1、2023 届高考数学一轮复习单元双优测评卷第三单元 函数的概念与性质B 卷 培优提能过关卷一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（2021全国高考真题）已知函数 f x 的定义域为 R，2f x 为偶函数，21fx 为奇函数，则（）A102f B10f C 20fD 40f2（2021全国高考真题（理）设函数 f x 的定义域为 R，1f x 为奇函数，2f x 为偶函数，当1,2x时，2()f xaxb若 036ff，则92f （）A94B32C 74D 523（2021全国高考真题（理）设函数1()1xf xx，则下列
2、函数中为奇函数的是（）A11f x B11f x C11f x D11f x 4高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设 xR，用 x 表示不超过 x 的最大整数，则 yx称为高斯函数.例如：5,16 ，3.已知函数 21xf xx，则函数 yf x 的值域为（）A 1B1,0C 1D0,15（2021湖北襄阳市襄阳四中高三其他模拟）设奇函数 f(x)在(0，+)上为增函数，且 f(1)=0，则不等式(2021)(2021)02021f xfxx的解集为（）A2020,20212,()022B(,20202021,2023)C()(),20202022,D2020
3、,20212021,20226对于函数 yf（x），其定义域为 D，如果存在区间m，nD，同时满足下列条件：f（x）在m，n上是单调函数；当 f（x）的定义域为m，n时，值域也是m，n，则称区间m，n是函数 f（x）的“K 区间”.若函数 f（x）xa（a0）存在“K 区间”，则 a 的取值范围为（）A 1 3,3 4B10,4C 3,14D（14，17已知定义域为 R 的偶函数 yf（x）3x 在0，+）单调递增，若 f（m）+3f（1m）+6m，则实数 m 的取值范围是（）A（，2B2，+）C 12，+）D（，128（2021四川宜宾市高三三模（文）已知 yf x是定义在 R 上的奇函数，
4、满足12f xf x，下列说法：yf x的图象关于 3,02对称；yf x的图象关于32x 对称；yf x在0,6 内至少有 5 个零点；若 yf x在0,1 上单调递增，则它在2021,2022 上也是单调递增.其中正确的是（）ABCD二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9（2021重庆高三其他模拟）定义在 R 上的函数 f x 满足 502fxf x，且54yfx为奇函数，则下列关于函数 f x 的说法中一定正确的是（）A周期为 52B图象关于点5,04对称C是偶函数
5、D图象关于直线54x 对称10（2021武汉市第一中学高三二模）若函数 yf x对定义域 D 内的每一个1x，都存在唯一的2xD，使得 121f xf x成立，则称 f x 为“自倒函数”则下列结论正确的是（）Af(x)sinx+2（x 2，2）是“自倒函数”B“自倒函数”f x 可以是奇函数C“自倒函数”f x 的值域可以是 RD若 yf xyg x，都是“自倒函数”且定义域相同，则 yf xg x也是“自倒函数”11（2021重庆南开中学高三模拟）已知函数1yf x的图象关于直线1x 对称，且对x R 有 4f xfx.当0,2x时，2fxx.则下列说法正确的是（）A f x 的周期8T
6、B f x 的最大值为 4C20212fD2f x 为偶函数12假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者，现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以 x t 表示，被捕食者的数量以 y t 表示.下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法不正确的是（）A若在 1t、2t 时刻满足：12y ty t，则 12x tx tB如果 y t 数量是先上升后下降的，那么 x t 的数量一定也是先上升后下降C被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D被捕食者数与
7、捕食者数总和达到最大值时，捕食者的数量也会达到最大值三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13（2021浙江高考真题）已知Ra，函数24,2()3,2,xxf xxa x 若63ff，则a _.14（2021全国高考真题）已知函数 322xxxaf x是偶函数，则a _.15（2021河南洛阳市高三模拟（理）若存在实常数k 和b，使得 F x 和 G x 对其公共定义域上的任意实数 x 都满足：F xkxb和 G xkxb恒成立，则称此直线ykxb为 F x 和 G x 的“分隔直线”.已知函数 2f xxxR，10g xxx，若 f x 和 g x 之间存在“分隔直线”，
