1、本章复习提升易混易错练易错点1忽略了三角形中边角关系的隐含条件1.()在ABC中,tanAtanB=a2b2.试判断ABC的形状.易错2.()在ABC中,内角A,B,C及其所对的边a,b,c满足C为钝角,c-b=2bcosA.(1)求证:A=2B;(2)若b=12,求a的取值范围.易错3.(2021安徽六安一中高二上开学考试,)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,acosB=(2c-b)cosA.(1)求A;(2)若ABC为锐角三角形,且a=1,求ABC周长的取值范围.易错易错点2忽略了三角形解的个数问题4.(2019河南郑州高二期末,)已知ABC中,满足a=3,b=2,B=30
2、,则这样的三角形有()A.0个B.1个C.2个D.无数个5.(2020江西南昌二中高一下月考,)在ABC中,a=2,A=4,若此三角形有两解,则b的取值范围是.易错6.()已知在ABC中,a=3,b=2,B=45,求角A,C和边c.易错点3错把空间问题看成平面问题7.()如图所示,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30,45,60,且AB=BC=60m,求建筑物的高度.思想方法练一、数形结合思想在解三角形中的应用1.(2021湖南怀化高二上联考,)两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为3km,5km,灯塔A在观察站C的北偏东20方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40方向上,
3、则灯塔A与B的距离为(深度解析)A.6kmB.43kmC.7kmD.52km2.()一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68km的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为()A.1762km/hB.346km/hC.1722km/hD.342km/h3.()海上一观测站测得方位角240的方向上有一艘停止航行待修的商船,在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近,速度为每小时90km.此时海盗船距观测站107km,20min后测得海盗船距观测站20km,再过min,海盗船到达商船处.4.()海上某货轮在A处看灯塔B,在货轮北偏东75,距离为126km;
4、在A处看灯塔C,在货轮的北偏西30,距离为83km;货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B的方位角为120.求:(1)A处与D处之间的距离;(2)灯塔C与D处之间的距离.二、函数与方程思想在解三角形中的应用5.()在ABC中,A=60,b=1,SABC=3,则角A的对边的长为()A.57B.37C.21D.136.(2021广东深圳高二上调研,)如图,设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,3(acosC+ccosA)=2bsinB,且CAB=3.若点D是ABC外一点,DC=1,DA=3,则四边形ABCD面积的最大值为.深度解析7.()如图,有一直径为8的半圆形空地,现计划种植甲、乙两
5、种果树,已知单位面积种植甲种果树的经济价值是种植乙种果树经济价值的5倍,但种植甲种果树需要有辅助光照.半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲种果树生长的需要,该光源照射范围是ECF=6,点E,F在直径AB上,且ABC=6.(1)若CE=13,求AE的长;(2)设ACE=,求该空地产生最大经济价值时种植甲种果树的面积.答案全解全析本章复习提升易混易错练1.解析由已知得sinAcosBsinBcosA=sin2Asin2B,即cosBcosA=sinAsinB,所以sinAcosA=sinBcosB.因为A(0,),B(0,),所以sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A+2B=,即A=B或A+
6、B=2,所以ABC是等腰三角形或直角三角形.易错警示由sin2A=sin2B得出两角间的关系时,容易忽略2A与2B互为补角这种情况.2.解析(1)证明:由c-b=2bcosA,得sinC-sinB=2sinBcosA.在ABC中,因为C=-(A+B),所以sinC=sin(A+B),所以sin(A+B)-sinB=sinAcosB+sinBcosA-sinB=2sinBcosA,整理得sin(A-B)=sinB.因为C为钝角,所以0B2,-2A-B2,所以A-B=B,故A=2B.(2)由正弦定理及(1),得bsinB=asinA=a2sinBcosB.因为b=12,所以a=2bcosB=cos
7、B.因为角C为钝角,所以0A+B=2B+B2,即0B6,所以32cosB1,所以a的取值范围为32,1.易错警示在求a的取值范围时,需考虑C为钝角这一限制条件,否则求得的范围将扩大.3.解析(1)解法一:由已知得acosB+bcosA=2ccosA.由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA,即sin(A+B)=2sinCcosA,sin(A+B)=sinC,sinC=2sinCcosA.sinC0,cosA=12,0A,A=3.解法二:acosB=(2c-b)cosA,aa2+c2-b22ac=(2c-b)b2+c2-a22bc,化简得b2+c2-a2=bc,cosA
