1、临沂市高三教学质量检测考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.在复平面内，复数(i为虚数单位)对应的点在A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】复数，复数为虚数单位）对应的点在第二象限，故选B.2.已知集合，则=A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别求出集合A和B，由此能求出AB【详解】集合x|x-1，ABx|-1x0=故选：C【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用3.已知8位学生的某次数学测试成绩的茎叶图如图，则下列说法正确
2、的是A. 众数为7 B. 极差为19C. 中位数为64.5 D. 平均数为64【答案】C【解析】【分析】根据茎叶图中的数据求得这组数据的众数、极差、中位数和平均数【详解】根据茎叶图中的数据知，这组数据的众数为67，A错误；极差是755718，B错误；中位数是64.5，C正确；平均数为60（31+1+2+7+7+12+15）65，D错误故选：C【点睛】本题考查了利用茎叶图求众数、极差、中位数和平均数的应用问题，是基础题4.已知双曲线的一个焦点F(2，0)，一条渐近线的斜率为，则该双曲线方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可得c2，求得双曲线的渐近线方程可得a，b的关系式
3、，解方程可得a，b，进而得到双曲线方程【详解】由题意可得c2，即a2+b24，双曲线的渐近线方程为yx，由题意可得，解得a1，b，则双曲线的方程为x21，故选：A【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题5.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是A. 的一个周期为 B. C. 是图象的一条对称轴 D. 是偶函数【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的平移关系求出g（x）的解析式，结合三角函数的周期性，奇偶性，对称性分别进行判断即可【详解】将函数的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，即g（x）sin2（x）sin（2x
4、）sin（2x）cos2x，则g（x）的最小正周期T，故A错误，g（）cos（2）cos，故B错误，Cg（）cos（2）cos1，即不是g（x）图象的一条对称轴，故C错误，Dg（x）cos（2x）cos2xg（x），即g（x）是偶函数，故D正确，故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键6.“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是A. m1 B. m1 C. m0 D. m2【答案】D【解析】【分析】由二次不等式恒成立问题得：“不等式x22x+m0在R上恒成立”的充要条件为：“（2）24m0“即”m1“，由充分必要条件得：“m2
5、“是”m1“的充分不必要条件，即“不等式x22x+m0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是：”m2“，得解【详解】“不等式x22x+m0在R上恒成立”的充要条件为：“（2）24m0“即”m1“，又“m2“是”m1“的充分不必要条件，即“不等式x22x+m0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是：”m2“，故选：D【点睛】本题考查了二次不等式恒成立问题及充分必要条件，属于简单题7.已知函数是奇函数，当时，函数的图象与函数的图象关于对称，则=A. 7 B. 9 C. 11 D. 13【答案】C【解析】【分析】由x0时，函数f（x）的图象与函数ylog2x的图象关于yx对称可得出，x0时，f（x）2x
6、，从而得出x0时，g（x）2x+x2，再根据g（x）是奇函数即可求出g（1）+g（2）的值【详解】x0时，f（x）的图象与函数ylog2x的图象关于yx对称；x0时，f（x）2x；x0时，g（x）2x+x2，又g（x）是奇函数；g（1）+g（2）g（1）+g（2）（2+1+4+4）11故选：C【点睛】考查奇函数的定义，以及互为反函数的两函数图象关于直线yx对称，指数函数和对数函数互为反函数的应用，属于中档题8.执行如图所示的程序框图，输出的值为A. 0 B. C. 1 D. 1【答案】A【解析】【分析】根据程序框图，利用模拟验算法进行求解即可【详解】第一次循环，k1，Scos01，k1+12，
7、k4不成立，第二次循环，k2，S1+cos1=，k2+13，k4不成立；第三次循环，k3，Scos，k3+14，k4不成立；第四次循环，k4，Scos，k4+15，k4成立退出循环，输出S0，故选：A【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键9.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，b=3，C=60，则tanA=A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理列出关系式，将a，b及cosC的值代入即可求出c的值，进而根据正弦定理可求sinA，利用同角三角函数基本关系式即可得解【详解】在ABC中，a2，b3，C60，由余弦定理得
8、：c2a2+b22abcosC4+967，解得：c由正弦定理，可得：sinA，ab，A为锐角，cosA，tanA故选：B【点睛】此题考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式以及特殊角的三角函数值的综合应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题10.某几何体的三视图如图，其中侧视图为半圆，则该几何体的表面积为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三视图知该几何体是半圆柱体，结合图中数据计算该几何体的表面积即可【详解】根据三视图知，该几何体是半圆柱体，画出图形如图所示；结合图中数据，计算该几何体的表面积为：S212213+234+6故选：A【点睛】本题考查了利用三视图