8、则b 的取值范围为_.16（2021青海西宁市高三二模（理）已知函数2()2f xxaxa，aR，若()f x在区间 1,1上的最大值是 3，则 a 的取值范围是_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（2021四川成都市石室中学高三三模）设函数()3 12 2f xxx 的最小值 M（1）求 M；（2）已知,a b c 为正实数，且9abcM，求证 242424(1)(1)(1)8abc18（2021上海高三模拟）若函数 f(x)对任意的 xR，均有 f(x1)+f(x+1)2f(x)，则称函数f(x)具有性质 P.（1）判断下面两个函数是否具
9、有性质 P，并说明理由；y=3x；y=x3；（2）若函数 g(x)=2(),x xn xQxx为无理数，试判断 g(x)是否具有性质 P，并说明理由；（3）若函数 f(x)具有性质 P，且 f(0)=f(n)=0(n2，nN*)求证：对任意 1kn1，kN*，均有 f(k)0.19（2021上海市建平中学高三三模）上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔 t（单位：分钟）满足 220t，*tN，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔 t 相关，当1020t 时地铁可达到满载状态，载客量为 1200 人，当210t 时，载客量会减
10、少，减少的人数与(10)t的平方成正比，且发车时间间隔为 2 分钟时载客量为 560 人，记地铁载客量为()p t.（1）求()p t 的解析式；（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为6()3360360p tQt（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？20（2021江西九江市九江一中高三其他模拟（理）已知 21f xxxa.（1）若2a 时，求 0f x 的解集；（2）当1,2xa 时，不等式 2fxxa恒成立，求a 的取值范围21（2021上海高三一模）已知实数,a b 是常数，函数2()(11)(1)f xxxaxb.（1）求函数()f x 的定义域，判断函数
11、的奇偶性，并说明理由；（2）若3,1ab ，设11txx，记t 的取值组成的集合为 D，则函数()f x 的值域与函数321()(3)2g ttt(tD)的值域相同.试解决下列问题：（i）求集合 D；（ii）研究函数321()(3)2g ttt在定义域 D 上是否具有单调性？若有，请用函数单调性定义加以证明；若没有，请说明理由.并利用你的研究结果进一步求出函数()f x 的最小值.22设 322f xxaxx xR，其中常数aR.（1）判断函数 yf x的奇偶性，并说明理由；（2）若不等式 332f xx在区间 1,12上有解，求实数a 的取值范围；（3）已知：若对函数 yh x定义域内的任意
12、 x，都有 22h xhmxn，则函数 yh x的图象有对称中心,m n.利用以上结论探究：对于任意的实数a，函数 yf x是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标(用a 表示)；若不是，证明你的结论一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（2021全国高考真题）已知函数 f x 的定义域为 R，2f x 为偶函数，21fx 为奇函数，则（）A102f B10f C 20fD 40f【答案】B【解析】因为函数2f x 为偶函数，则22fxfx，可得 31f xfx，因为函数21fx 为奇函数，则1 221fxfx，所以，1
13、1fxf x，所以，311f xf xf x，即 4f xf x，故函数 f x 是以 4 为周期的周期函数，因为函数 21F xfx为奇函数，则 010Ff，故 110ff，其它三个选项未知.故选：B.2（2021全国高考真题（理）设函数 f x 的定义域为 R，1f x 为奇函数，2f x 为偶函数，当1,2x时，2()f xaxb若 036ff，则92f （）A94B32C 74D 52【答案】D【解析】因为1f x 是奇函数，所以11fxf x ；因为2f x 是偶函数，所以22f xfx 令1x，由得：024ffab ，由得：31ffab，因为 036ff，所以 462ababa ，
14、令0 x，由得：11102fffb，所以 222f xx 思路一：从定义入手9551222222ffff1335112222ffff 511322=2222ffff 所以935222ff 思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数 f x 的周期4T 所以91352222fff 故选：D3（2021全国高考真题（理）设函数1()1xf xx，则下列函数中为奇函数的是（）A11f x B11f x C11f x D11f x【答案】B【解析】由题意可得12()111xf xxx ，对于 A，2112f xx 不是奇函数；对于 B，211f xx是奇函数；对于 C，21122f xx，定义域不关于
