1、课时跟踪检测（十六） 奇 偶 性A级学考水平达标练1下列函数中，是偶函数的是()Ayx2(x0) By|x1|Cy Dy3x1解析：选C先判断定义域是否关于原点对称，排除A，再验证f(x)f(x)是否成立，故选C.2函数f(x)是()A奇函数 B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数解析：选B若x是有理数，则x也是有理数，f(x)f(x)1；若x是无理数，则x也是无理数，f(x)f(x)0.函数f(x)是偶函数3已知f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)f(1)，则下列各式中一定成立的是()Af(1)f(3) Bf(0)f(5)Cf(3)f(2) Df(2)f(0)解析：选Af(x)
2、为偶函数，所以f(1)f(1)，又f(3)f(1)，所以f(3)f(1)成立4如果奇函数f(x)的区间7，3上是减函数且最大值为5，那么函数f(x)在区间3,7上是()A增函数且最小值为5 B增函数且最大值为5C减函数且最小值为5 D减函数且最大值为5解析：选Cf(x)为奇函数，f(x)在3,7上的单调性与7，3上的单调性一致，且f(7)为最小值f(7)5，f(7)f(7)5，选C.5设f(x)为定义在R上的奇函数当x0时，f(x)2x22xb(b为常数)，则f(1)()A4 B1C1 D4解析：选D因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以有f(0)20220b0，解得b0，所以当x0时，f(x
3、)2x22x，所以f(1)f(1)(21221)4.6已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x0，)时，f(x)则f(f(2)_.解析：因为f(2)f(2)0，所以f(f(2)f(0)1.答案：17已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，且在2,6上是减函数，则f(5)_f(3)(填“”或“”)解析：f(x)为偶函数，f(5)f(5)，而函数f(x)在2,6为减函数，f(5)f(3)f(5)f(3)答案：8已知定义域为a4,2a2的奇函数f(x)2 019x35xb2，则f(a)f(b)的值为_解析：奇函数的图象关于原点对称，所以a42a20，所以a2，因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)0
4、，即b20，故b2，所以f(a)f(b)f(2)f(2)f(2)f(2)0.答案：09判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3x5；(2)f(x)(3)f(x).解：(1)函数的定义域为R.f(x)(x)3(x)5(x3x5)f(x)，f(x)是奇函数(2)f(x)的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，f(x)1(x)1xf(x)；当x0，f(x)1(x)1xf(x)综上可知，对于x(，0)(0，)，都有f(x)f(x)，f(x)为偶函数(3)函数f(x)的定义域是(，1)(1，)，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数10设函数f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)x2
5、4x.(1)求f(x)的表达式；(2)证明f(x)在区间(0，)上是增函数解：(1)当x0，所以f(x)(x)24(x)x24x.因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)f(x)(x24x)x24x(x0)所以f(x)(2)证明：设任意的x1，x2(0，)，且x1x2，则f(x2)f(x1)(x4x2)(x4x1)(x2x1)(x2x14)因为0x10，x2x140，所以f(x2)f(x1)0，所以f(x1)0)在区间0,2上的最小值为g(m)(1)求函数g(m)的解析式；(2)定义在(，0)(0，)上的函数h(x)为偶函数，且当x0时，h(x)g(x)若h(t)h(4)，求实
6、数t的取值范围解：(1)因为f(x)x2mx2(m0)，所以当0m4时，04时，函数f(x)2在区间0,2上单调递减，所以g(m)f(2)42m.综上可知，g(m)(2)因为当x0时，h(x)g(x)，所以当x0时，h(x)易知函数h(x)在(0，)上单调递减，因为定义在(，0)(0，)上的函数h(x)为偶函数，且h(t)h(4)，所以0|t|4，解得4t0或0t4.综上所述，实数t的取值范围为(4,0)(0,4)5已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)，(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(3)a，试用a表示f(12)解：(1)证明：由已知f(xy)f(x)f(y)，令yx得f(0)f(x)f(x)，令xy0得f(0)2f(0)，所以f(0)0.所以f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，故f(x)是奇函数(2)由(1)知f(x)为奇函数所以f(3)f(3)a，所以f(3)a.又f(12)f(6)f(6)2f(3)2f(3)4f(3)，所以f(12)4a.