8、=b2+c2-a22bc=12.0A,A=3.(2)asinA=bsinB=csinC,且a=1,A=3,b=233sinB,c=233sinC,a+b+c=1+233(sinB+sinC)=1+233sinB+sin23-B=1+2sinB+6.ABC为锐角三角形,0B2,023-B2,6Bb,这样的三角形有2个.故选C.5.答案(2,22)解析在ABC中,a=2,A=4,由正弦定理可得bsinB=asinA=2sin4=22,即sinB=b22,又此三角形有两解,所以ba,sinB1,即2b22.易错警示在用正弦定理和余弦定理解三角形时,只有已知两边和一边对角时可能会出现两解的情形.如已知
9、a,b,B,若asinBbb,所以A=60或A=120.当A=60时,C=180-45-60=75,c=bsinCsinB=6+22;当A=120时,C=180-45-120=15,c=bsinCsinB=6-22.7.解析设建筑物的高度为hm,由题图知,PA=2hm,PB=2hm,PC=233hm,在PBA和PBC中,分别由余弦定理的推论,得cosPBA=PB2+AB2-PA22PBAB=2h2+602-4h222h60,cosPBC=PB2+BC2-PC22PBBC=2h2+602-43h222h60.PBA+PBC=180,cosPBA+cosPBC=0.由解得h=306或h=-306(
10、舍去),即建筑物的高度为306m.思想方法练1.C由题意作出示意图如下:作出示意图,利用图形直观分析各角之间的关系,体现了数形结合思想.由题意可得ACB=180-20-40=120,由余弦定理可得,AB2=9+25+15=49,所以AB=7m(负值舍去).故选C.思想方法数形结合思想在解三角形中有着重要的作用,尤其是解三角形的实际应用问题时,往往根据题意先画出图形,再借助图形找出各个量之间的关系,这充分体现了数形结合的思想.2.A设这只船的航行速度为vkm/h,如图所示,借助图形直观确定边角关系.在PMN中,PMsin45=MNsin120,MN=683222=346(km),v=MN4=17
11、62(km/h).3.答案403解析如图,设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A、B、C处,20min后,海盗船到达D处.借助图形,确定观测站、商船、海盗船的位置、构造三角形.在ADC中,AC=107km,AD=20km,CD=30km,由余弦定理的推论,得cosADC=AD2+CD2-AC22ADCD=400+900-70022030=12,ADC=60.在ABD中,由已知得ABD=30,BAD=60-30=30,BD=AD=20km,209060=403(min).4.解析由题意,画出示意图,如图所示.数形结合,构造三角形,便于解决实际问题.(1)在ABD中,由已知得ADB=60,则B=4
12、5.由正弦定理,得AD=ABsin45sin60=24km,即A处与D处之间的距离为24km.(2)在ADC中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC2-2ADACcos30=242+(83)2-2248332=(83)2,CD=83km,即灯塔C与D处之间的距离为83km.5.DSABC=12bcsinA=121csin60=3,c=4.利用方程思想,构造关于c的方程.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos60=1+16-21412=13.a=13(负值舍去).6.答案532+3解析由正弦定理可得,3(sinAcosC+sinCcosA)=2sinBsinB,即3sinB=2sin2B,利用
13、方程思想,构造关于sinB的方程.因为sinB0,所以sinB=32,又B为三角形内角,CAB=3,所以B=3,所以ABC为等边三角形.在ADC中,由余弦定理得,AC2=10-6cosD,故四边形ABCD的面积为SABC+SADC=34AC2+32sinD=34(10-6cosD)+32sinD=532+3sinD-3,所以当D-3=2,即D=56时,四边形ABCD的面积最大,最大值为532+3.利用三角函数的性质求最值,体现了函数思想.思想方法在解三角形问题中,涉及边长、周长或面积的最值问题时常常构造函数,利用函数思想,转化为求相应函数的最值.7.解析(1)由题意知,点C在以AB为直径的半圆
14、周上,所以ACB为直角三角形,因为AB=8,ABC=6,所以BAC=3,AC=4,在ACE中,CE2=AC2+AE2-2ACAEcosBAC,且CE=13,所以13=16+AE2-4AE,利用方程思想,构造关于AE的方程求解.解得AE=1或AE=3.故AE的长为1或3.(2)因为ACB=2,ECF=6,所以ACE=0,3,所以AFC=-BAC-ACF=-3-+6=2-.在ACF中,CFsinFAC=ACsinAFC=ACsin2-=ACcos,所以CF=23cos.在ACE中,CEsinEAC=ACsinAEC=ACsin23-,所以CE=23sin23-.若要产生最大经济价值,则需满足ECF的面积最大,SECF=12CECFsinECF=3sin23-cos=122sin2+3+3,因为0,3,所以0sin2+31,所以当=3时,SECF取得最大值,最大值为43,利用三角函数的性质求最值,体现了函数思想.即种植甲种果树的面积为43时,该空地产生的经济价值最大.