1、第4讲万有引力与航天真题再现1(2018全国卷)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为A21 B41C81 D161解析由开普勒第三定律得k，故 ，C正确。答案C2(2016全国卷)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍。假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为A1 hB4 hC8 hD16 h解析当一地球同步卫星的信号刚好覆盖赤道120的圆周时，半径最小，周
2、期最小，卫星的轨道半径r2R；对同步卫星，分别有m26.6R和m22R，即23，解得T4 h，选项B正确。答案B3(2018全国卷)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J03180253”，其自转周期T5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.671011 Nm2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为A5109 kg/m3 B51012 kg/m3C51015 kg/m3 D51018 kg/m3解析毫秒脉冲星稳定自转时且密度最小是由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据Gm，MR3，得，代入数据解得51015 kg/
3、m3，C正确。答案C考情分析分值06分题型以选择题为主命题热点(1)天体质量和密度的估算(2)行星、卫星的运动问题(3)航天器的变轨问题(4)双星或多星问题考点一天体质量和密度的计算1自力更生法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。由Gmg得天体质量M。天体密度：。2借助外援法：通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。(1)由Gm得天体的质量为M。(2)若已知天体的半径R，则天体的密度。(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度，可见，只要测出卫星环绕天体表面运行的周期T，就可估算出中心天体的密度。(多选)宇航员抵达一半径为R的星球后，做了如下的实验
4、：取一根细线穿过光滑的细直管，细绳的一端拴一质量为m的砝码，另一端连接在一固定的拉力传感器上，手捏细直管抡动砝码，使它在竖直平面内做圆周运动。若该星球表面没有空气，不计阻力，停止抡动细直管，砝码可继续在同一竖直平面内做完整的圆周运动，如图141所示，此时拉力传感器显示砝码运动到最低点与最高点两位置时读数差的绝对值为F。已知万有引力常量为G，根据题中提供的条件和测量结果，可知图141A该星球表面的重力加速度为B该星球表面的重力加速度为C该星球的质量为D该星球的质量为解析设砝码在最高点的速率为v1，受到的弹力为F1，在最低点的速率为v2，受到的弹力为F2，则有F1mgm，F2mgm砝码由最高点到最
5、低点，由机械能守恒定律得：mg2Rmvmv拉力传感器读数差为FF2F16mg故星球表面的重力加速度为g，A错误，B正确；在星球表面附近有：Gmg，则M，故C正确，D错误。答案BC【题组突破】1(多选)(2018安阳二模)“雪龙号”南极考察船在由我国驶向南极的过程中，经过赤道时测得某物体的重力是G1；在南极附近测得该物体的重力为G2；已知地球自转的周期为T，引力常数为G；假设地球可视为质量分布均匀的球体，由此可知A地球的密度为B地球的密度为C当地球的自转周期为T时，放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力D当地球的自转周期为时，放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力答案BC2土星最大的卫星叫“
6、泰坦”(如图142)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2106 km。已知引力常量G6.671011 Nm2/kg2，则土星的质量约为图142A51017 kgB51026 kgC71033 kg D41036 kg解析由万有引力定律有FGm2r，得土星的质量M，代入数据知M51026 kg，故选项B正确。答案B考点二卫星运行参数的分析1熟记一个模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。2天体运动中常用的公式(1)运行天体的线速度：v(当rR时，v)；(2)运行天体的角速度：(当rR时，)；(3)运
7、行天体的周期：T22(当rR时，T2)；(4)运行天体所在处的重力加速度：g()2g。我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。今年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km，它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是A周期B角速度C线速度 D向心加速度解析本题考查万有引力定律及其应用、宇宙航行。设地球质量为M，卫星质量为m，轨道半径为R，卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即G，结合vR，a，解得v，T，a，可知v，Ta，由题知R四R五，结合上面式子得v五v四，四五，a五a四，T五