15、原点对称，不是奇函数；对于 D，2112f xx，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B4高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设 xR，用 x 表示不超过 x 的最大整数，则 yx称为高斯函数.例如：5,16 ，3.已知函数 21xf xx，则函数 yf x 的值域为（）A 1B1,0C 1D0,1【答案】B【解析】因为 xR，fxf x，所以 f x 是 R 上的奇函数.当0 x 时，210122xxf xxx，所以当 xR 时，1 1,2 2f x，从而 yf x 的值域为1,0.故选：B5（2021湖北襄阳市襄阳四中高三其他模拟）设奇函数 f(x)在(
16、0，+)上为增函数，且 f(1)=0，则不等式(2021)(2021)02021f xfxx的解集为（）A2020,20212,()022B(,20202021,2023)C()(),20202022,D2020,20212021,2022【答案】D【解析】解：因为 f x 为奇函数，则 fxf x，所以(2021)(2021)02021f xfxx，等价于 2(2021)02021f xx，即2021x 与2021f x 异号，即2021020210f xx 或2021020210f xx，又 f x 在0,上单调递增，且 10f，所以 f x 在,0上单调递增，且10f 若20210f x
17、，则020211x或20211x 若20210f x，则 120210 x 或20211x 若2021020210f xx，所以2021120210 xx 或 02021 120210 xx，解得 20212022x；若2021020210f xx，所以2021 120210 xx 或12021020210 xx ，解得 20202021x；综上原不等式的解集为2020,20212021,2022故选：D6对于函数 yf（x），其定义域为 D，如果存在区间m，nD，同时满足下列条件：f（x）在m，n上是单调函数；当 f（x）的定义域为m，n时，值域也是m，n，则称区间m，n是函数 f（x）的“
18、K 区间”.若函数 f（x）xa（a0）存在“K 区间”，则 a 的取值范围为（）A 1 3,3 4B10,4C 3,14D（14，1【答案】C【解析】()f x 为减函数，所以mannam 两式相减化简得1.mn代人mannam ,得11annamm 问题转化为函数 ya与函数21(0)yxxx有两个交点结合图像可知3,14a故选：C7已知定义域为 R 的偶函数 yf（x）3x 在0，+）单调递增，若 f（m）+3f（1m）+6m，则实数 m 的取值范围是（）A（，2B2，+）C 12，+）D（，12【答案】D【解析】解：设()()3g xf xx，由题意可知函数()g x 为偶函数，并且在
19、0，+）单调递增，由()3(1)6f mfmm，得()3(1)3(1)f mmfmm，即()(1)g mgm，所以()(1)g mgm，因为()g x 在0，+）单调递增，所以1mm，两边平方得22(1)mm，解得12m，所以实数 m 的取值范围是（，12，故选：D8（2021四川宜宾市高三三模（文）已知 yf x是定义在 R 上的奇函数，满足12f xf x，下列说法：yf x的图象关于 3,02对称；yf x的图象关于32x 对称；yf x在0,6 内至少有 5 个零点；若 yf x在0,1 上单调递增，则它在2021,2022 上也是单调递增.其中正确的是（）ABCD【答案】D【解析】解
20、：由于 yf x是定义在 R 上的奇函数，满足12f xf x，所以 3f xf xfx，整理得，3f xf x，所以：3()fxf x 故对于，函数 f x 的图象关于 3,02对称，故正确，错误.对于，函数 00f，30f，60f，由于 3f xf xfx，令32x ，所以3322ff，整理得302f ，332504.ff，故正确；对于，2021673 322fff，所以函数 f x 在0,1 上单调递增，则它在2021,2022 上单调递增，故正确；故选：D.二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的
21、得 2 分，有选错的得 0 分9（2021重庆高三其他模拟）定义在 R 上的函数 f x 满足 502fxf x，且54yfx为奇函数，则下列关于函数 f x 的说法中一定正确的是（）A周期为 52B图象关于点5,04对称C是偶函数D图象关于直线54x 对称【答案】BC【解析】由题知 52fxf x，若 f x 的周期为 52，则 f xf x，即 0f x，显然不一定；由54yfx为奇函数知54fx的图象关于原点对称，故 f x 的图象关于5,04对称，从而 52fxf x，又 52fxf x，5522fxfx，所以 f x 为偶函数；又由 52fxf x 知，52fxfxf x ，所以 f
22、 x 的图象关于点 5,04对称.10（2021武汉市第一中学高三二模）若函数 yf x对定义域 D 内的每一个1x，都存在唯一的2xD，使得 121f xf x成立，则称 f x 为“自倒函数”则下列结论正确的是（）Af(x)sinx+2（x 2，2）是“自倒函数”B“自倒函数”f x 可以是奇函数C“自倒函数”f x 的值域可以是 RD若 yf xyg x，都是“自倒函数”且定义域相同，则 yf xg x也是“自倒函数”【答案】AB【解析】对于 A，()sin2,2 2f xxx ，任取1,2 2x ，有1sin1,1x，11sin2f xx，且1 21,21f x；由 121f xf x
