1、第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法第1课时利用向量证明空间中的平行关系课后篇巩固提升基础巩固1.若直线l的方向向量为m,平面的法向量为n,则可能使l的是()A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0)B.m=(1,3,5),n=(1,0,1)C.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1)D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)解析A中,mn=-20,所以排除A;B中,mn=1+5=60,所以排除B;C中,mn=-1,所以排除C;D中,mn=0,所以mn,能使l.故选D.答案D2.已知空间四边形ABCD中,AC=BD,顺次连接各边中点P,Q,R,S,如图,所得图形是()A.长
2、方形B.正方形C.梯形D.菱形解析因为PQ=BQ-BP=12BC-12BA=12AC.同理SR=12AC,所以PQ=SR,所以四边形PQRS为平行四边形.又PS=AS-AP=12AD-12AB=12BD,所以|PS|=12|BD|,即PS=12BD.又|PQ|=12|AC|,故PQ=12AC,而AC=BD,所以PS=PQ,故四边形ABCD为菱形.答案D3.已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则线段AB与坐标平面()A.xOy平行B.xOz平行C.yOz平行D.yOz相交解析AB=(0,5,-3),坐标平面yOz的一个法向量为n=(1,0,0),因为ABn=0,所以A
3、Bn.故线段AB与坐标平面yOz平行.答案C4.已知直线l的方向向量v=(2,-1,3),且过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点,则y=,z=.解析因为vAB,而AB=(-1,2-y,z-3),所以-12=2-y-1=z-33,所以y=32,z=32.答案32325.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,以下向量可以作为平面ABC法向量的是.(填序号)AB;AA1;B1B;A1C1.解析因为在直棱柱中,侧棱与底面垂直,即AA1平面ABC,B1B平面ABC,C1C平面ABC,所以B1B与AA1可以作为平面ABC的法向量.答案6.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求平面ACD1的一
4、个法向量n.解如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).设平面ACD1的法向量n=(x,y,z).AC=(-1,1,0),AD1=(-1,0,1),又n为平面ACD1的一个法向量,nAC=0,nAD1=0,(x,y,z)(-1,1,0)=0,(x,y,z)(-1,0,1)=0,化简,得x=y,x=z.令x=1,得y=z=1.平面ACD1的一个法向量n=(1,1,1).(答案不唯一)7.已知三棱锥O-ABC中,OA=OB=1,OC=2,OA,OB,OC两两垂直,试找出一点D,使BDAC,DCAB.解建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0
5、,1,0),C(0,0,2),设所求点D(x,y,z).由BDAC,DCABBDAC,DCAB,因此(x,y-1,z)=k1(-1,0,2),(-x,-y,2-z)=k2(-1,1,0),x=-1,y=1,z=2.即点D的坐标为(-1,1,2).8.已知三棱锥P-ABC,D,E,F分别为棱PA,PB,PC的中点,求证:平面DEF平面ABC.证明如图:设PD=a,PE=b,PF=c,则PA=2a,PB=2b,PC=2c,所以DE=b-a,DF=c-a,AB=2b-2a,AC=2c-2a,对于平面ABC内任一直线l,设其方向向量为e,由平面向量基本定理知,存在唯一实数对(x,y),使e=xAB+y
6、AC=x(2b-2a)+y(2c-2a)=2x(b-a)+2y(c-a)=2xDE+2yDF,因此e与DE,DF共面,即e平面DEF,所以l平面DEF,即l平面DEF.由l的任意性知,平面ABC平面DEF.能力提升1.若AB=CD+CE,则直线AB与平面CDE的位置关系是()A.相交B.平行C.在平面内D.平行或在平面内解析AB=CD+CE,AB,CD,CE共面,则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.答案D2.若点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),则平面ABC的一个法向量为()A.(bc,ac,ab)B.(ac,ab,bc)C.(bc,ab,ac)D.(ab,ac,
7、bc)解析设法向量为n=(x,y,z),则ABn=0,ACn=0,则-ax+by=0,-ax+cz=0,所以n=(bc,ac,ab).答案A3.已知直线l与平面垂直,直线l的一个方向向量为u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)与平面平行,则z等于()A.3B.6C.-9D.9解析l,v与平面平行,uv,即uv=0,13+32+z1=0,z=-9.答案C4.平面的法向量u=(x,1,-2),平面的法向量v=-1,y,12,已知,则x+y=.解析因为,所以uv.则x-1=1y=-212,即x=4,y=-14,故x+y=154.答案1545.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABC
8、D是正方形,O为底面中心,A1O平面ABCD,AB=AA1=2,求平面OCB1的法向量n.解四边形ABCD是正方形,且AB=2,AO=OC=1,OC=(0,1,0).A(0,-1,0),B(1,0,0),AB=(1,1,0),A1B1=(1,1,0).OA=1,AA1=2,OA1=2-1=1,故OA1=(0,0,1),故OB1=OA1+A1B1=(1,1,1).向量n=(x,y,z)是平面OCB1的法向量,OCn=y=0,OB1n=x+y+z=0,故y=0,x=-z,取x=1,故z=-1,平面OCB1的法向量n=(1,0,-1).(答案不唯一)6.已知ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0,2),B(4,2,0),C(2,4,0),求平面ABC的单位法向量.解AB=(4,2,-2),AC=(2,4,-2),设n=(x,y,z)是平面ABC的单位法向量,则有|n|2=1,nAB=0,nAC=0x2+y2+z2=1,2x+y-z=0,x+2y-z=0.取z0,得x=y=111,z=311.故平面ABC的单位法向量为n=1111,1111,31111.5
