1、系列丛书 进入首页第八章 平面解析几何第八章 平面解析几何第三章第八节第二课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）第八节圆锥曲线的热点问题第三章第八节第二课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）第2课时 定点、定值、探索性问题第三章第八节第二课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点命题突破 02 课堂升华强技提能第三章第八节第二课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点一 定点问题【例 1】(2016北京卷)已知椭圆 C：x2a2y2b21 过 A(2,0)，B(0,1)两点()求椭圆 C 的方程及离心率；()设 P 为第三
2、象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证：四边形 ABNM 的面积为定值第三章第八节第二课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解】()由题意得，a2，b1.所以椭圆 C 的方程为x24 y21.又 c a2b2 3，所以离心率 eca 32.第三章第八节第二课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）()设 P(x0，y0)(x00，y0b0)上一点，A，B 是椭圆 E 的左、右顶点，直线 MA 与 MB 的斜率分别为 k1，k2，且 k1k212.(1)求椭圆 E 的方程；第三章第八节第二课时系列丛书
3、 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(2)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)上点 N(x0，y0)处切线方程为x0 xa2 y0yb2 1.若 P 是直线 x2 上任意一点，从 P 向椭圆 E 作切线，切点分别为 C，D，求证直线 CD 恒过定点，并求出该定点坐标解：(1)由题意，2c2，c1，A(a,0)，B(a,0)，设 M(x，y)，k1k212，yxa yxa12，即y2x2a212.第三章第八节第二课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）M(x，y)在椭圆 E 上，x2a2y2b21，b21x2a2x2a2 12，b2a212，a22b2.又 a2b2
4、c21，a22，b21.椭圆 E 的方程为x22y21.第三章第八节第二课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(2)设切点坐标为 C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(2，t)则切线方程分别为x1x2 y1y1，x2x2 y2y1.两切线均过点 P，2x12 ty11，2x22 ty21，即 x1ty11，x2ty21，直线 CD 的方程为 xty1.对于任意实数 t，点(1,0)都适合这个方程，即直线 CD 恒过定点(1,0)第三章第八节第二课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点二 定值问题【例2】(2017衡水模拟)已知F1，F2为椭圆C：x2a2
5、y2b21(ab0)的左、右焦点，过椭圆右焦点 F2 且斜率为 k(k0)的直线 l 与椭圆 C相交于 E，F 两点，EFF1 的周长为 8，且椭圆 C 与圆 x2y23相切(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 A 为椭圆的右顶点，直线 AE，AF 分别交直线 x4 于点M，N，线段 MN 的中点为 P，记直线 PF2 的斜率为 k，求证：kk为定值第三章第八节第二课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解】(1)因为EFF1 的周长为 8，所以 4a8，所以 a24，又椭圆 C 与圆 x2y23 相切，故 b23，所以椭圆 C 的方程为x24 y231.(2)证明：由题意知过
6、点 F2(1,0)的直线 l 的方程为 yk(x1)，设 E(x1，y1)，F(x2，y2)，将直线 l 的方程 yk(x1)代入椭圆 C 的方程x24 y23 1，整理得(4k23)x28k2x4k2120，64k44(4k23)(4k212)0 恒成立，且 x1x2 8k24k23，x1x24k2124k23.第三章第八节第二课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）直线 AE 的方程为 y y1x12(x2)，令 x4，得点 M4，2y1x12，直线 AF 的方程为 y y2x22(x2)，令 x4，得点 N4，2y2x22，所以点 P 的坐标为4，y1x12 y2x22.
7、第三章第八节第二课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）所以直线 PF2 的斜率为ky1x12 y2x2204113y1x12 y2x2213y2x1x2y12y1y2x1x22x1x24132kx1x23kx1x24kx1x22x1x24，将 x1x2 8k24k23，x1x24k2124k23 代入上式得：第三章第八节第二课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）k132k4k2124k23 3k 8k24k234k4k2124k23 2 8k24k2341k，所以 kk为定值1.第三章第八节第二课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【总结反
8、思】求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.第三章第八节第二课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)经过 A(2,0)和 B1，32 两点，O为坐标原点(1)求椭圆 C 的方程；(2)若以 O 为端点的两条射线与椭圆 C 分别相交于点 M，N，且OM ON，证明：点 O 到直线 MN 的距离为定值第三章第八节第二课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解：(1)由题意得 a2，1a2 94b21，a2，b 3，椭圆
9、C 的方程为x24 y231.(2)证明：当直线 MN 的斜率不存在时，得其方程为 x2 217，则点 O 到直线 MN 的距离 d2 217.第三章第八节第二课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）当直线 MN 的斜率存在时，设其方程为 ykxm，并设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由ykxm，x24y23 1，消去 y，得(34k2)x28kmx4(m23)0，64k2m216(34k2)(m23)0，即 m24k23，且 x1x2 8km34k2，x1x24m21234k2.OM ON，x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m20，(1k2)4m21234
10、k2 8k2m234k2m20，第三章第八节第二课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）m212k217|AB|知动点轨迹符合椭圆的定义；(2)设出有关点的坐标，表示出AM ANOQ 2，再确定 是否存在【解】(1)A(3,0)在圆 B 的内部，两圆相内切，|BC|8|AC|，即|BC|AC|8|AB|，点 C 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆，且长轴长 2a8，a4，c3，b21697，曲线 T 的方程为x216y271.第三章第八节第二课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(2)当直线 MN 的斜率不存在时，|AN|AM|74，OQ 27，AM AN|AM
11、|AN|cos49167，则 716.当直线 MN 的斜率存在时，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x0，y0)，直线 MN：yk(x3)，则直线 OQ：ykx.由7x216y2112，ykx3得(716k2)x296k2x144k21120，则 x1x2 96k2716k2，x1x2144k2112716k2，第三章第八节第二课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）y1y2k2(x13)(x23)k2x1x23(x1x2)9 49k2716k2，AM AN(x13)(x23)y1y249k21716k2.由7x216y2112，ykx得 7x216k2x2112，则
12、 x20112716k2，OQ 2x20y20(1k2)x201121k2716k2.第三章第八节第二课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）由AM AN OQ 2 可解得 716.综上所述，存在常数 716，使AM AN OQ 2 总成立.第三章第八节第二课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【总结反思】探索性问题的一般求解方法：先假设成立，在假设成立的前提下若能求出与已知条件、定理或公理相同的结论，说明结论成立，否则说明结论不成立.第三章第八节第二课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）已知在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y
13、2b21 的长半轴长为 4，离心率为12.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若点 E(0,1)，问是否存在直线 l 与椭圆交于 M，N 两点且|ME|NE|？若存在，求出直线 l 的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由第三章第八节第二课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解：(1)椭圆 C：x2a2y2b21 的长半轴长为 4，离心率为12，a4，eca12，a2b2c2，解得a4，b2 3，椭圆 C：x216y2121.(2)设直线 l：ykxm，M(x1，y1)，N(x2，y2)由ykxm，x216y2121消去 y 得(34k2)x28kmx4m2480，由 64k2m24(34k2)(4m248)0，得 16k212m2，第三章第八节第二课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）x1x28km34k2，x1x24m24834k2.设 MN 的中点为 F(x0，y0)，x04km34k2，y0kx0m 3m34k2.|ME|NE|，EFMN，kEFk1，3m34k214km34k2k1，m(4k23)，代入可得 16k212(4k23)2，16k48k230，解得12k12，直线 l 的斜率的取值范围是12k12.第三章第八节第二课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）温示提馨请 做：课时作业 56（点击进入）