23、，得 21111sin2f xf xx，即211sin2sin2xx，211sin2sin2xx，且211sin2,22121x，即2sin 1,1x ，显然存在唯一的2,2 2x 满足题意.f x 是,2 2 上的自倒函数，所以 A 正确；对于 B，当 f x 是奇函数时，不妨设1()f xx，其中(,0)(0,)x ，则任取1(,0)(0,)x ，有 111(,0)(0,)f xx ，由 1212111f xf xxx得211xx，其中(,0)(0,)x ，f x 是定义域上的自倒函数，所以 B 正确；对于 C，若自倒函数 f x 的值域是 R，则当10?f x时，不存在2xD，使得 12
24、1f xf x 成立，所以自倒函数 f x 的值域不可以是 R，命题不成立，所以 C 错误；对于 D，当 yf x，yg x都是自倒函数，且定义域相同时，函数 yf xg x不一定是自倒函数，例如 1f xg xx，其中(,0)(0,)x ，则 21yf xg xx不是自倒函数，因为由2212111xx，得22211xx，211xx 不唯一，故命题不成立，所以 D 错误故选：AB11（2021重庆南开中学高三模拟）已知函数1yf x的图象关于直线1x 对称，且对x R 有 4f xfx.当0,2x时，2fxx.则下列说法正确的是（）A f x 的周期8T B f x 的最大值为 4C20212
25、fD2f x 为偶函数【答案】ABD【解析】解：函数1yf x的图象关于直线1x 对称，函数 yf x的图象关于直线2x 对称，22fxfx 对xR 有 4f xfx，函数 yf x的图象关于0,2 中心对称，2222fxfx ，即 44f xfxfx，又444fxf x，即444fxf x，4f xfx，444fxfxf x，即 8f xf x，22f xfx，f x 的周期8T，选项 A 正确；2f x 为偶函数，选项 D 正确；当0,2x时，2fxx，4f xfx，当2,0 x 时，0,2x，24f xx ，即 2fxx，当2,2x 时，2fxx，又函数 yf x的图象关于直线2x 对称
26、，在一个周期6,2上，max24f xf，f x在 R 上的最大值为 4，选项 B 正确；2021252 855141121fffff ，选项 C 错误.故选：ABD.12假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者，现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以 x t 表示，被捕食者的数量以 y t 表示.下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法不正确的是（）A若在 1t、2t 时刻满足：12y ty t，则 12x tx tB如果 y t 数量是先上升后下降的
27、，那么 x t 的数量一定也是先上升后下降C被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D被捕食者数与捕食者数总和达到最大值时，捕食者的数量也会达到最大值【答案】ABD【解析】由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故 A 不正确；在曲线上半段中观察到 y t 是先上升后下降，而 x t 是不断变小的，故 B 不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故 C 正确；当捕食者数量最大时在图象最
28、右端，25,30 x t，0,50y t，此时二者总和 25,80 x ty t，由图象可知存在点 10 x t，100y t，110 x ty t，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大值，故 D 错误，故选：ABD.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13（2021浙江高考真题）已知Ra，函数24,2()3,2,xxf xxa x 若63ff，则a _.【答案】2【解析】6642233ffffa，故2a，故答案为：2.14（2021全国高考真题）已知函数 322xxxaf x是偶函数，则a _.【答案】1【解析】因为 322xxx
29、af x，故322xxfxxa，因为 f x 为偶函数，故 fxf x，时332222xxxxxaxa，整理得到12+2=0 xxa，故1a ，故答案为：115（2021河南洛阳市高三模拟（理）若存在实常数k 和b，使得 F x 和 G x 对其公共定义域上的任意实数 x 都满足：F xkxb和 G xkxb恒成立，则称此直线ykxb为 F x 和 G x 的“分隔直线”.已知函数 2f xxxR，10g xxx，若 f x 和 g x 之间存在“分隔直线”，则b 的取值范围为_.【答案】0,4【解析】如下图所示：由图可知，21xkxbx，可得20 xkxb对任意的 xR 恒成立，则2140k
