1、第八讲函数模型及其应用1.2021长春市第一次质量监测中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种绿茶用85 的水泡制,等到茶水温度降至60 时饮用,可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感的茶水所需的时间,某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度,根据所得数据作出如图2-8-1所示的散点图.观察散点图的分布情况,下列可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律的函数模型是()图2-8-1A.y=mx2+n(m0)B.y=mx+n(m0)C.y=max+n(m0,a0且a1)D.y=mlogax+n(m0,a0且a1)2.2021晋南高中联考2019年7月,中国良渚古
2、城遗址获准列入世界遗产名录.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了华夏五千年文明史.考古学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间t(单位:年)的衰变规律满足:N=N02-t5730(N0表示碳14原来的质量),经过测定,良渚古城某文物样本中碳14的质量是原来的0.6倍,据此推测良渚古城遗址存在的时期距今大约是(参考数据:log231.6,log252.3)()A.3 440年B.4 011年C.4 580年D.5 160年3.2021山东新高考模拟中国的5G技术处于领先地位,5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:C=Wlog2
3、(1+SN).它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速度C取决于信道带宽W,信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中SN叫作信噪比.当信噪比比较大时,公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式,若不改变带宽W,而将信噪比SN从1 000提升至4 000,则C大约增加了(附:lg 20.301 0)()A.10% B.20%C.50%D.100%4.2020四川绵阳中学模拟某数学小组进行社会实践调查,了解到鑫鑫桶装水经营部在为如何定价而发愁.通过进一步调研了解到如下信息:该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元,销售单价与日均销售量的关系如下表
4、:销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240根据以上信息,你认为定价为多少时才能获得最大利润?()A.每桶8.5元B.每桶9.5元C.每桶10.5元D.每桶11.5元5.2021山东省临沂市期中已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元,每生产1千件需另投入27万元,设该公司一年内生产该产品x千件(0x25)并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)(单位:万元),且R(x)=108-13x2(0x10),-x+175x+57(10x25).(1)写出年利润f(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该
5、公司在这一产品的生产中所获年利润最大?(注:年利润=年销售收入-年总成本)6.2021江苏启东中学模拟某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召,因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现:某珍稀水果树的单株产量W(单位:千克)与肥料费用10x(单位:元)满足如下关系:W(x)=5(x2+2),0x2,50x1+x,2x5,其他成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x元.已知这种水果的市场价大约为15元/千克,且销路畅通供不应求.记该珍稀水果树的单株利润为f(x)(单位:元).(1)求f(x)的函数关系式;(2)当投入的肥料费用为多少时,该珍稀水果树的单株利润最大?最大利润是多
6、少?7.2020安徽省太湖中学模拟某公司计划投资开发一种新能源产品,预计能获得10万元1 000万元的收益.现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案:资金y(单位:万元)随收益x(单位:万元)的增加而增加,且资金总数不超过9万元,同时资金总数不超过收益的20%.(1)若建立奖励方案的函数模型为y=f(x),试研究这个函数的定义域、值域和yx的取值范围;(2)现有两个奖励方案的函数模型:y=x150+2;y=4lg x-3.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求,并说明理由.8.2020武汉市部分高中联考某市一家商场的新年最高促销奖设立了三种领奖方式,这三种领奖方式如下.方式一:每天到该商场领取奖
7、品,价值为40元.方式二:第一天领取的奖品的价值为10元,以后每天比前一天多10元.方式三:第一天领取的奖品的价值为0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.若三种领奖方式对应的奖品总价值均不超过1 200元,则促销奖的领奖活动最长设置为几天?在领奖活动最长的情况下,你认为哪种领奖方式让领奖者受益最多?答 案第八讲函数模型及其应用1.C由散点图的连线是曲线可知,B选项不符合题意;对于A选项,因为A中的函数是二次函数,其图象对称轴为y轴,与题中图象不符,故排除A;对于D选项,D中的函数图象过定点(1,n),且必穿过x轴,D选项不符题意.故符合条件的只有指数函数图象,故选C.2.B由题意知,N=N0
8、2-t5730=0.6N0,即2-t5730=0.6,-t5730=log20.6,t=(-5 730)(log23-log25)4 011,故选B.3.B将信噪比SN从1 000提升至4 000时,C增加了Wlog2(1+4000)-Wlog2(1+1000)Wlog2(1+1000)log24000-log21000log21000=23log210=23lg 2230.301 00.2=20%,故C大约增加了20%,故选B.4.D通过题中表格可知销售单价每增加1元,日均销售量减少40桶,设每桶水的价格为(6+x)元(x0),日利润为y元,则y=(6+x-5)(480-40x)-200=-
9、40x2+440x+480(x0),-400,当x=440240=5.5时y有最大值,每桶水的价格为11.5元时,日利润最大,故选D.5.(1)当0x10时,f(x)=xR(x)-(100+27x)=81x-x33-100;当10x25时,f(x)=xR(x)-(100+27x)=-x2+30x+75.故f(x)=81x-x33-100(0x10),-x2+30x+75(10x25).(2)当00,f(x)单调递增;当x(9,10)时,f (x)0,f(x)单调递减.故f(x)max=f(9)=819-1393-100=386.当10x25时,f(x)=-x2+30x+75=-(x-15)2+
10、300300.综上得当x=9时,年利润取最大值386.所以当年产量为9千件时,该公司在这一产品的生产中所获年利润最大.6.(1)由已知得f(x)=15W(x)-20x-10x=15W(x)-30x=155(x2+2)-30x,0x2,1550x1+x-30x,2x5=75x2-30x+150,0x2,750x1+x-30x,2x5.(2)由(1)得f(x)=75x2-30x+150,0x2,750x1+x-30x,2x5=75(x-15)2+147,0x2,780-30251+x+(1+x),2x5,当0x2时,f(x)max=f(2)=390;当2x5时,f(x)=780-30251+x+(
11、1+x)780-302251+x(1+x)=480,当且仅当251+x=1+x,即x=4时等号成立.因为3900.2, 不符合要求.当y=4lg x-3时,该函数在定义域上为增函数,最大值为9.yx0.2y-0.2x0.令g(x)=4lg x-3-0.2x,则g(x)=20-xln105xln100.所以g(x)g(10)=-10,即yx0.2.故函数y=4lg x-3符合公司的要求.8.设促销奖的领奖活动为x天,三种方式对应的奖品总价值分别为f(x),g(x),h(x)(f(x),g(x),h(x)的单位均为元).则f(x)=40x;g(x)=10+20+30+10x=5x2+5x;h(x)=0.4+0.42+0.422+0.42x-1=0.42x-0.4.要使奖品总价值不超过1 200元,则f(x)1200,g(x)1200,h(x)1200,xN,即x30,x2+x-2400,2x3001,xN,解得xg(11)f(11).故促销奖的领奖活动最长设置为11天,在这11天内选择方式三会让领奖者受益最多.