9、求几何体表面积的应用问题，是基础题11.“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著算法统综中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节四升五，上梢四节三升八，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明。”(【注】四升五：4.5升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为A. 2.2升 B. 2.3升 C. 2.4升 D. 2.5升【答案】D【解析】【分析】设从下至上各节容积分别为a1，a2，a9，则an是等差数列，设公差为d，由题意利用等差数列通项公式列出方程组，由此能求出中间两节的容积【详解】设从下至上
10、各节容积分别为a1，a2，a9，则an是等差数列，设公差为d，由题意得，解得a11.6，d0.1，中间两节的容积为：a4+a5（1.60.13）+（1.60.14）2.5（升）故选：D【点睛】本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用12.点A、B分别为椭圆的左、右顶点，F为右焦点，C为短轴上不同于原点O的一点，D为OC的中点，直线AD与BC交于点M，且MFAB，则该椭圆的离心率为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用MFOC，MFOD，得到比例关系，得到a、c数量关系，可求得离心率【详解】由题意如图：MFAB，且OCAB，
11、MFOC，同理MFOD，得到：=,2（ac）c+a，a3c，e故选：B【点睛】本题考查了椭圆的离心率的求法，通过平行线段的比例关系，找到a、b、c的关系是解决本题的关键，属于中档题二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。13.已知向量a=(3，2)，b=(1，1)，若，则=_【答案】【解析】【分析】可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出【详解】；解得故答案为：【点睛】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法、数乘和数量积的运算14.设满足约束条件，则的最小值为_【答案】8【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，结合图形求得最优解，再计算目标函数的最小值【详解】画出不等
12、式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由图形知，当目标函数z2x+3y过点A时，z取得最小值；由，求得A（1，2）；z2x+3y的最小值是21+328故答案为：8【点睛】本题考查了线性规划的应用问题，解题时常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证求出最优解15.已知数列的前n项和为，满足，若与的等差中项为11，则m的值为_【答案】3【解析】【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步求出数列的前n项和，再利用等差中项求出结果【详解】数列an的前n项和为Sn，满足，当n2时，得：，即：，当n1时，a11，（首项符合通项），故：
13、，则：，am与Sm的等差中项为11，故：，整理得：3m27，解得：m3故答案为：3【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题型16.若，则定义直线为曲线，的“分界直线”已知，则的“分界直线”为_【答案】y=x-1【解析】【分析】求得f（x），g（x）的交点（1，0），可得所求直线过（1，0），即bk，由kxk（x）在x1恒成立，运用判别式小于等于0，化简可得k1，可得直线方程为yx1，再证x1xlnx在x1恒成立，通过函数yxlnxx+1，求得导数，判断单调性，即可得到所求结论【详解】由f（1）ln10，g
14、（1）（11）0，则f（x），g（x）的图象存在交点（1，0），且f（x），g（x）在1，+）递增，可得直线ykx+b必过（1，0），即bk，由kx+bg（x），即kxk（x）在x1恒成立，即有（2k1）x22kx+10，可得2k10，且4k24（2k1）0，解得k1，即有直线方程为yx1，下面证明x1xlnx在x1恒成立，由yxlnxx+1的导数为y1+lnx1lnx，由x1可得lnx0，即有函数yxlnxx+1在x1递增，可得xlnxx1在x1恒成立，则f（x），g（x）的“分界直线”为yx1故答案为：yx1【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，注意运用构造函数法
15、，考查化简整理的运算能力，属于中档题三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生要根据要求作答。(一)必考题：共60分。17.已知函数，且的最小正周期为(1)求的值；(2)求的单调递增区间【答案】（1）（2）4k，4k（kZ）【解析】【分析】（1）利用三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）sin（2x），利用其最小正周期为4可求得；（2）由（1）知，f（x）sin（x），利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的单调递增区间【详解】（1）f（x）sinxcosx+cos2xsin2xcos2xsin（2x），T
16、4，（2）f（x）sin2kx2k，kZ+4kx+4k，kZf（x）的单调递增区间为4k，4k（kZ）【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的周期性与单调性，属于中档题18.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABAD，ADBC，AD=2BC=4，PB=，M是线段AP的中点 (1)证明：BM平面PCD；(2)当PA为何值时，四棱锥P-ABCD的体积最大?并求此最大值【答案】（1）见解析（2）当PA4时，体积最大值为16【解析】【分析】（1）取PD中点N，易证MNCB为平行四边形，进而得BM，CN平行，得证；（2）设PAx（0），把体积表示为关于x的函数，借助不等式