30、b，即24kb，不等式210kxbx 对任意的0 x 恒成立，若0k，当 x 时，21kxbx ，不合乎题意；若0k，则10bx 对任意的0 x 恒成立，则1bx，可得0b，又24kb 对任意的 xR 恒成立，则0b，0b；若0k，则2240bk，所以，421664bkb，即432646444160bbb bb bbb，解得04b.综上所述，实数b 的取值范围是0,4.故答案为：0,4.16（2021青海西宁市高三二模（理）已知函数2()2f xxaxa，aR，若()f x在区间 1,1上的最大值是 3，则 a 的取值范围是_.【答案】(,0【解析】由题易知(0)23fa，即1a，所以 133
31、3faaaa，又(1)|3|3faa，所以0a.下证0a 时，()f x 在 1,1上最大值为 3.当(0,1x时，22()22f xxaxaxaxa，max()(1)3f xf;当 1,0 x，若12a ，即2a ，则max()max(1),(0)f xff，满足;若 102a，即 20a，此时222122(2)332444aaafaaa ，而max()max(1),(0)2af xfff，满足;因此，0a 符合题意.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（2021四川成都市石室中学高三三模）设函数()3 12 2f xxx 的最小值 M（1）求
32、 M；（2）已知,a b c 为正实数，且9abcM，求证 242424(1)(1)(1)8abc【答案】（1）83M；（2）证明见解析.【解析】（1）由题可得151,31()3,1351,1xxf xxxxx ，13x 时，8513x ，113x 时，8343x ，1x 时，514x，于是有8,()3xR f x，所以min18()()33Mf xf；（2）由（1）知24abc ，可得 24241abcaaa，同理得 241acbb，241abcc，由基本不等式可得242424()()()222(1)(1)(1)8bc ca abbccaababcabcabc当且仅当8abc时取“=”，所以
33、 242424(1)(1)(1)8abc18（2021上海高三模拟）若函数 f(x)对任意的 xR，均有 f(x1)+f(x+1)2f(x)，则称函数f(x)具有性质 P.（1）判断下面两个函数是否具有性质 P，并说明理由；y=3x；y=x3；（2）若函数 g(x)=2(),x xn xQxx为无理数，试判断 g(x)是否具有性质 P，并说明理由；（3）若函数 f(x)具有性质 P，且 f(0)=f(n)=0(n2，nN*)求证：对任意 1kn1，kN*，均有 f(k)0.【答案】（1）具有性质 P，不具有性质 P，理由见解析；（2）g(x)具有性质 P，理由见解析；（3）证明见解析.【解析】
34、解：（1）f(x1)+f(x+1)2f(x)=3x1+3x+123x=3x(1323)0，故具有性质P；不具有性质 P，如 x=1 时，f(x1)+f(x+1)=f(2)+f(0)=8，而 2f(1)=2，不满足不等式，（2）1当 x 为有理数时，具有性质 P，理由如下：f(x1)+f(x+1)2f(x)=(x1)2+(x+1)22x2n(x1+x+12x)=20，2当 x 为无理数时，具有性质 P，理由如下：f(x1)+f(x+1)2f(x)=(x1)2+(x+1)22x2=20，综上可知 g(x)具有性质 P.（3）证明：假设 f(x)为 f（1），f（2），f(n1)中第一个大于 0 的
35、值，则 f(k)f(k1)0，因为函数 f(x)具有性质 P，所以 f(n+1)f(n)f(n)f(n1)，所以 f(n+1)f(n)f(n)f(n1)f(k)f(k1)0，所以 f(n)=f(n)f(n1)+f(n1)f(n2)+f（1）0，与 f(n)=0 矛盾，所以假设错误，原命题正确，即对于任意的 1kn1，kN*，均有 f(k)0.19（2021上海市建平中学高三三模）上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔 t（单位：分钟）满足 220t，*tN，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔 t 相关，当1020t 时地铁
36、可达到满载状态，载客量为 1200 人，当210t 时，载客量会减少，减少的人数与(10)t的平方成正比，且发车时间间隔为 2 分钟时载客量为 560 人，记地铁载客量为()p t.（1）求()p t 的解析式；（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为6()3360360p tQt（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？【答案】（1）210200200,?210()()1200,1?020tttp ttNt ；（2）6 分钟.【解析】（1）由题意知21200(10),?210()?()1200,?1?020kttp ttNt ，（k 为常数），因2(2)1200(10
