z)，则由得取x1，则z1，n(1,0，1)cos，n，sin |cos，n|.又090，30.构建体系1判断(正确的打“”，
13、错误的打“”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等()(2)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos n1，n2.()(3)直线与平面所成角的范围为.()【解析】(1)两直线的方向向量所成的角可能为钝角，而异面直线所成的角是锐角或直角，故不相等(2)余弦值也可以是.(3)直线与平面所成角的范围为.【答案】(1)(2)(3)2(2014广东高考)已知向量a(1,0，1)，则下列向量中与a与60夹角的是()【导学号：32550045】A(1,1,0)B(1，1,0)C(0，1,1)D(1,0,1)【解析】对于A中的向量a1(1,1,0)，c
14、os a，a1，a1与a的夹角为120，不合题意；对于B中的向量a2(1，1,0)，cos a，a2，a2与a的夹角为60，符合题意；对于C中的向量a3(0，1,1)，cos a，a3，a3与a的夹角为120，不合题意；对于D中的向量a4(1,0,1)，cos a，a41，a4与a的夹角为180，不合题意，故选B.【答案】B3直线l的方向向量为s，平面的法向量为n，若s，n，则直线l与平面所成的角为()A.BC.D【解析】s，n，l与所成的角为.【答案】B4在一个二面角的两个面内分别有向量m(1,2,0)，n(3,0，2)，且m，n都与二面角的棱垂直，则该二面角的余弦值为_【导学号：32550046】【解析】由题意知，m，n所成的锐角即为二面角的平面角cos m，n.二面角的余弦值为.【答案】5如图256，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求异面直线BA1和AC的夹角图256【解】分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，(0，a，a)，(a，a,0)cos ，.，120.异面直线BA1和AC的夹角为60.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_