17、求得最大值【详解】（1）取PD中点N，连接MN，CN，M是AP的中点，MNAD且MN，ADBC，AD2BC，MNBC，MNBC，四边形MNCB是平行四边形，MBCN，又BM平面PCD，CN平面PCD，BM平面PCD；（2）设PAx（0x4），PA平面ABCD，PAAB，AB，又ABAD，AD2BC4，VPABCD 16，当且仅当x，即x4时取等号，故当PA4时，四棱锥PABCD的体积最大，最大值为16【点睛】此题考查了线面平行，线面垂直的证明，棱锥体积的求法，涉及基本不等式求最值，属于中档题19.某中学为了丰富学生的课外文体活动，分别开设了阅读、书法、绘画等文化活动；跑步、游泳、健身操等体育活
18、动该中学共有高一学生300名，要求每位学生必须选择参加其中一项活动，现对高一学生的性别、学习积极性及选择参加的文体活动情况进行统计，得到数据如下：(1)在选择参加体育活动的学生中按性别分层抽取6名，再从这6名学生中抽取2人了解家庭情况，求2人中至少有1名女生的概率；(2)是否有999的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关?请说明你的理由附：参考公式：，其中【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）得到6名学生中有4名男生，2名女生，男生记为a,b,c,d，女生记为为A,B，6名学生中再选抽2个，通过列举法求出满足条件的概率即可（2）求出列联表，求出的值，判断即可；【详解】（1）
19、由题意知参加体育活动的学生中，男生人数为60人，女生人数为30人，按性别分层抽取6名，则男生被抽取的人数为=4，女生被抽取的人数为=2，记4名男生分别为a,b,c,d，2名女生为A，B，则从这6名学生中抽取2人的情况有（a,b）（a,c）（a,d）（a,A）（a,B）（b,c）（b,d）（b,A）（b,B）（c,d）（c,A）（c,B）（d,A）（d,B）（A,B）一共15种情况，2人中至少有1名女生共有9种情况，概率为=.（2）列联表为：学习积极性高学习积极性不高总计参加文化活动18030210参加体育活动603090总计2406030010.828所以有999的把握认为学生的学习积极性与选
20、择参加文化活动有关【点睛】本题考查了列联表及独立性检验的应用，考查列举法求概率问题，是一道中档题20.已知抛物线E：上一点M到焦点F的距离为5(1)求抛物线E的方程；(2)直线与圆C：相切且与抛物线E相交于A，B两点，若AOB的面积为4(O为坐标原点)，求直线的方程【答案】（1）y24x；（2）【解析】【分析】（1）由抛物线的定义求出p的值，即可得出抛物线的方程；（2）设直线l的方程为xmy+n，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），根据直线l与圆C相切得出m与n所满足的第一个关系式，将直线l的方程联立，列出韦达定理，计算出|AB|以及原点O到直线l的距离d，然后利用三角形的面积公式计算出A
21、OB的面积，得出m与n所满足的第二个关系式，然后将两个关系式联立，求出m和n的值，即可得出直线l的方程【详解】（1）由抛物线的定义知，所以，p2，因此，抛物线E的方程为y24x；（2）由题意知，直线l与y轴不垂直，设直线l的方程为xmy+n直线l与圆C相切，又圆C的圆心为（2，0），所以，4m2n24n，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），由，消去x得，y24my4n0，由韦达定理得y1+y24m，y1y24n则，又原点O到直线l的距离为，（m2+n）n24，又4m2n24n，解得n2当n2时，m21不成立；当n2时，m23，经检验，所求直线方程为，即【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题
22、，考查抛物线的定义，以及韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题21.已知函数 (1)判断的单调性；(2)若在(1，+)上恒成立，且=0有唯一解，试证明a1【答案】（1）f（x）在（0，）递减，在（，+）递增；（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为2lnx00，令g（x0）2lnx0，根据函数的单调性证明即可【详解】（1）函数的定义域是（0，+），f（x）xa，易知x2ax20有两根，x10，x2，故f（x）在（0，）递减，在（，+）递增；（2）a0，1，f（x）在（1，+）上有唯一零点x0，又
23、f（x）xa，x0a0，要使f（x）0在区间（1，+）恒成立，且f（x）0有唯一解，须f（x0）0，即2lnx0（1）ax00，由得：2lnx0（1）x0（x0）0，故2lnx00，令g（x0）2lnx0，显然g（x0）在（1，+）递减，g（1）20，g（2）2ln20，1x02，又ax0在（1，+）递增，故a1【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系
24、，点A为曲线上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足，点B的轨迹为(1)求，的极坐标方程；(2)设点C的极坐标为(2，0)，求ABC面积的最小值【答案】（1）的极坐标方程为=2sin；的极坐标方程为sin=3。（2）ABC面积的最小值为1。【解析】【分析】(1)根据公式，把参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间进行相互转换。(2) 利用（1）的结论，结合三角形的面积公式、三角函数的值域即可求出结果。【详解】(1) 曲线的参数方程为(为参数)转换为直角坐标方程为：x2+（y-1）2=1展开后得x2+y 2-2y=0根据2= x2+y 2， y=sin代入化简得的极坐标方程为=2sin设点B的极
25、坐标方程为（，），点A的极坐标为（0，0），则|OB|=，|OA|=0，由于满足|OA|OB|=6，则，整理得的极坐标方程为sin=3(2) 点C的极坐标为(2，0)，则OC=3 所以当时取得最小值为1【点睛】本题考查了参数方程、直角坐标方程、极坐标方程间的转换，三角形面积公式的综合应用，考查对知识的运用和计算能力，属于中档题。23.已知函数(1)求的最小值m；(2)若正实数满足【答案】(1) 4 (2)见解析。【解析】【分析】(1) 对x分类讨论去绝对值，画出函数图像即可求得最小值m。(2)根据柯西不等式即可证明。【详解】(1) 当x1时，当1x5时，当5x时，画出函数图像如下图所示，由图可知，最小值m=4(2)证明：a0，b0且满足得证【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，柯西不等式的应用，属于中档题。