8、T四，故B、C、D三项均错，A项正确。答案A【题组突破】1三种宇宙速度及其应用(多选)在星球表面发射探测器，当发射速度为v时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到v时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球。已知地球、火星两星球的质量比约为101，半径比约为21，下列说法正确的有A探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大B探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大C探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等D探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大解析探测器在星球表面做匀速圆周运动时，由Gm，得v，则摆脱星球引力时的发射速度v，与探测器的质量无关，选项A错误；设火星的质量为M，半径为R，则地
9、球的质量为10M，半径为2R，地球对探测器的引力F1G，比火星对探测器的引力F2G大，选项B正确；探测器脱离地球时的发射速度v1，脱离火星时的发射速度v2，v2v1，选项C错误；探测器脱离星球的过程中克服引力做功，势能逐渐增大，选项D正确。答案BD2同步卫星的特点“北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星(同步卫星)、中轨道卫星和倾斜同步轨道卫星组成。地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它们距地面的高度分别约为地球半径的6倍和3.4倍，下列说法中正确的是A静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍B静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2倍C静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的1/
10、7D静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的1/7解析根据万有引力提供向心力有Gmr，解得卫星周期公式T2，地球静止轨道卫星和中轨道卫星距地面的高度分别约为地球半径6倍和3.4倍，即轨道半径分别约为地球半径的7倍和4.4倍，所以静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍，故A正确；由Gm可得v，所以静止轨道卫星的线速度大小小于中轨道卫星的线速度大小，故B错误；由Gmr2可得，由此可知，静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的0.5，故C错误；由Gma得a，所以静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的0.4，故D错误。答案A考点三卫星的变轨问题1变轨现象2卫星变轨过程中的能量变化卫星在同一轨
11、道上稳定运行过程中机械能守恒；在变轨过程中，点火加速，做离心运动，轨道升高，机械能增加，点火减速，做近心运动，轨道降低，机械能减少。(多选)(2018河南六市联考)2018年我国即将发射“嫦娥四号”登月探测器，将首次造访月球背面，首次实现对地对月中继通信，若“嫦娥四号”从距月面高度为100 km的环月圆轨道上的P点实施变轨，进入近月点为15 km的椭圆轨道，由近月点Q落月，如图143所示。关于“嫦娥四号”，下列说法正确的是图143A沿轨道运动至P时，需制动减速才能进入轨道B沿轨道运行的周期大于沿轨道运行的周期C沿轨道运行时，在P点的加速度大于在Q点的加速度D在轨道上由P点运行到Q点的过程中，万
12、有引力对其做正功，它的动能增加，重力势能减小，机械能不变审题探究(1)什么条件下探测器做近心运动？(2)探测器运动的加速度是什么力产生的？如何计算加速度大小？(3)探测器从P点运动到Q点的过程中，引力方向与速度方向的夹角是大于90还是小于90？引力做正功还是负功？解析嫦娥四号沿轨道运动到P点，若减速则有Gm，则其将做近心运动，进入轨道。故A正确；根据开普勒第三定律，k，嫦娥四号在轨道的半长轴小于轨道的半径，则其在轨道的周期小于轨道的周期，B错误。根据Gma，可知在P点的加速度小于Q点的加速度，C错误；嫦娥四号在轨道上由P点运行到Q点的过程中，引力做正功，则动能增加，重力势能减小，机械能不变，故
13、D正确。答案AD【题组突破】1卫星变轨的参数分析(2016北京卷)如图144所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行，在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动。下列说法正确的是图144A不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的速度都相同B不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同C卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度D卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量解析从轨道1变轨到轨道2，需要加速，故A错误；根据公式Gma可得aG，故只要半径相同，加速度就相同，由于卫星在轨道1做椭圆运动，运动半径在变化，所以运动过程中的加速度在变化，B正确，C错误；卫星在轨道2做匀速圆周运动，运动过程中的
