1、2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义一、A组1.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=,a与b的夹角为30,则a(a-2b)=() A.2-2B.4-2C.-4D.-2解析:a(a-2b)=a2-2ab=|a|2-2|a|b|cos 30=4-22=4-6=-2.答案:D2.已知|a|=2,|b|=1,|a+2b|=2,则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析:|a+2b|=2,(a+2b)2=a2+4ab+4b2=12.|a|=2,|b|=1,ab=1.设a与b的夹角为,则|a|b|cos =2cos =1,cos =.又0,=.答案:B3.(2016新疆阿克苏高
2、一期末)已知|a|=6,|b|=3,ab=-12,则向量a在向量b方向上的投影是()A.-4B.4C.-2D.2解析:根据投影的定义,可得向量a在向量b方向上的投影为|a|cos =-4,其中为a与b的夹角.故选A.答案:A4.若向量a与b的夹角为60,|b|=4,(a+2b)(a-3b)=-72,则向量a的模为()A.2B.4C.6D.12解析:(a+2b)(a-3b)=a2-ab-6b2=|a|2-|a|4cos 60-616=|a|2-2|a|-96=-72,即|a|2-2|a|-24=0,|a|=6或|a|=-4(舍去),故选C.答案:C5.已知平面上三点A,B,C满足|=3,|=4,
3、|=5,则的值等于()A.-25B.-20C.-15D.-10解析:由已知可得ABC为直角三角形,则的夹角为,=0,()=-|2=-25.答案:A6.已知向量a,b,且|a|=|b|=1,|a-b|=1,则|a+b|=.解析:|a-b|=1,a2-2ab+b2=1.又|a|=|b|=1,ab=.|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2=1+2+1=3,|a+b|=.答案:7.已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若ab=0,则k的值为.解析:ab=(e1-2e2)(ke1+e2)=k-2ke1e2+e1e2-2=k-2k-2=2k-=0.k=.答案:8
4、.导学号08720067在ABC中,AB=2,AC=3,D是边BC的中点,则=.解析:D是边BC的中点,).又,)()=)=(32-22)=.答案:9.已知向量a,b的长度|a|=4,|b|=2.(1)若a,b的夹角为120,求|3a-4b|;(2)若|a+b|=2,求a与b的夹角.解:(1)ab=|a|b|cos 120=42=-4.又|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24ab+16b2=942-24(-4)+1622=304,|3a-4b|=4.(2)|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2=42+2ab+22=(2)2,ab=-4,cos =-.又0,=.10.已知向量a
5、,b不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求证:(a+b)(a-b).证明:|2a+b|=|a+2b|,(2a+b)2=(a+2b)2.4a2+4ab+b2=a2+4ab+4b2,a2=b2.(a+b)(a-b)=a2-b2=0.又a与b不共线,a+b0,a-b0,(a+b)(a-b).二、B组1.(2016山东淄川一中阶段性检测)若向量a,b满足|a|=|b|=1,ab,且(2a+3b)(ka-4b),则实数k的值为()A.-6B.6C.3D.-3解析:由题知,(2a+3b)(ka-4b)=0,即2ka2+(3k-8)ab-12b2=0,即2k-12=0,k=6.故选B.答案:B2.(201
6、6江西赣州期末考试)在平行四边形ABCD中,AD=1,BAD=60,E为CD的中点.若=1,则AB的长为()A.2B.1C.D.解析:在平行四边形ABCD中,=()=1,1-1|cos 60=1,解得|=.答案:D3.在ABC中,ABAC,AC=1,点D满足条件,则等于()A.B.1C.D.解析:ABAC,=0.()=0+=()=)=(1-0)=.答案:A4.(2016新疆阿克苏高一期末)已知向量a和b的夹角为120,|a|=1,|b|=3,则|a-b|=()A.2B.C.4D.解析:因为向量a和b的夹角为120,|a|=1,|b|=3,所以ab=-.所以|a-b|2=a2-2ab+b2=13
7、.所以|a-b|=.答案:D5.已知a,b为共线的两个向量,且|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=.解析:|2a-b|=.a,b为共线的两个向量,设a,b的夹角为,则=0或180,当=0时,ab=2;当=180时,ab=-2.|2a-b|=0或4.答案:0或46.已知|a|=|b|=2,a,b的夹角为60,则使向量a+b与a+b的夹角为锐角的的取值范围是.解析:由a+b与a+b的夹角为锐角,得(a+b)(a+b)0,即a2+(2+1)ab+b20,从而2+4+10,解得-2+.当=1时,a+b与a+b共线同向,故的取值范围是(-,-2-)(-2+,1)(1,+).答案:(-,-2-)(-2
8、+,1)(1,+)7.已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60,c=3a+5b,d=ma-3b.(1)当m为何值时,c与d垂直?(2)当m为何值时,c与d共线?解:(1)由向量c与d垂直,得cd=0,而cd=(3a+5b)(ma-3b)=3ma2+(5m-9)ab-15b2=27m+3(5m-9)-60=42m-87=0,m=,即m=时,c与d垂直.(2)由c与d共线,得存在实数,使得c=d,3a+5b=(ma-3b),即3a+5b=ma-3b.又a与b不共线,解得即当m=-时,c与d共线.8.导学号08720068(2016河南郑州高一期末)如图,在平面内将两块直角三角板接在一起,已知ABC=45,BCD=60,记=a,=b.(1)试用a,b表示向量;(2)若|b|=1,求.解:(1)=a-b,由题意可知,ACBD,BD=BC=AC.b,则=a+b,=a+(-1)b.(2)|b|=1,|a|=,ab=cos 45=1,则=aa+(-1)b=a2+(-1)ab=2+-1=+1.