37、2)120064560pkk，则10k，所以210200200,?210()()1200,1?020tttp ttNt ；（2）由6()3360 360p tQt得26(10200200)3360360,?2103840360,1?020ttttQtt ，即)3684060(),210(3840360,1020tttQtNtt ，当210t 时，3684060()84060 12120Qtt，当且仅当6t 等号成立；当1020t 时，3840360Qt在10，20上递减，当10t 时 Q 取最大值 24，由可知，当发车时间间隔为6t 分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为 120 元
38、.20（2021江西九江市九江一中高三其他模拟（理）已知 21f xxxa.（1）若2a 时，求 0f x 的解集；（2）当1,2xa 时，不等式 2fxxa恒成立，求a 的取值范围【答案】（1）1,1；（2）1,【解析】（1）当2a 时，212f xxx，则 0f x 即 2120 xx，212xx，22212xx，21x，解得 11x ，故当2a 时，0f x 的解集为1,1.（2）当1,2xa 时，212131f xxxaxxaxa ，不等式 2fxxa恒成立，即312xaxa 恒成立，312xaxa，即21xa，因为 xa，所以21aa，解得1a，a 的取值范围为1,.21（2021上
39、海高三一模）已知实数,a b 是常数，函数2()(11)(1)f xxxaxb.（1）求函数()f x 的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若3,1ab ，设11txx，记t 的取值组成的集合为 D，则函数()f x 的值域与函数321()(3)2g ttt(tD)的值域相同.试解决下列问题：（i）求集合 D；（ii）研究函数321()(3)2g ttt在定义域 D 上是否具有单调性？若有，请用函数单调性定义加以证明；若没有，请说明理由.并利用你的研究结果进一步求出函数()f x 的最小值.【答案】（1）定义域为 1,1，()f x 为偶函数，理由见解析；（2）（i）2,2；（ii）
40、()g t在 D 上是减函数，证明见解析，()f x 最小值为 2.【解析】（1）实数,a b 是常数，函数2()(11)(1)f xxxaxb，由2101010 xxx ，解得 11x.函数的定义域是 1,1.对于任意 1,1x，有 1,1x ,2()(1()1()(1()fxxxaxb 2(11)(1)()xxaxbf x，即()()fxf x对 1,1x 都成立(又()f x 不恒为零)，函数()f x 是偶函数.（2）由3,1ab ，有2()(113)(11)f xxxx.（i）11txx(11x)，则2222 1tx.2011x，224(0)tt，即22t.2,2D.（ii）由（i）
41、知：321()(3)2g ttt的定义域为 2,2D.对于任意的 12,t tD且 12tt，有32321211221()()3(3)2g tg ttttt221211 2212121()()3()()2 tttt tttttt221211221 211 22111()(2)(2)()()222ttttttt ttt tt1211221221111()(2)(2)(2)(2)222ttt tt tt tt t.又 12120,0,0tttt且 1220,20tt(这里二者的等号不能同时成立)，1211221221111()(2)(2)(2)(2)0222ttt tt tt tt t，即1212
42、()()0,()()g tg tg tg t.函数()g t 在 D 上是减函数.32min1223 222g tg .又函数()f x 的值域与函数321()(3)2g ttt的值域相同，函数()f x 的最小值为 2.22设 322f xxaxx xR，其中常数aR.（1）判断函数 yf x的奇偶性，并说明理由；（2）若不等式 332f xx在区间 1,12上有解，求实数a 的取值范围；（3）已知：若对函数 yh x定义域内的任意 x，都有 22h xhmxn，则函数 yh x的图象有对称中心,m n.利用以上结论探究：对于任意的实数a，函数 yf x是否都有对称中心？若是，求出对称中心的
43、坐标(用a 表示)；若不是，证明你的结论.【答案】（1）答案见解析；（2）5(,)2 ；（3）有对称中心，对称中心为322(,)3273aaa.【解析】（1）当0a 时，32f xxx，32fxxx 所以 f xfx，yf x为奇函数.当0a 时，11fa，11fa，因为 11ff，所以 f x 既不是奇函数也不是偶函数.（2）原问题可化为122axx在区间 1,12有解，则min122axx，因为函数122yxx在区间 1,12单调递减，所以min52y，所以52a，所以 a 的取值范围是 5(,)2 .（3）假设存在对称中心,m n，则32322222 22xaxxmxamxmxn恒成立，得2232621248442ma xmam xmammn恒成立所以23262012408442mamammammn，得3am ，322273aan，所以函数 yf x有对称中心322(,)3273aaa
