1、天天练36直线与圆锥曲线的综合一、选择题1已知抛物线y216x，直线l过点M(2,1)，且与抛物线交于A，B两点，|AM|BM|，则直线l的方程是()Ay8x15 By8x15Cy6x11 Dy5x9答案：B解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)，代入抛物线方程得y16x1，y16x2，两式相减得，(y1y2)(y1y2)16(x1x2)，即，又y1y22，所以kAB8，故直线l的方程为y8x15.2已知直线ykx1与双曲线x21交于A，B两点，且|AB|8，则实数k的值为()A B或C D答案：B解析：由直线与双曲线交于A，B两点，得k2.将ykx1代入x21得(4k2)x2
2、2kx50，则4k24(4k2)50，k20)恒有公共点，则m的取值范围是()A3，) B(，3C(3，) D(，3)答案：A解析：直线ykxk1恒过定点(1，1)因为直线ykxk1与曲线C：x22y2m(m0)恒有公共点，则曲线C表示椭圆，点(1，1)在椭圆内或椭圆上，所以122(1)2m，所以m3，选A.4(2018宁波九校联考(二)过双曲线x21(b0)的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线的两条渐近线分别交于B，C，且2，则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.答案：C解析：由题意可知，左顶点A(1,0)又直线l的斜率为1，所以直线l的方程为yx1，若直线l与双曲线的渐近线有交
3、点，则b1.又双曲线的两条渐近线的方程分别为ybx，ybx，所以可得xB，xC.由2，可得2(xBxA)xCxB，故2，得b2，故e.5(2018太原一模)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，ABC的顶点都在抛物线上，且满足0，则()A0 B1C2 D2p答案：A解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F，则(0,0)，故y1y2y30.，同理可知，0.6(2018福建福州外国语学校适应性考试)已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为2，抛物线yx2与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为()A.1 B.1Cx21 D.y21答案：D解析：由题意可得c，得a2b25
4、，双曲线的渐近线方程为yx.将渐近线方程和抛物线方程yx2联立，可得x2x0，由渐近线和抛物线相切可得40，即有a24b2，又a2b25，解得a2，b1，可得双曲线的方程为y21.故选D.7(2018天津红桥区期末)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于O，A，B三点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p()A1 B.C2 D3答案：C解析：因为双曲线方程为1，所以双曲线的渐近线方程是yx.又抛物线y22px(p0)的准线方程是x，故A，B两点的纵坐标分别是y.因为双曲线的离心率为2，所以2，所以3，则，A，B两点的纵坐标分别是y.又A
5、OB的面积为，x轴是AOB的平分线，所以p，解得p2.故选C.8(2017新课标全国卷，10)已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为()A16 B14C12 D10答案：A解析：因为F为y24x的焦点，所以F(1,0)由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为，故直线l1，l2的方程分别为yk(x1)，y(x1)由得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21，所以|AB|x1x2|.同理可得|DE|4
6、(1k2)所以|AB|DE|4(1k2)411k284k284216，当且仅当k2，即k1时，取得等号故选A.二、填空题9(2018昆明二模)直线l：yk(x)与曲线C：x2y21(x0)交于P，Q两点，则直线l的倾斜角的取值范围是_答案：解析：曲线C：x2y21(x1或k0，则x1x2，x1x21，1.当直线的斜率不存在时，易知|AF|BF|2，故1.设|AF|a，|BF|b，则1，所以|AF|4|BF|a4b(a4b)59，当且仅当a2b时取等号，故a4b的最小值为9，此时直线的斜率存在，且x112(x21)，联立得， x12，x2，k2，故直线AB的倾斜角的正弦值为.11(2018广东揭
7、阳一中、汕头金山中学联考)已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x21(a0)的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a_.答案：解析：根据抛物线的定义得15，所以p8，所以m4.由对称性不妨取M(1,4)，A(1,0)，则直线AM的斜率为2，由题意得21，故a.三、解答题12(2018山西大学附属中学期中)已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的直线l与E交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程解析：(1)设F(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21，故E的方程为y21.(2)依题意当lx轴时不合题意，故设直线l的方程为ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2，从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d，所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ1，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.所以当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.