14、速度方向时刻在变，所以动量方向不同，D错误。答案B2卫星变轨的能量分析(多选)按照我国整个月球探测活动的计划，在第一步“绕月”工程圆满完成各项目标和科学探测任务后，第二步“落月”工程，已在2013年以前完成。假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船沿距月球表面高度为3R的圆形轨道运动，到达轨道的A点。点火变轨进入椭圆轨道，到达轨道的近月点B再次点火进入月球近月轨道绕月球做圆周运动。下列判断正确的是图145A飞船在轨道上的运行速率vB飞船在A点处点火变轨时，动能增大C飞船在A点变轨完成后向B点运行的过程中机械能增大D飞船在轨道绕月球运行一周所需的时间T2解析飞船在轨道上运动时，万有引力
15、提供向心力，有Gm，在月球表面，万有引力大小等于重力，则Gmg0，解得v，选项A正确；在较高的圆轨道变轨到较低的椭圆轨道，需要在A点给飞船减速，减小飞船所需的向心力，故在A点处点火变轨时，飞船动能减小，选项B错误；飞船在A点变轨完成后，向近月点B运动过程中，只有月球引力做正功，飞船机械能不变，选项C错误；飞船在轨道上做圆周运动，mg0m，解得T2，选项D正确。答案AD归纳提升1变轨运动与机械能变化卫星速度增大(发动机做正功)会做离心运动，轨道半径增大，万有引力做负功，卫星动能减小，由于变轨时遵从能量守恒，稳定在圆轨道上时需满足Gm，致使卫星在较高轨道上的运行速度小于在较低轨道上的运行速度，但机
16、械能增大；相反，卫星由于速度减小(发动机做负功)会做向心运动，轨道半径减小，万有引力做正功，卫星动能增大，同样原因致使卫星在较低轨道上的运行速度大于在较高轨道上的运行速度，但机械能减小。2航天器变轨问题的三点注意事项(1)航天器变轨时轨道半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v判断。(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。(3)航天器经过不同轨道相切的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。考点四双星与多星问题1双星系统模型有以下特点(1)各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即m1r1，m2r2。(2)两
17、颗星的周期及角速度都相同，即T1T2，12。(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1r2L。2多星问题的处理方法(1)各星运动的周期相同、角速度相同。(2)每个星受其他星的合力提供该星运动的向心力。在天体运动中，将两颗彼此相距较近的恒星称为双星。它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为L，质量分别为M1和M2，试计算：(1)各星的轨道半径；(2)各星的线速度。审题探究(1)两颗星做圆周运动的向心力由什么力提供？大小是多少？(2)两颗星和圆心的位置有什么关系，才能保证它们所受外力的方向指向圆心？解析(1)如图，对质量为M1的星球，由向心
18、力公式可得：F1GM12R1同理对质量为M2的星球有：F2GM22R2两式联立得：(即轨道半径与质量成反比)又因为LR1R2所以R1L，R2L，(2)因为vr，所以v1LM2v2LM1。答案(1)LL(2)M2M1【题组突破】1.(三星系统)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图146所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，下列说法正确的是图146A每颗星做圆周运动的角速度为 B每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关C若距离L和每颗星的质量m都变为原来的
19、2倍，则周期变为原来的2倍D若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度变为原来的4倍解析任意两星间的万有引力FG，对任一星受力分析，如图所示，由图中几何关系和牛顿第二定律可得：Fmam2，联立可得： ，a2，选项A、B错误；由周期公式可得：T 2 ，当L和m都变为原来的2倍，则周期T2T，选项C正确；由速度公式可得：v ，当L和m都变为原来的2倍，则线速度vv，选项D错误。答案C2(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半
20、径为R的圆轨道上运行，如图147甲所示；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示。设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则图147A直线三星系统运动的线速度大小为vB直线三星系统的运动周期为T4RC三角形三星系统中星体间的距离为LRD三角形三星系统运动的线速度大小为v 解析对直线三星系统中的其中一颗环绕星，有GGM，解得v，选项A错误；根据T，可得选项B正确；对三角形三星系统中的任意一颗星体，有2Gcos 30M()()2，三角形三星系统的周期等于直线三星系统的周期T4R，联立解得LR，选项C正确；根据T，若按照rR计算，就会得到v，但rR，故选项D错误。答案BC